Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Інтеграли зі змінними границями

Інтеграли зі змінними границями

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет


Механіко-математичний факультет

Кафедра обчислювальної механіки і міцності конструкцій


Курсова робота


з чисельних методiв

на тему:


Інтеграли зі змінними границями


Виконавець студент групи МД-01-1 Ромащук Р. В.

Керівник старший викладач Гарт Е.Л.


Дніпропетровськ

2003 р.

Ця курсова робота мiстить в собi такi теоретичнi питання, як « Визначений інтеграл зі змінною верхньої межею. Властивості визначеного інтегралу зі змінною верхньої межею. Чисельні методи знаходження визначеного інтегралу зі змінною верхньої межею», розв’язок за допомогою обчислювальної машини задачi для знаходження визначеного інтеграла зі змінними границями інтегрування, а також наведенi висновки, на основi отриманих результатiв.


З М I С Т

Постановка задачi ………………………………………………………………………........4

Вступ…………………………………………………………………………………………....5

1. Постановка задачі чисельного інтегрування.............……............................6

2. Квадратурні формули………...........................................................................6

2.1. Формула прямокутників.......................................................................6

2.2. Формула трапецій..................................................................................7

2.3. Формула парабол (Сімпсона)...............................................................9

3. Чисельні методи знаходження визначеного

інтеграла зі змінною верхньою межею.........................................................10

4. Опис обчислювального алгоритму………………………………………….10

5. Обговорювання результатів…………………………………………………11

Висновки…………………………………………………………………………12

Список посилань………………………………………………………………...13

Додатки:………………………………………………………………………….14

А Опис вихiдних даних та результатiв розрахунку………………...14

В Схема обчислювального алгоритму……………………………….15

С Лiстiнг програми…………………………………………………....18


Постановка задачі


За допомогою квадратурних формул обчислити визначений інтеграл зі мінною границею

Інтеграли зі змінними границями (1)


Побудувати сітку, і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці fn=f(x)

За квадратурною формулою високої точності. Тоді

Інтеграли зі змінними границями xnЈxЈxn+1


В С Т У П


В практичних розрахунках, у т.ч. в задачах механіки, нерідко виникає необхідність обчислення визначених інтегралів

Інтеграли зі змінними границями

де під інтегральна функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція r(x) неперервна на інтервалі (a,b).

До чисельного знаходження інтеграла звертаються тоді, коли його або неможливо виразити через елементарні функції, або підінтегральна функція задана таблично, а також коли внаслідок інтегрування приходять до незручного для використання виразу. Формули чисельного знаходження визначених інтегралів називаються квадратурними формулами. Побудова квадратурних формул ґрунтується на заміні складної підінтегральної функції деякою більш простою, інтеграл від якої легше обчислити. Виникаюча при цьому похибка називається похибкою квадратурної формули. Най простіші квадратурні формули можуть бути отримані із простих геометричних міркувань.


Постановка задачі чисельного інтегрування

Нехай потрібно знайти визначений інтеграл

Інтеграли зі змінними границями (1.1)

де функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція r(x) неперервна на інтервалі (a,b). Тоді f(x) наближають такою функцією j(x;C) від якої інтеграл легко взяти в елементарних функціях. Завдяки лінійності такої апроксимації відносно параметрів ci функцію можна записати так:

Інтеграли зі змінними границями (1.2)

де r(x) – залишковий член апроксимації. Підставляємо (1.2) в (1.1), отримаємо загальну формулу чисельного інтегрування – квадратурну формулу:

Інтеграли зі змінними границями

Інтеграли зі змінними границями; Інтеграли зі змінними границями

де хi - вузли, сi – ваги, R – залишковий член. Інтеграл приблизно заміняється сумою, схожою на інтегральну суму, причому вузли та коефіцієнти цієї суми не залежать від f(x).


2. Квадратурні формули.

2.1. Формула прямокутників.

Припустимо, що fОC2[-h/2,h/2], h>0 .

Інтеграли зі змінними границями (2.1.1)

де f0=f(0), тобто площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції f(x) , апроксимується площею прямокутника, висота якого дорівнює значенню f(x) в середній точці трапеції (мал. 2.1.1).

Інтеграли зі змінними границями

мал. 2.1.1. Формула прямокутників


Знайдемо залишковий член , тобто похибку формули (2.1.1) . Нехай

Інтеграли зі змінними границями (2.1.2)

Інтеграли зі змінними границями Тому що F(0)=0, F/(0)=f0, F//(0)=f/0, F///(x)=f//0,

то відповідно до формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа маємо

Інтеграли зі змінними границямиІнтеграли зі змінними границями (2.1.3)

де x- , x+ - деякі точки , -h/x-<x+<h/2.

Функція F(x) є первісної для f(x). Тому для інтеграла, що стоїть в лівій частині наближеної рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбница з розрахунком (2.1.3) випливає наступне співвідношення

Інтеграли зі змінними границями

Ззвідси одержуємо формулу прямокутників із залишковим членом:

Інтеграли зі змінними границями (2.1.4)


2.2. Формула трапецій.

Нехай fОC2[0,h], h>0

Інтеграли зі змінними границями (2.2.1)

де f0=f(0), f1=f(h) тобто інтеграл Інтеграли зі змінними границями приблизно заміняється площею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1).

Інтеграли зі змінними границями

мал. 2.2.1. Формула трапецій.


Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (2.2.1). Виразимо f1 та F1=F(h) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі (*):

Інтеграли зі змінними границями(*)

Інтеграли зі змінними границями (2.2.2)

Інтеграли зі змінними границями(2.2.3)

Згідно (2.2.1) маємо

Інтеграли зі змінними границями (2.2.4)

Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf0/2 і замінивши його вираженням (2.2.4), з урахуванням того, що

Інтеграли зі змінними границями

знаходимо

Інтеграли зі змінними границями

Перетворимо тепер другий доданок у правій частині, використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що (h-t)tі0, tО[0,t] то за теоремою

Інтеграли зі змінними границями

де xО[a,b] - деяка точка . Підставляючи отримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом :

Інтеграли зі змінними границями (2.2.5)


2.3. Формула Сімпсона .

Припустимо, що fОC4[-h,h]. Тоді інтеграл

Інтеграли зі змінними границями

наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійної трапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (-h,f-1), (0,f0), (h,f1), де fi=f(ih) (мал. 2.3.1)

Інтеграли зі змінними границями

мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона)


Зазначена парабола задається рівнянням

Інтеграли зі змінними границями

у цьому неважко переконатися, поклавши x=-h, x=0, x=h (її можна також одержати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другого ступеня і приводячи подібні ). Звідси знаходь

Інтеграли зі змінними границями

Таким чином, формула Сімпсона , називають також формулою парабол, має вид

Інтеграли зі змінними границями (2.3.1)

Покладемо F±1=F(±h), де F функція (2.1.2). Оскільки F(0)=0, F(k)(x)=

f(k-1 ) (x), 1ЈkЈ5 то згідно формули Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі маємо

Інтеграли зі змінними границями

Звідси одержуємо

Інтеграли зі змінними границями (2.3.2)

тому що інші члени взаємно знищуються.

Оскільки Інтеграли зі змінними границями , tО[0,h] то застосовуючи до інтеграла (2.3.2) узагальнену теорему про середнє, знаходимо

Інтеграли зі змінними границями

Інтеграли зі змінними границями (2.3.3)

де hО[0,h], xО[-h,h] - деякі точки. Приймаючи до уваги, що

Інтеграли зі змінними границями

з (2.3.2), (2.3.3) приходимо до формули

Інтеграли зі змінними границями (2.3.4)

тобто до формули Сімпсона з залишковим членом.


3. Чисельні методи знаходження визначеного

Інтеграла зі змінною верхньою межею


У деяких випадках необхідно обчислити такі інтеграли

Інтеграли зі змінними границями

Можна, звичайно, розглядати його для кожного значення верхньої границі х як інтеграл зі сталими границями і обчислювати за однією з квадратурних формул, що невигідно у випадку великої кількості значень x. Краще вибрати деяку сітку і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці Fn=F(x) за квадратурної формули високої точності. Тоді

Інтеграли зі змінними границями Інтеграли зі змінними границями (3.1)

причому останній інтеграл можна одчислювати за простими квадратурними формулами.

Окрім того, маючи таблицю F(xn), можна знаходити F(x) інтерполяцією за цією таблицею. Природно, маючи і похідну інтеграла Fў (x)=r(x)f(x). Краще скористатись інтерполяційним поліномом Ерміта.


4. Опис обчислювального алгоритму


При реалізаціі алгоритму обчислення визначеного інтеграла зі змінними границями інтегрування використовуються процедури та функцiї, для того щоб скоротити витрати машинного часу при обчислюваннi, та для компактностi программи. Программа для знаходження написана на мовi Delphi5, стан пограмми – вiдлажена.


Обговорювання результатів

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Похожие рефераты: