Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ”ХПИ”

Кафедра вычислительной техники и программирования

Курсовая работа

по теме "Решение краевых задач в среде виртуальной

гибридной машины"

Харьков – 2008

ВВЕДЕНИЕ

В своем развитии вычислительные средства, рожденные удивительными идеями подобия физических процессов различной природы, прошли множество оригинальных технических реализаций. Опыт развития показывает, что жизнь технических решений в своем материальном воплощении недолговечна. Появляются новые материалы, технологии, физические среды и процессы. На их основе реализуются технические устройства для успешного применения зарекомендовавших себя методик исследований и вычислений.

Так, благодаря интенсивному развитию цифровой вычислительной техники и сверхмикроминиатюризации электронных элементов, узлов и блоков, “Аналоговые вычислительные машины” расширили свои вычислительные и функциональные возможности, превратившись в гибридные вычислительные системы моделирования, тренажерные комплексы и специализированную периферию. Время проведения исследований динамических объектов уменьшилось на порядки, стало возможным выполнять одновременно оперативную обработку и соответствующее документирование результатов.

В настоящее время в аппаратной среде цифровых машин можно реализовать программную модель универсальной гибридной (аналого-цифровой) вычислительной машины, в которой операционные блоки будут функционировать в квазипараллельном режиме (в режиме разделения времени). Такую модель удобно создавать с помощью профессиональных пакетов моделирования электронных аналоговых и цифровых схем, снабженных развитым графическим интерфейсом пользователя.

Используя макроопределения для схем операционных блоков и снабжая их соответствующими графическими обозначениями, можно сформировать весь набор операционных блоков, необходимый для представления математических моделей реальных объектов.

Положительные достоинства работы с псевдооборудованием гибридного вычислительного комплекса состоит в том, что в его среде можно моделировать объекты любой физической природы, лишь бы их можно было описать адекватными математическими моделями. При этом используется отработанная десятилетиями процедура программирования аналоговых устройств и естественное умение разработчика взаимодействовать с объектом, который им же описан математически.

В прошлом программирование аналоговых ЭВМ происходило методом переключения перемычек на коммутационной панели ЭВМ. Это было неудобно и связано с риском поражения электрическим током (напряжением до 100 В). Чтобы просмотреть результаты моделирования или выполнить замеры, необходимо было подключать осциллограф - для анализа переходных процессов, или стрелочные приборы - для анализа установившихся состояний.

Работа в среде виртуальной гибридной вычислительной машины упростила составление схем устройств, повысила наглядность экспериментов, уменьшила риск поражения электрическим током. Результаты моделирования можно просматривать на экране монитора и распечатывать на принтере.

В данном расчетно-графическом задании виртуальная гибридная вычислительная машина будет использована в качестве вычислительного инструмента для решения краевых задач методами математического и аналогового моделирования, с целью демонстрации возможностей аналоговых устройств для исследования физических объектов, описанных уравнениями математической физики в обыкновенных и частных производных.

1 АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1.1 Анализ задания и постановка задачи исследования

В задании на выполнение расчетно-графического задания приведено краткое описание исходных данных следующего содержания:

Провести исследование конечно-разностных методов решения краевых задач путем моделирования в среде пакета Micro-Cap V. Оценить эффективность и сравнительную точность получения решений методом математического моделирования, аналогового моделирования и численными расчетами. Здесь, во-первых, четко указан класс задач, для которого необходимо разработать методику решения и исследования. Это класс краевых задач, к которым относятся дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных с условиями, заданными на границе области решения. Во-вторых, названа моделирующая среда, в которой должна функционировать виртуальная аналоговая вычислительная машина. Это профессиональный пакет схемотехнического моделирования электронных схем Micro-Cap V. И, в-третьих, с целью сопоставления результатов решения, рекомендуется применить различные методы, из которых названы три: метод математического моделирования, метод вычислений по аналогии и метод традиционных численных расчетов.

В связи со сказанным, мне необходимо проанализировать наиболее распространенные методы решения краевых задач в обыкновенных производных, выбрать из них удобный для применения в виртуальной гибридной среде и подобрать для демонстрации контрольные задачи. Аналогичную работу необходимо провести с краевыми задачами в частных производных. Описать методику конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений и привести алгоритмы или последовательность ее выполнения.

В результате рассмотрения существующих методов решения составить математические модели краевых задач, подобрав в качестве исходных уравнений такие, для которых, с целью контроля, несложно получить и аналитические решения.

1.2 Методы решения задач в частных производных

Среди дифференциальных уравнений в частных производных можно выделить уравнения, описывающие стационарные распределения в заданной области некоторой физической величины, и уравнения, описывающие изменение во времени распределенной в заданной области физической величины. Признаком, разделяющим уравнения на эти два подмножества, является присутствие в уравнении частной производной по времени. Принципиальное различие пространственной и временной независимых переменных состоит в том, что в отличие от однонаправленного изменения реального времени ортогональные пространственные переменные могут изменяться независимо друг от друга в обоих направлениях.

