Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.8. Графики выходного сигнала , полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге

Рис.9. Графики выходного сигнала , полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге

2.9 Анализа заданной системы с использованием спектрального метода (базис: Чебышева 2 рода)

Спектральная форма представления сигналов и временных динамических характеристик систем и объектов основана на их разложении в заданной системе ортогональных функций

Если некоторый сигнал принадлежит пространству , т.е. для него справедливо положение

,

То он может быть представлен в виде ряда Фурье:

(14)

Если ввести векторы

то ряд (14) можно представить следующим образом

(15)

Совокупность коэффициентов Фурье разложения сигнала в ряд (14) называется спектральной характеристикой этого сигнала.

Коэффициенты Фурье определяются по формуле

(16)

Существенным и определяющим отличием спектрального описания дискретных сигналов от спектрального описания непрерывных сигналов на конечных интервалах является возможность их точного представления в виде рядов Фурье с конечным числом членов. Значит, если дискретный сигнал, а данный сигнал имеет место на входе ЭВМ после его аналого-цифрового преобразования (АЦП), задан на конечном множестве точек, например , в виде некоторой числовой последовательности , то его разложение по заданной системе ортогональных функций

определяется соотношением

(17)

Система - это система ортогональных, нормированных функций, удовлетворяющих условию

Коэффициенты Фурье определяются по формуле

(18)

Далее вводим полиномы Чебышева 2-го рода (19):

(19)

2.9.1 Алгоритм построения спектральной характеристики(СХ)

1. Исходные уравнение (20):

(20)

Вычислим ядра и (21):

(21)

3. Разложим в ряды Фурье по заданному базису (22):

(22)

4. Получим значение Сх из приведенных ниже преобразований (23):

(23)

5. Найдем матрицу А:

6. Получены значения ядер:

7. Воздействие:

8. Значение вектора Cх:

9. Матрица А:

А=

Рис.10 Переходная функция, построенная спектральным методом

Рис.11 График выходного сигнала, полученного аналитически, сигнала, полученного спектральным методом и ошибки.

3. СИНТЕЗ

Исходные данные: структурная схема заданной системы изображена на рис. 12.

Введем в систему последовательное корректирующее устройство. В качестве регулятора выберем ПИД-регулятор.

Его передаточная функция имеет вид:

(24)

Рис.12: Структурная схема заданной САУ с корректирующим устройством в прямой цепи.

3.1 Передаточная функция замкнутой цепи скорректированной САУ

Найдём передаточную функцию разомкнутой цепи, если известна передаточная функция объекта (25):

(25)

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид (26):

(26)

Для решения задачи синтеза необходимо найти параметра регулятора , структура которого заданна (формула 31), при которых реальный выходной сигнал , являющийся реакцией на единичное ступенчатое воздействие, будет близок к заданному эталонному сигналу .

В качестве эталонного выходного сигнала выберем следующий сигнал:

, (27)

где параметр находится по следующей зависимости:

. (28)

3.2 Функционал качества, подлежащий дальнейшей минимизации

Критерием близости выберем метрику пространства .

Тогда целевая функция, подлежащая минимизации по параметрам регулятора будет иметь следующий вид:

(29)

3.2.1 Поиск минимума функции методом Фибоначчи

Если начальный интервал имеет длину , то произведя вычислений функции, можно уменьшить начальный интервал неопределённости в раз по следующей формуле:

(30)

по сравнению с его начальной длинной (пренебрегая ).

Если определить последовательность чисел Фибоначчи следующим образом: для то можно найти положение первой точки, которая помещена на расстоянии от одного из концов начального интервала, причём не важно, от какого конца, поскольку вторая точка помещается согласно правилу симметрии на расстоянии от конца интервала:

. (31)

После того, как найдено положение первой точки, числа Фибоначчи больше не нужны. Используемое значение может определятся из практических соображений. Оно должно быть меньше , иначе будут иметь место лишние вычисления значений функции .

Таким образом, поиск методом Фибоначчи является итерационной процедурой.

В процессе поиска интервала с точкой , уже лежащей в этом интервале, следующая точка всегда выбирается такой, что .

Обозначим и , тогда можно рассмотреть четыре случая организации вычислительного процесса:

1. : новый интервал .

2. : новый интервал .

3. : новый интервал .

4. : новый интервал .

Оканчивать вычислительный процесс можно двумя способами. Либо выполнить намеченные ранее вычислений, либо, если в процессе вычислений интервал неопределённости станет меньше заданной величины.

3.2.2 Метод Хука-Дживса

В данном методе поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которым, в случае успеха, проводится поиск по образцу.

Процедура поиска следующая.

Выбрать начальную базисную точку и шаг длиной для каждой из переменных , .

Вычислить в базисной точке с целью получения сведений о локальном поведении функции . Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции.

При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом.

Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшаться до заданного малого значения.

3.3 Дифференциальное уравнение скорректированной системы

Для минимизации целевой функции (37) необходимо реализовать вычисление реального выходного сигнала в каждый отдельный момент времени. Помимо этого, необходимо реализовать итерационный процесс и реализовать алгоритм вычисления параметра

Для вычисления перейдём от передаточной функции замкнутой цепи к дифференциальному уравнению, используя свойства преобразований Лапласа. Оно будет иметь следующий вид:

(32)

Запишем ДУ (32) в другом виде:

(33)

3.4 Нормальная форма Коши, полученного ДУ скорректированной системы

Для решения ДУ (33) с помощью численного метода решения дифференциальных уравнений, необходимо понизить его порядок, путём перехода от данного ДУ к нормальной форме Коши

Нормальная форма Коши для ДУ (33) будет иметь следующий вид:

где коэффициенты рассчитываются по следующим формулам:

Тогда ДУ (33) можно записать в следующем виде

, (34)

где

Рис. 13. Графики выходных сигналов скорректированной (зеленая линия) и нескорректированной (синяя линия) САУ.

Полученные параметры регулятора:

Кп=1.0547895

Кд=0.0550905

Ки=0.9452075

5. Выводы

Численные методы решения дифференциальных уравнений используются в тех случаях, когда не удается найти их решение в аналитическом виде. Прежде всего, это относится к линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами и нелинейным дифференциальным уравнениям, соответственно описывающим динамику линейных нестационарных и нелинейных систем управления.

Сущность численных методов состоит в том, что решение ДУ строится только для дискретных значений аргумента.

Все численные решения ДУ делятся на две группы: одношаговые и многошаговые. В одношаговых методах используется информация о поведении решения в предыдущей точке. В многошаговых о поведении решения в нескольких предыдущих точках.

Численные решения ДУ можно разделить на две группы: явные и неявные. В явных методах, в отличие от неявных, используется явная зависимость значения функции в текущей точке от значений функции в предыдущих точках. Преимуществом таких методов является относительная простота вычисления значения функции на каждом шаге, однако, сходимость данных методов определяется шагом интегрирования .

В отношении численных методов оптимизации следует отметить следующее. Все численные методы минимизации делятся на прямые и градиентные методы. В прямых методах используется только значение функции в конкретных точках, а в градиентных - информация о первых и вторых производных функции. Также методы минимизации можно разделить на методы минимизации функции одной переменной и методы, позволяющие минимизировать функции многих переменных. При минимизации необходимо учитывать наличие ограничений на параметры исходной функции.

6. Литература

Н.Д. Егупов, Ю.П. Корнюшин, Ю.Л. Лукашенко, А.А. Самохвалов, М.М. Чайковский Сложные системы автоматического управления с переменными параметрами: алгоритмическое и программное обеспечение решения задач исследования и синтеза, Калуга, 2003

Вержбицкий. Численные методы.

Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти т.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.3: Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под редакцией К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 616с.; ил.

Конспект лекций