Теория распределения информации

Курсовая работа

Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

г. Алматы, 1999 г.

Задание 1.

Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что:

а) N >> V;  б) N  V;  в) N, V  

Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

V= ;

целая часть полученного числа, где NN – номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

а = 0,2+0,01 * NN

Примечания:

Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих, включая значение вероятности для  i =  (целая часть А)

А = а * V

Решение:

Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина – функцией распределения  основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Определим исходные данные для расчета:

V=

a = 0.2 + 0.01 * 11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)

А = а * V = 0,31 * 11 = 3,41 » 4 Эрл (нагрузка)

а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N >> V (N – число источников нагрузки).

Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение  Эрланга имеет вид:

Pi(V) =  , ,

где Pi(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где Pv – вероятность занятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р0 =

Р1 = Р0 *  = 0,072    Р2 = Р1 *  = 0,144

Р3 = Р2 * = 0,192     Р4 = Р3 * = 0,192

Р5= Р4 * = 0,153     Р6 = Р5 * = 0,102

Р7 = Р6 * = 0,058     Р8 = Р7 * = 0,029

Р9 = Р8 * = 0,012     Р10 = Р9 * = 4,8 * 10-3

Р11 = Р10* = 1,7 * 10-3

M( i ) = 4 * (1 - 1,7 * 10-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4 * 1,7 * 10-3 * (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:

Таблица 1

б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии N@V. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: Pi(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V;

 - число сочетаний из V по i (i = 0, V)

 ,

а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию      

V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = V*a;  D( i ) = V * a * (1-a)

Произведем расчет:

;

Р1 = 16,8*10-3*

Р2 = 16,8*10-3*

Р3 = 16,8*10-3*

Р4 = 16,8*10-3*

Р5 = 16,8*10-3*

Р6 = 16,8*10-3*

Р7 = 16,8*10-3*

Р8 = 16,8*10-3*

Р9 = 16,8*10-3*

Р10 = 16,8*10-3*

Р11 = 16,8*10-3*

M( i ) = 11 * 0,31 = 3,41;  D( i ) = 11 * 0,31 * (1 – 0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем в таблицу 2:

Таблица 2

в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии N,V®¥.

Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:

,  ,

где:  l - параметр потока, выз/час

       lt – средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий  (А=lt).

Легко показать, что:

 , 

Произведем расчет:

Р0 =  * е-4 = 0,018    Р1 = 0,018 *  = 0,036

Р4 =  *  0,018 = 0,192    Р6  = 0,018  *   = 0,102

Р8  = 0,018  *   = 0,029   Р10  = 0,018  *   = 0,0052

Р12  = 0,018  *   = 0,0006  

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем в таблицу 3:

Таблица 3

По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) N@V, в) N, V ® ¥ ; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени [ 0, t*]:

Рк(t*), где t* = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

F(t*),  t* =  0; 0,1; 0,2; …

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [ 0, t*]:

Pi³k(t*),  где t* = 1

Примечание: 1. Для расчета значений A и V взять из задания 1.

2.Число вызовов к определить из выражения: к = [V/2] - целая часть числа.

Для построения графика взять не менее пяти значений  F(t*). Результаты привести в виде таблицы:

Расчет  Pi³k(t*) провести не менее чем для восьми членов суммы.

Решение:

Потоком вызовов называют последовательность однородных событий, поступающих через случайные интервалы времени. Поток вызовов может быть задан тремя эквивалентными способами:

Вероятностью поступления к вызовов за интервал времени [0,t).

Функцией распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов.

Вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [0,t).

Свойства потоков: станционарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия. Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.

Основными характеристиками потоков вызовов являются: интенсивность m  и параметр l.

Простейшим потоком называется ординарный стационарный поток без последействия.

Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [0,t).

,

где: к = 0, 1, …; 

t* = t /`t ;     где `t – средняя длительность обслуживания вызова.

Определим данные для расчетов:

К = 11/2 = 6;  А = 4;  V = 11;

Производим расчеты для t*  = 0,5 с.

P2(0,5) = 0,13   P3(0,5) = 0,18  P4(0,5) = 0,09

P5(0,5) = 0,03   P6(0,5) = 0,012  

Производим расчеты для t*  = 1,0 с.

P2(1) = 0,14   P3(1) = 0,19  P4(1) = 0,19

P5(1) = 0,15   P6(1) = 0,1  

Производим расчеты для t*  = 1,5 с.

P2(1,5) = 0,044   P3(1,5) = 0,089  P4(1,5) = 0,13

P5(1,5) = 0,16   P6(1,5) = 0,16  

Производим расчеты для t*  = 2 с.

P2(2) = 0,01   P3(2) = 0,028  P4(2) = 0,057

P5(2) = 0,91   P6(2) = 0,122  

Рассчитаем функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

где Zk – промежуток времени между ( к-1 )-м и к-м вызовами.

F(0) = 1 – e-4*0 = 0  F(0,1) = 1 – e-4*0,1 = 0,32  F(0,2) = 1 – e-4*0,2 = 0,55

F(0,3) = 0,69  F(0,4) = 0,79   F(0,5) = 0,86

F(0,6) = 0,9   F(0,7) = 0,93

Результаты вычислений занесем в таблицу 4:

Таблица 4