Ядром наиболее часто встречающихся дифференциальных уравнений в частных производных служит уравнение Лапласа

,

где (набла в квадрате) - оператор Лапласа, который в двумерной декартовой системе координат имеет вид

.

Это уравнение описывает стационарное поле некоторой физической величины и относится к уравнениям эллиптического, гиперболического или параболического типа в зависимости от значения определителя дифференциальной формы второй степени

, для которой соответственно ,

где - в общем случае функции координат и потенциала u.

К нестационарным уравнениям параболического и гиперболического типов относятся соответственно уравнение теплопроводности с параметрами-функциями s и S

и уравнения волновое и бигармоническое с параметром С

и

Названные уравнения представлены в канонической форме, которая включает безразмерные относительные переменные, обычно приводимые к диапазонам изменения [0,1] и [-1,1]. Размерности слагаемых согласуются посредством параметров уравнения.

Основным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных является аппроксимация уравнения системой алгебраических уравнений или системой дифференциальных уравнений. Эти два вида аппроксимаций в литературе получили название метод сеток и метод прямых.

Метод сеток реализуется в том случае, когда частные производные, входящие в уравнение, заменяются в каждой точке заданной области конечно-разностными выражениями, полученными из значений искомого решения в окружающих точках. Количество уравнений в системе связано с шагом дискретизации временной и пространственных переменных и формой границы области решения. Число точек, попавших внутрь области решения, определяет число неизвестных и уравнений.

Метод прямых относится к случаю, когда одна из независимых переменных является временем (случай нестационарных задач) или когда одну из пространственных переменных (случай стационарных задач) пропорционально связывают со временем. Частные производные от независимых переменных, не связанных с временем, аппроксимируют конечными разностями. В результате, оставшиеся дискретными независимые переменные сочетанием своих значений определяют общее число дифференциальных уравнений, которые в общем случае являются краевыми.

Аппроксимирующие дифференциальные уравнения с краевыми условиями невозможно интегрировать как систему уравнений Коши. Линейная система краевых задач многократно решается с частными начальными условиями и по результатам решений краевые условия пересчитываются в начальные. Нелинейной системе для приближенного вычисления начальных условий потребуются итерационные процедуры, рассмотренные выше.

Математические модели, сформированные по методам сеток и прямых, могут быть решены методом математического моделирования с применением аналоговых или псевдо аналоговых операционных блоков, а также методом аналогий.

Метод аналогий (аналоговое моделирование) заключается в том, что для каждого уравнения математической модели подбирается физический объект, переменные состояния которого связаны таким же уравнением. В подавляющем большинстве случаев в качестве аналоговых объектов используются схемы с электрическими и электронными компонентами. Особенно простыми аналогами уравнений математических моделей являются уравнения электрических схем, полученные на основании законов Ома и Кирхгофа.

Итак, все рассмотренные методы используют конечно-разностную аппроксимацию, к рассмотрению которой мы переходим.

1.3 Конечные разности и аппроксимация производных

1.3.1 Определение конечных разностей

Конечная разность "вперед" для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением: , где функция задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции f(x) определяющее соотношение имеет вид:

f(x) = f(x+h) - f(x)

Преобразование таблицы функции f(x) в функцию целочисленного аргумента g(i) осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i : .

Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции g(i) определяются соотношением

Линейность конечно-разностного оператора позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига E=(1+) и многочлены от оператора с целыми коэффициентами, такие, как

и т.п.,

где должно рассматриваться в качестве оператора повторной разности k-го порядка .

Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g(i+1) :

g(i+1) = Eg(i) = (1+)g(i)= g(i) + g(i).

Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить значение ординаты функции g(i) в точке (i+n) через конечные разности различных порядков:

где - число сочетаний из n элементов по k ;

-

многочлен степени k от целой переменной n (), имеющий k сомножителей. При k=n .

Относительно начала координат (i=0 - начало таблицы) функция целочисленной переменной g(n) представляется разложением по многочленам различных степеней от 0 до n. Для больших степеней конечные разности равны нулю.

С другой стороны, так как , то

Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.

1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования

Значение функции на удалении h от некоторой точки можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:

где - оператор дифференцирования,

- оператор сдвига, выраженный через оператор p .

h- шаг по оси действительной переменной

Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:

,

Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:

Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:

.

Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:

.

Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и :

.

Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:

После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся заменяются выражением . Раскрыв скобки, подставив и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:

.

Коэффициенты минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.

Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.

1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.

Таблица 1 - Аппроксимация первой производной по трем точкам

Таблица 2 - Аппроксимация второй производной по трем точкам

Таблица 3 - Аппроксимация первой производной по пяти точкам

Таблица 4 - Аппроксимация второй производной по пяти точкам

Чтобы получить конечно-разностную модель дифференциального уравнения, необходимо сначала интервал или область решения разделить с постоянным шагом по осям координат на требуемое число подинтервалов и для каждой внутренней точки подставить аппроксимирующие выражения в заданное уравнение. После приведения подобных членов в каждом уравнении, получится система алгебраических уравнений при полной дискретизации всех независимых переменных или система дифференциальных уравнений - при неполной дискретизации. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках.