Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Задачи синтеза оптимальных систем управления

Задачи синтеза оптимальных систем управления

Предмет: Теория Автоматического Управления

Тема:

ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Задачи синтеза оптимальных систем управления


Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.

Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.

Постановка задачи Винера–Колмогорова.

Дано: x (t) - полезный сигнал; z (t) - помеха; Kи (p) - оператор преобразования.


Рис. 1


Определить: оптимальную передаточную функцию - K0 (p).

Передаточная функция K0 (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t) и помеха - z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.

В зависимости от оператора Ки (р) рассматриваются следующие задачи:

Ки (р) = 1 - воспроизведения;

Ки (р) = 1/р - статистического интегрирования;

Ки (р) = р - статистического дифференцирования;

Ки (р) = Задачи синтеза оптимальных систем управления- статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.

Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:

Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.

Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.

Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.

Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Средняя квадратичная ошибка равна


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (t). Необходимо найти такое к (t), при котором ошибка будет минимальной.

Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.

Пусть


Задачи синтеза оптимальных систем управления;

где: Задачи синтеза оптимальных систем управления - оптимальная функция веса;

Задачи синтеза оптимальных систем управления - приращение.

Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:


Задачи синтеза оптимальных систем управления;


где А - функция, которая не зависит от а; В - функция, которая зависит от а; С - функция, которая зависит от а2.

Найдем экстремум по параметру а


Задачи синтеза оптимальных систем управления


к (t) -оптимально если а = 0 т.е. В = 0.


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Откуда можно получить следующее выражение


Задачи синтеза оптимальных систем управления (1)


Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.

Решение уравнение Винера-Хопфа.

Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение:


Задачи синтеза оптимальных систем управления (2)


Откуда


Задачи синтеза оптимальных систем управления (3)


Но это уравнение физически нереализуемо так как к0 (t) = 0 при t < 0 т.е. K0 (jw) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.

Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.

Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде:


Задачи синтеза оптимальных систем управления (4)


Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части


Задачи синтеза оптимальных систем управления (5)


где [] + - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.

Определим Задачи синтеза оптимальных систем управления


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости:


Задачи синтеза оптимальных систем управления (6)


Это формула Винера-Колмогорова.


Примеры решений задач


Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).

Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.


Kи (p) = 1; Задачи синтеза оптимальных систем управления

Задачи синтеза оптимальных систем управленияРис. 2


Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.

Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Так как сигнал и помеха некоррелированы и Kи (p) = 1, то выражение имеет вид:


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Определим Кф (jw)


Задачи синтеза оптимальных систем управления

Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части


Задачи синтеза оптимальных систем управления


При этом


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов


Задачи синтеза оптимальных систем управления


С учетом полученных выражений


Задачи синтеза оптимальных систем управления


При этом передаточная функция представляет аппериодическое звено


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Где

Задачи синтеза оптимальных систем управления


Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.3.

Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.


Kи (p) = р;

Задачи синтеза оптимальных систем управления

Задачи синтеза оптимальных систем управления

Задачи синтеза оптимальных систем управленияРис. 3


Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.

Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид:

Задачи синтеза оптимальных систем управления


Определим Кф (jw)


Задачи синтеза оптимальных систем управления

гдеЗадачи синтеза оптимальных систем управления


Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Где


Задачи синтеза оптимальных систем управления


Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов


Задачи синтеза оптимальных систем управления

С учетом полученных выражений


Задачи синтеза оптимальных систем управления


При этом передаточная функция представляет апериодическое звено


Задачи синтеза оптимальных систем управления

где Задачи синтеза оптимальных систем управления

Литература


Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985.

Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: