Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

Реферат


В работе реализуется нахождение решения одной задачи на тему максимизации функций многих переменных. При этом рассматриваются методы дихотомии и покоординатного спуска.

Пояснительная записка к курсовой работе состоит из двух основных частей: теоретической и практической.

В теоретической части рассматривается поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии.

Практическая часть содержит разработку программного обеспечения для решения заданной задачи выше указанными методами, реализованную на языке С++.

Объем пояснительной записки: 1

Количество рисунков: 3

Количество используемых источников: 3

Содержание


Введение

1. Постановка задачи

2. Решение задачи с использованием метода дихотомии

2.1 Описание метода дихотомии

2.2 Алгоритм решения

3. Решение задачи с использованием метода покоординатного спуска

3.1 Описание метода покоординатного спуска

3.2 Алгоритм решения

Заключение

Список используемой литературы

Приложение 1. Листинг программы№1

Приложение 2. Листинг программы №2

Приложение 3. Листинг программы №3

Приложение 4. Результаты работы программы №1

Приложение 5. Результаты работы программы №3

Введение


В работе рассмотрены способы нахождения таких значений аргументов, при которых исходная функция максимальна, а вспомогательная (от которой зависит исходная) – минимальна. В параграфе 2 изложено решение задачи с использованием метода дихотомии. В параграфе 3 произведено исследование задачи методом покоординатного спуска.

1. Постановка задачи


Исходная функция имеет вид:


Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, где:


xiПоиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииR –– параметры исходной функции;

p, qПоиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииR –– некоторые параметры удовлетворяющие условию 1<pПоиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииq<∞;

с=c(x1…xn) –– вспомогательная функция, записанная в неявном виде


Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии→min.


Задача:

Найти xi*, Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии: f(x1*…xn*)=Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииf(x1…xn).

Выполним следующую замену: xi=axi+b, Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. При этом значение функции не изменится:


Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

Таким образом, исходную область определения функции можно сузить до xiПоиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииR[0;1]. Так как знаменатель не должен быть равным нулю, то xi≠xj Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииi≠j. Но тогда все параметры можно расположить по возрастанию: x1Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииx2Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииПоиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииxiПоиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииxi+1Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииПоиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомииxn, а выбором a и b можно привести x1=0, xn=1.

Далее будем рассматривать задачу от n-2 переменных, т.к. x1 и xn являются константами.

2. Решение задачи с использованием метода дихотомии


2.1 Описание метода дихотомии


Данный метод применяется для решения нелинейных уравнений. Если нелинейное уравнение достаточно сложное, то найти точно его корни удается весьма редко. Важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценка степени их точности.


Пусть f(x)=0 (1)


Где f(x) определена и непрерывна в некотором конечном и бесконечном интервале a<x<b. Требуется найти все или некоторые корни уравнения (1).Всякое значение Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, обращающее функцию f(x) в нуль, называется корнем уравнения (1). Поставленная задача распадается на несколько этапов:

1. Отделение корней, т.е. установление возможно более тесных промежутков [Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии,Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии], в которых содержится только по одному корню.

Нахождение приближенных (грубых) значений корней.

Вычисление корней с требуемой точностью.

Первая и вторая задача решаются аналитическими и графическими методами.

Отделение корней

Если уравнение f(x) = 0 имеет только действительные корни, то полезно составить таблицу значений функции f(x).Если в двух соседних точках Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии и Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии функция имеет разные знаки, то между этими точками лежит по меньшей мере один корень. Корень будет заведомо единственным, если Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии определена на отрезке [Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии,Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии] и сохраняет постоянный знак.

Графические методы

Действительные корни уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции f(x) с осью x.

Приближенные значения корней, найденные грубо, в дальнейшем уточняют с помощью какого-либо итерационного метода.

Метод дихотомии

Дихотомия означает деление пополам. Пусть нашли такие точки Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии и Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, что Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии < 0, т.е. на [Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии,Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии] лежит по меньшей мере один корень. Найдем середину отрезка [Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии,Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии]. Получаем Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Если f(x2) = 0, то Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии если f(Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии)Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии0, то из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии < 0, т.к. корень лежит на этой половине. Затем вновь делим выбранный отрезок пополам и выбираем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки.

Если требуется найти корень с точностью Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, то продолжим деление пополам (если конечно функция в середине какого-либо отрезка не обращается в нуль), пока длина очередного отрезка не станет < 2Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Тогда середина последующего отрезка установит значение с требуемой точностью. Метод дихотомии прост и очень надежен. Он сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе не дифференцируемых.

Метод устойчив к ошибкам округления, но скорость сходимости невелика. К недостаткам метода следует отнести сходимость к неизвестно какому корню (если корни не отделены). Но указанный недостаток имеется у всех итерационных методов. Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна. Метод иногда применяется для грубого нахождения корней с последующим уточнением по другому методу с большей скоростью сходимости.

Этот метод относится к двусторонним (или к двух шаговым) методам, т.к. для вычисления очередного приближения необходимо знать два предыдущих.

2.2 Алгоритм решения


Для нахождения максимума функции будем перебирать всевозможные переменные xi, Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, с шагом необходимой длины.

Затем будем находить значение функции с(Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии) методом дихотомии.

Для этого вычислим производную функции Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, зависящей от с, и приравняем ее к 0.


Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии


Найдем корень Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии этого нелинейного уравнения методом дихотомии.

Подставим конкретный набор Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии и при нем найденное Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии в исходную функцию, и получим ее значение.

Перебирая все xi, найдем максимум функции.

Перебирая всевозможные параметры p и q, получим некоторые наборы Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии(в зависимости от p и q) на которых функция достигает максимума.

3. Решение задачи с использованием метода покоординатного спуска


3.1 Описание метода покоординатного спуска


Изложим этот метод на примере функции трех переменных Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии.

Выберем нулевое приближение Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Фиксируем значения двух координат Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Тогда функция будет зависеть только от одной переменной Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии; обозначим ее через Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Найдем минимум функции одной переменной Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии и обозначим его через Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Мы сделали шаг из точки Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии в точку Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии по направлению, параллельному оси Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии; на этом шаге значение функции уменьшилось.

Затем из новой точки сделаем спуск по направлению, параллельному оси Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, т. е. рассмотрим Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии, найдем ее минимум и обозначим его через Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Второй шаг приводит нас в точку Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Из этой точки делаем третий шаг – спуск параллельно оси Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии и находим минимум функции Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Приход в точку Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии завершает цикл спусков.

Будем повторять циклы. На каждом спуске функция не возрастает, и при этом значения функции ограничены снизу ее значением в минимуме Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Следовательно, итерации сходятся к некоторому пределу Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии. Будет ли здесь иметь место равенство, т. е. сойдутся ли спуски к минимуму и как быстро?

Это зависит от функции и выбора нулевого приближения.

Метод спуска по координатам несложен и легко программируется на ЭВМ. Но сходится он медленно. Поэтому его используют в качестве первой попытки при нахождении минимума.

3.2 Алгоритм решения


Будем перебирать с с шагом какой-либо малой длины.

Зададим нулевое приближение, например:


Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии


Найдем частные производные Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии.


Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии


Пусть при каком-то j Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

Тогда k-ое приближение считаем по формулам:


Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии


Шаг t

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: