Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Калужский филиал

Кафедра “САУ и Электротехники”

ЭИУ3-КФ


Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе


на тему:

“Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем”

по курсу:

Системы аналитических вычислений


Калуга 2007

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана»

Калужский филиал


Факультет электроники, информатики и управления


Кафедра "Системы автоматического управления и электротехника" (ЭИУ3-КФ)


З А Д А Н И Е

на курсовой проект (работу)


по курсу _____Системы аналитических вычислений____________

Студент ________Герасимов Е.И._______ группа ___САУ-62_________

(фамилия, инициалы)

Руководитель_________________Корнюшин Ю.П.____________________

(фамилия, инициалы)

Тема проекта (работы) Численные методы интегрирования и______ оптимизации сложных систем

Техническое задание

Задание 1 .

Практическое изучение численных методов решения нелинейных уравнений (метод простых итераций) и решение заданного уравнения третьего порядка с целью исследования устойчивости заданной системы.


Задание 2 .

Построение годографа АФЧХ, графиков АЧХ и ФЧХ с указанием частот.


Задание 3 .

Практическое изучение численных методов интегрирования дифференциальных уравнений высокого порядка (метод Рунге-Кутта 5-го порядка, неявный метод Адамса 4-го порядка) и построение переходных процессов.


Задание 4 .

Проведение анализа заданной системы с использованием спектрального метода (базис: полиномы Чебышева 2-го рода).


Задание 5 .

Практическое изучение численных методов оптимизации (метод Хука-Дживса с использованием метода Фибоначчи) и определение параметров корректирующего устройства, путем минимизации функционала качества.

Объем и содержание проекта (работы)

Графические работы на ___5_____ листах формата ___A3____

Расчетно-пояснительная записка на __53____ листах формата А4


Структура расчетно-пояснительной записки


Обложка, Задание, Содержание, Введение, Основная часть, Заключение, Литература, Приложение(я).


Содержание и структура Основной части определяется студентом по согласованию с руководителем.

Рисунки, таблицы, литература оформляются в соответствии с ГОСТ 2.105-89 ЕСКД. Общие требования к текстовым документам, ГОСТ 7.32-90 Отчет о научно-исследовательской работе. Общие требования и правила оформления.


Рекомендуемая литература


Н.Д. Егупов, Ю.П. Корнюшин, Ю.Л. Лукашенко, А.А. Самохвалов, М.М. Чайковский Сложные системы автоматического управления с переменными параметрами: алгоритмическое и программное обеспечение решения задач исследования и синтеза, Калуга, 2003

Вержбицкий. Численные методы.

Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти т.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.3: Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под редакцией К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 616с.; ил.

Конспект лекций по курсу "Системы аналитических вычислений" за I и II семестр.

Руководитель проекта ____________________________

подпись

" ______ " ________________ 2007 г.

Студент ____________________________

Подпись

" ____ " _________________ 2007 г.

Содержание


1. Постановка задачи


АНАЛИЗ


Численные методы интегрирования

(Исследование устойчивости САУ)

Для заданной системы требуется определить:

Передаточную функцию замкнутой системы, для случая Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

Корни характеристического уравнения, используя метод секущих;

Найти аналитические выражения для АЧХ, ФЧХ, АФЧХ;

Построить годограф АФЧХ и графики АЧХ и ФЧХ с указанием частот;

Получить ДУ, описывающее данную систему;

Представить ДУ в нормальной форме Коши;

Найти аналитическое решение ДУ;

Найти решение ДУ численным методом(метод Рунге-Кутта 5-го порядка и метод Адамса неявный 4-го порядка);

Анализ заданной системы с использованием спектрального метода (базис: полиномы Чебышева 2-го рода).


СИНТЕЗ


Численные методы оптимизации

Записать передаточную функцию замкнутой системы, с учетом того что Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

Получить ДУ, описывающее данную систему;

Представить ДУ в нормальной форме Коши;

Вычислить неизвестные параметры корректирующего устройства Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем минимизируя функционал качества вида Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем методом Хука-Дживса с использованием метода Фибоначчи. Для нахождения реальной передаточной характеристики системы необходимо использовать один из методов численного интегрирования.

Провести анализ полученных результатов.

Определить неизвестные параметры корректирующего устройства Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, обеспечивающего робастное качество семейству систем.


АНАЛИЗ

Исходные данные: структурная схема заданной системы изображена на рис. 1, а значение параметров системы приведены в таблице 1.


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систему(t) x(t)

- -

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис. 1. Структурная схема системы.

Таблица 1

K1 K2 K3 T1, c T2, c T3, c
15 10 1 1.2 0.3 0.7

2.1 Передаточная функция замкнутой системы, для случая Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Передаточной функцией (ПФ) САУ называется отношение преобразования Лапласа Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем на выходе системы к преобразованию Лапласа Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем сигнала на входе Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем при нулевых начальных условиях:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (1)

Поскольку известны ПФ всех элементов, входящих в структурную схему (рис.1), то применяя аппарат структурных преобразований, позволяющий находить ПФ замкнутых систем, заданных структурными схемами, получим ПФ разомкнутой и замкнутой САУ, изображённой на рис.1:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(1)


В формулу (1) подставлены численные значения, взятые из таблицы 1.

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (2)

Получена ПФ замкнутой системы (2).


2.2 Нахождение корней характеристического уравнения, используя МПИ


Для того, чтобы линейная стационарная система была устойчивой, все корни её характеристического уравнения (полюса ПФ) должны располагаться в левой половине s-плоскости.

Если не все полюса ПФ находятся в левой полуплоскости, то система не будет являться устойчивой. Если какие-то корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, а все остальные корни в левой полуплоскости, то выходная переменная будет иметь вид незатухающих колебаний при ограниченном входе, если только этот вход не является синусоидой, частота которой равна абсолютной величине корней мнимой оси. Такую систему называют находящейся на границе устойчивости.


2.2.1 Вид характеристического уравнения

Запишем характеристическое уравнение найденной ПФ (формула 2):

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

2.2.2 Метод секущих.

Проведём локализацию корней:

Построим график функции Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем на интервале Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.2. График характеристического полинома (3) на интервале


Уравнение имеет 1 действительный корень и 2 мнимых.

Уравнение решается методом секущих (4):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (4)


Возьмем начальное приближение Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем и Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем для нахождения действительного корня.

S=-8.210097

Далее получим значения комплексных корней:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Подставим Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в (5)


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Получаем корни характеристического уравнения:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Вывод: 2 полюса передаточной функции находятся в правой полуплоскости. Система неустойчива.


2.2.3 Движение действительного корня полинома в s-плоскости

Построим график движения корня Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в зависимости от номера итерации:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.3. График движения корня Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в зависимости от номера итерации


2.3 Аналитические выражения для АЧХ, ФЧХ, АФЧХ


График АЧХ:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Функции, определяемые зависимостями (6) и (7), называются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками.

Частотные характеристики определяются следующими показателями:

показатель колебательности Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем - характеризует склонность системы к колебаниям: чем выше Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, тем менее качественна система (как правило в реальных системах Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем);

резонансная частота Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем - частота, при которой АЧХ имеет максимум (на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);

полоса пропускания системы – интервал от Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем до Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, при котором выполняется условие Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

частота среза Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем - частота, при которой АЧХ системы принимает значение, равное Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, т.е. Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. Таким образом можно сделать вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.


2.4. Годограф АФЧХ и графики АЧХ и ФЧХ с указанием частот


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.4 График АЧХ заданной САУ

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.5 График ФЧХ заданной САУ


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.6 График АФЧХ заданной САУ

2.5 Дифференциальное уравнение заданной САУ


Получим ДУ заданной САУ:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


2.6 Нормальная форма Коши, полученного ДУ 3-го порядка


Так как ДУ заданной САУ имеет высокий порядок, то его необходимо свести к системе уравнений, каждое из которых должно иметь первый порядок, т.е. имеет место нормальная форма Коши:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. (9)

Так как ДУ заданной САУ имеет укороченную правую часть, то запишем нормальную форму Коши в следующем виде:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. (10)

Приведём уравнение (12) к нормальной форме Коши:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (11)

или

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем,

где Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


2.7 Аналитическое решение ДУ


Пусть задано изображение выхода

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системили Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.

Тогда используя вторую теорему разложения Лапласа Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системполучим следующее аналитическое выражение для выходного сигнала:

реакция системы на единичное ступенчатое воздействие (Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем) (12):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (12)


2.8 Решение ДУ численным методом(метод Рунге-Кутта 5-го порядка и метод Адамса неявный 4-го порядка)


В неявных методах используется информация о возможном будущем значении решения в точке п+1. Это несколько повышает точность получаемых результатов по сравнению с явными методами.


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Для организации вычислительного процесса по интерполяционной формуле Адамса, имеющей точность решения Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(13):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

необходимо заготовить начальные значения Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, используя метод Рунге-Кутта 5-его порядка.


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Приведенные коэффициенты:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Проведём исследование решения ДУ в зависимости от шага:

Графики выходного сигнала, полученного в аналитическом виде , выходного сигнала, полученного решением ДУ и ошибки решения при шаге h=0.1 и h=0.01, h=0.001.

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.7. Графики выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного в аналитическом виде, выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шагеЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: