Системы базисных функций

Введение


Наиболее естественной формой представления сигнала является задание закона его изменения в функции времени – X(t). Однако для анализа и синтеза систем и сигналов могут быть использованы различные формы их представления. Любой сигнал можно представить в виде суммы некоторых элементарных сигналов. Такое представление возможно при разложении временной функции в ряд по ортогональным (базисным) функциям, что равносильно представлению сигнала в различных системах координат.

В общем виде любой сигнал может быть представлен в виде ряда:


Системы базисных функций, (1)


где jk(t) – представляет собой единичные орты, а ак – проекции функций на соответствующие оси или спектральные коэффициенты, которые определяются по формуле


Системы базисных функций. (2)


Система функций {jk(t)} называется базисной, а представление сигнала в форме (1) его разложением по системам базисных функций (СБФ). Для выбранной СБФ сигнал полностью определяется набором (вектором) спектральных коэффициентов {ak}, т.е. его спектром.

СБФ должна удовлетворять условиям ортогональности и ортонормированности.

Условия ортогональности двух базисных функций заключаются в равенстве нулю их взаимных мощностей

Системы базисных функций. (3)


Условия ортонормированности заключаются в равенстве единице мощности всех базисных функций


Системы базисных функций (4)


Любую СБФ можно нормировать, если разделить каждую базисную функцию на ее мощность.

Существует бесконечное множество СБФ, при этом различным СБФ соответствует различная физическая интерпретация сигнала, а значит и практическая реализация. Выбор СБФ зависит от специфики решаемой задачи (например: анализ фильтров, оценка точности, быстродействия и т.д.), используемых методов (временные, частотные, операторные и т.д.) и других факторов.

Наиболее часто используются следующие СБФ:

– Системы единичных непрерывных и дискретных функций.

– Системы тригонометрических базисных функций:


Системы базисных функций.


Эти функции широко используются при частотном представлении сигналов в рядах Фурье.

– Системы комплексных экспоненциальных функций- Системы базисных функций. Эти функции используются в преобразованиях Фурье и Лапласа.

– Системы комплексных дискретных экспоненциальных, базисных функций- Системы базисных функций. Эти функции используются в дискретных преобразованиях Фурье и Лапласа, быстром преобразовании Фурье.

– Полиномиальные СБФ, использующие полиномы Чебышева и Лежандра. Эти функции часто используются для анализа и синтеза цифровых фильтров.

– Двоично – ортогональные СБФ Уолша, Хаара, Радемахера. Эти функции широко используются в вычислительной технике для анализа и синтеза цифровых автоматов.

Базисные функции составляют ядро различных интегральных преобразований, используемых для исследования сигналов и систем (Фурье, Лапласа, Карсона, Хэвисайда, Уолша, Хаара и др.), которые имеют следующую структуру записи:


Системы базисных функций, Системы базисных функций. (5)


При этом, различным СБФ соответствует различная интерпретация сигналов.


1. Ряд Фурье и интегральное преобразование Фурье


Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая на протяжении периода конечное число экстремумов), может быть разложена в ряд Фурье:


Системы базисных функций,


где Системы базисных функций – постоянная составляющая функции f(t);

Системы базисных функций – круговая частота основной (первой) гармоники;

Системы базисных функций – частота первой гармоники;

Системы базисных функций- амплитуда, частота и начальная фаза к – той гармоники;


Системы базисных функций;

Системы базисных функций; Системы базисных функций; Системы базисных функций

Системы базисных функций; Системы базисных функций.


Ряд Фурье можно представить в комплексной форме:


Системы базисных функций; Системы базисных функций. (6)

Пример 1. Дана периодическая последовательность импульсов, приведенная на рис. 1. Найти сумму ряда.


f(t)

T

t


h

Системы базисных функций

Системы базисных функций

Рис. 1. Периодическая последовательность импульсов


Определим выражение для спектральных коэффициентов


Системы базисных функций.


Периодическую последовательность импульсов можно представить в виде суммы ряда:


Системы базисных функций.


Интеграл Фурье


Для апериодических процессов вместо разложения в ряд Фурье используется разложение в интеграл Фурье при выполнении следующих условий: функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой т.е.


Системы базисных функций. (7)


Формулы прямого и обратного преобразования Фурье имеют вид:


Системы базисных функций, Системы базисных функций. (8)


Пример 2. Определим спектральную плотность для одиночного прямоугольного импульса, приведенного на рис. 2.

Системы базисных функцийСистемы базисных функций

f(t)

Системы базисных функцийСистемы базисных функций


h

Системы базисных функций

Системы базисных функций 0 Системы базисных функций t


Рис. 2. Одиночный прямоугольный импульс

Одиночный прямоугольный импульс может быть представлен следующим выражением:


Системы базисных функций.


Спектральная плотность для одиночного прямоугольного импульса имеет вид:


Системы базисных функций


Пример Определим спектральную плотность низкочастотного шума корреляционная функция которого имеет вид:

Системы базисных функций

Спектральная плотность при этом равна:


Системы базисных функций

Проверка: Выполним обратное преобразование


Системы базисных функций


Определим оригинал как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции


Системы базисных функций,


где sk – значения полюсов; n – количество полюсов; m – кратность полюсов.

При этом, корреляционная функция равна


Системы базисных функций


Системы базисных функций2. Дискретное преобразование Фурье


В цифровой технике для обработки дискретной информации широко используются ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. При этом, используются комплексные экспоненциальные СБФ, для которых характерны свойства ортогональности, ортонормированности, полноты и мультипликативности


Системы базисных функций, при k = m+n. (9)

Ряд Фурье может быть представлен в виде


Системы базисных функций (10)


где nT (или n) – дискретное время; (2p/N) k – круговая частота w.

Если учесть что x(n)=0 при n<0 то, можно изменить пределы суммирования.

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:


Системы базисных функций 0 Ј k Ј N 1 (11)


Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), т.е. спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:


Системы базисных функций 0 Ј n Ј N 1 (12)


где N – количество отсчетов N=T/Dt+1; T- интервал времени; Dt – шаг дискретности; n – номер отсчета.

Для сокращения записи преобразований введен поворачивающий множитель:


Системы базисных функций. (13)

Дискретное преобразование Фурье удобно представить в матричной форме:


Системы базисных функций, (14)


где X – вектор отсчетов сигнала; x – вектор спектральных коэффициентов; W – квадратичная матрица (NґN) отсчетов базисных функций; W-1 – обратная W;


Системы базисных функций (15)


При реализации алгоритмов вычисления ДПФ необходимо учитывать количество выполняемых арифметических операций и их тип (умножение, сложение и т.д.), процедуры обращения к памяти и ее объем для хранения коэффициентов. В дискретном преобразовании Фурье необходимо выполнить N2 умножений и N2 сложений.

Если число точек N небольшое или большое число точек с нулевыми значениями, то целесообразно использовать ДПФ, в противном случае целесообразно использовать так называемое быстрое преобразование Фурье (БПФ). Сущность БПФ заключается в прореживании исходной выборки сигнала по времени – n или по частоте – k.

При этом, для вычисления спектральных коэффициентов требуются одни и те же промежуточные спектры, что существенно сокращает объем вычислений. В некоторых случаях оказывается удобная БПФ с прореживанием по времени, в других случаях по частоте.

Пример 4. Определить дискретную спектральную плотность, если спектральная плотность непрерывного сигнала равна

Системы базисных функций.


Решение: Алгоритм решения задачи можно представить в виде


Системы базисных функций.


1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию

Системы базисных функций

Системы базисных функций


2. Определим дискретную корреляционную функцию


Системы базисных функций


Определим дискретную спектральную плотность


Системы базисных функций


4. Определим дискретную спектральную плотность в форме Z преобразования, выполнив подстановку z = epT.

Системы базисных функций


Проверка: Определим дискретную корреляционную функцию


Системы базисных функций


Для выражения спектральной плотности определим значения полюсов – zk, их количество и кратность – m


Системы базисных функций


Используя теорему Коши о вычетах, корреляционную функцию можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции


Системы базисных функций


Так как корреляционная функция является четной, то ее можно представить в виде


Системы базисных функций


Выводы


При реализации алгоритмов БПФ возможно распараллеливание вычислений (специализированные процессоры), что позволяет ускорить выполнение преобразований.

Области применения дискретного преобразования Фурье:

дискретный спектральный анализ;

моделирование цифровых фильтров;

распознавание образов;

дискретный анализ речевых сигналов;

исследование дискретных систем управления.


Список использованной литературы


Шеннон К. Математическая теория связи. – В сб. «Работы по теории информации и кибернетике». М., «Иностранная литература», 1963.

Фано К. Передача информации. Статистическая теория связи. М., «Мир», 1965.

Балюкевич Э.Л. Элементы теории кодирования. М., МЭСИ, 1976.

Стратонович Р.Л. Теория информации. М., «Советское радио», 1975.

Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. Киев, «Вища школа», 1974.

Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. – М.: Высш. шк., 1986.

Гойфман Э.Ш., Лосев Ю.И. Передача информации в АСУ. – М.: Связь, 1976.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: