Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений

.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Федеральное агентство по образованию

Тульский Государственный педагогический университет

имени Л. Н. Толстого

Кафедра информационных технологий


Курсовая работа

Решение линейных интегральных уравнений


студента 4 курса группы В

специальности 351500 – МОиАИС

Селиванова Сергея Валериевича


Тула – 2008

Оглавление


Введение

1. Теоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений

2. Практическая часть по решению линейных интегральных уравнений

Заключение

Используемые источники


Введение


В данной курсовой работе рассмотрена проблема решения линейных интегральных уравнений. Целью курсовой работы было написание функции, которая по введенным данным (ядру интегрирования, правой части уравнения и отрезку интегрирования) могла бы находить решения линейного интегрального уравнения. Проблема разработки алгоритма решения и написании на его основе функции является практически актуальной, так как решение линейных интегральных уравнений без привлечения ЭВМ является достаточно трудоемким.

Данная курсовая работа состоит двух частей.

В первой части приведена теоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений, включающая основные леммы и теоремы по теме данной курсовой, дающие научную основу для разработки алгоритма решения линейных интегральных уравнений и написании на его основе функции.

Во второй главе приводится алгоритм решения линейного интегрального уравнения и, написанной на его основе, функции.


1. Теоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений


Существует множество методов решений линейных интегральных уравнений. Рассмотрим один из них – метод итераций.

Рассмотрим краткое уравнение Фредгольма второго рода:


Решение линейных интегральных уравнений (1)


Будем предполагать, что свободный член и ядро этого уравнения принадлежат соответствующим классам Решение линейных интегральных уравнений и Решение линейных интегральных уравнений. Уравнение (1) будем также записывать кратко в виде


Решение линейных интегральных уравнений, (2)


где интегрирование распространенно на единичный r-мерный куб Gr.

Лемма 1. Если Решение линейных интегральных уравнений


Решение линейных интегральных уравненийи Решение линейных интегральных уравнений (3)


то при Решение линейных интегральных уравненийрешение уравнения (2) удовлетворяет соотношению


Решение линейных интегральных уравнений,


где функция определена равенством


Решение линейных интегральных уравнений (4)


Принадлежит классуРешение линейных интегральных уравнений.

Доказательство.

Известно, что при достаточно маломРешение линейных интегральных уравненийλ решение уравнения (2) можно представить в виде ряда


Решение линейных интегральных уравнений

где Grv-единичный rv-мерный куб. пусть величина Rn определена равенством


Решение линейных интегральных уравнений .


Тогда пользуясь определением функции F(P,Q1,…,Qn) получим


Решение линейных интегральных уравнений(5)


Обозначим через С(m1,…,mr) коэффициенты Фурье функции f(P). Так как, по условию, f(P) Решение линейных интегральных уравнений, то


Решение линейных интегральных уравнений


Аналогичная оценка справедлива, очевидно, и для ядра K(P,Q) уравнения (2) Решение линейных интегральных уравнений.

Но тогда


Решение линейных интегральных уравнений


и, следовательно,


Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений


получим


Решение линейных интегральных уравнений,

Решение линейных интегральных уравнений.


Отсюда в силу (5) следует первое из утверждений леммы:


Решение линейных интегральных уравнений.


Перейдем теперь к доказательству второго утверждения. Так как f(P)Решение линейных интегральных уравнений и K(P,Q)Решение линейных интегральных уравнений,то, аналогично рассуждениям леммы 12 (1, с.61) легко показать, что


Решение линейных интегральных уравнений (6)

Где,


Решение линейных интегральных уравнений


В отличие от остальных сомножителей, первый сомножитель в соотношении (6) рассматривается как функция r переменных, соответствующих величине Q1, а не как функция всех своих переменных.

Решение линейных интегральных уравненийДалее, рассматривая каждую из функций (v=1,2,…,n)

Решение линейных интегральных уравненийКак функцию всех rn переменных, соответствующих n величинам Q1,…,Qn, согласно первому утверждению леммы 12 (1, с.61) получим, что функция принадлежит классу Решение линейных интегральных уравнений, где


Решение линейных интегральных уравнений.


Но в силу (6)


Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений


и, следовательно,


Решение линейных интегральных уравнений.


Чем лемма 1 доказана полностью.

Пусть, как и выше f(P)Решение линейных интегральных уравнений и K(P,Q)Решение линейных интегральных уравнений,


Решение линейных интегральных уравнений (7)


и величина γ0 определена равенством (3)

Покажем, что для приближённого решения уравнения (7) можно использовать квадратные формулы с неравномерными сетками.

Теорема 1. Пусть p- простое число, N=p,Решение линейных интегральных уравнений и величина n определена равенством


Решение линейных интегральных уравнений


Тогда при произвольно малом ε для решения уравнения (7) выполняется асимптотическое равенство


Решение линейных интегральных уравнений


где


Решение линейных интегральных уравнений


Доказательство.

Пусть функция Φ принадлежит классу Решение линейных интегральных уравнений и σ-сумма модулей её коэффициентов Фурье. Тогда согласно теореме 15 (1, с.94) справедлива квадратурная формула

Решение линейных интегральных уравнений, (8)


где


Решение линейных интегральных уравнений (9)


Выберем в лемме 1 Решение линейных интегральных уравнений. Тогда при Решение линейных интегральных уравненийдля решения уравнения получим


Решение линейных интегральных уравнений (10)


где согласно (4)функция F(P,Q1,…,Qn) определена равенством F(P,Q1,…,Qn)=Решение линейных интегральных уравненийи принадлежит классуРешение линейных интегральных уравнений.

Пусть при k=1,2,…,N и v=1,2,…,n точки Mk,v определены равенством


Решение линейных интегральных уравнений.


Выберем p настолько большим, чтобы выполнялись неравенства n≥1 и N≥rn

Тогда применяя квадратичную формулу (8) получим


Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений (11)


где в силу (9)


Решение линейных интегральных уравнений (12)


Пользуясь определением n и Решение линейных интегральных уравнений, получим


Решение линейных интегральных уравнений.

Решение линейных интегральных уравнений.


Следовательно,


Решение линейных интегральных уравнений, Решение линейных интегральных уравнений, Решение линейных интегральных уравнений.


В силу (12)


Решение линейных интегральных уравнений


Но тогда из (10) и (11) следует, что


Решение линейных интегральных уравнений


Отсюда, пользуясь оценкой


Решение линейных интегральных уравнений,


получаем утверждение теоремы.

Результат, полученный в теореме 1, можно усилить, если воспользоваться методом оптимальных коэффициентов.

Лемма 2. Для всякого простого p существуют оптимальные коэффициенты a1,…,as такие, что каково бы ни было a>1+ε1, при любом ε1Решение линейных интегральных уравнений(0;1) выполняется оценка


Решение линейных интегральных уравнений


Доказательство.

Пусть z-произвольное целое из интервала Определим функцию Тs(z) равенством


Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений


Пусть при z=a достигается минимум этой функции. Тогда, очевидно,


Решение линейных интегральных уравнений (13)


Так согласно лемме 1(1, с.21)


Решение линейных интегральных уравнений,


то при произвольном ε > 0 получим из (13),


Решение линейных интегральных уравнений


Отсюда следует, что


Решение линейных интегральных уравнений (14)


Введём обозначения


Решение линейных интегральных уравнений


Так из (14) в силу определения величины Ts(a) следует оценка


Решение линейных интегральных уравнений (15)

то пользуясь неравенством, получим


Решение линейных интегральных уравнений (16)


Чтобы оценить сумму Σ2, заметим, что для нетривиальных решений сравнения


Решение линейных интегральных уравнений (17)


Выполняется неравенство


Решение линейных интегральных уравнений (18)


Действительно, согласно определению величины δp(m) в левой части неравенства (14) отличны от нуля только такие слагаемые, для которых m1,…,ms является нетривиальным решением сравнения (5.43). так как любое из этих слагаемых не превосходит всей суммы, то для каждого нетривиального решения сравнения получим


Решение линейных интегральных уравнений,


Чем неравенство (5.44) доказано.

Пусть функция φ(m1,…,ms) определена равенствами

Решение линейных интегральных уравнений


Тогда пользуясь леммой 18 (1, c.101), получим


Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений. (19)


Обозначим через q минимальное значение произведения Решение линейных интегральных уравнений, где m1,…,ms –произвольное нетривиальное решение сравнения (17).

Тогда, выбирая в лемме 26 (1, с.151)


Решение линейных интегральных уравнений,


получим, что при любых натуральных m1,…,ms, удовлетворяющих условию m1,…,msРешение линейных интегральных уравненийp, выполняется оценка


Решение линейных интегральных уравнений.


Пользуясь этой оценкой и замечая, что в силу (18)


Решение линейных интегральных уравнений


при любом ε ≤ a-1 положительном получим из (19)


Решение линейных интегральных уравнений (20)


Выберем av=av-1 (v=1,2,…,s) (21)

тогда, пользуясь оценками (16) и (20), при Решение линейных интегральных уравнений получим неравенство, указанное в лемме:


Решение линейных интегральных уравнений


Для завершения доказательства леммы остается убедиться, что величины Решение линейных интегральных уравнений, определенные равенством (21), являются оптимальными коэффициентами.

Действительно, из (5.39), пользуясь леммой 1(1, c.21) получим


Решение линейных интегральных уравнений


Переписывая эту оценку в виде


Решение линейных интегральных уравнений


убеждаемся, что целые av=av-1 будут оптимальными коэффициентами, чем лемма 2 доказана полностью.

Следствие. Если ФРешение линейных интегральных уравнений, то, каково бы ни было Решение линейных интегральных уравнений для погрешности квадратурной формулы


Решение линейных интегральных уравнений


построенной при N=p с помощью оптимальных коэффициентов, указанных в лемме 2, справедлива оценка


Решение линейных интегральных уравнений,


Действительно, пользуясь леммами 19 (1, с.106) и 2, получим утверждение следствия


Решение линейных интегральных уравнений


Пусть α>0, Решение линейных интегральных уравнений, p - простое, N=p, a1,…as – оптимальные коэффициенты по модулю p, удовлетворяющие условию леммы 2, и величины γ0, n определены равенствами


Решение линейных интегральных уравнений (22)


Теорема 2 ЕслиРешение линейных интегральных уравнений, то при произвольно малом для решения уравнения

Решение линейных интегральных уравненийРешение линейных интегральных уравнений (23)


выполняется равенство


Решение линейных интегральных уравнений


где


Решение линейных интегральных уравнений (24)


Доказательство.

Выберем в лемме 1Решение линейных интегральных уравнений , где γ0 определено первым из равенств (22). Тогда для решения уравнения (23) получим


Решение линейных интегральных уравнений (25)


где функция F(P,Q1,…,Qn) определена равенством


Решение линейных интегральных уравнений


И принадлежит классу Решение линейных интегральных уравнений

Пусть при k=1,2,…,N и v=1,2,…,n точки Mk,v определены равенством (24). Тогда согласно квадратурной формуле, указанной в следствии леммы 2, при s=rn и Решение линейных интегральных уравнений справедливо равенство

Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений (26)

Решение линейных интегральных уравнений(27)


Пользуясь равенствами (22), получим


Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений


Но тогда


Решение линейных интегральных уравнений


и, следовательно


Решение линейных интегральных уравнений


Пользуясь этой оценкой, из (25) и (26) получим


Решение линейных интегральных уравнений

Отсюда, так как в силу выбора n выполняется оценка


Решение линейных интегральных уравнений


Следует утверждение теоремы.


2. Практическая часть по решению линейных интегральных уравнений


Для написания функции, находящей решение линейного интегрального уравнения составим алгоритм. Представим алгоритм в виде блок-схемы.


Решение линейных интегральных уравнений

Решение линейных интегральных уравнений


Решение линейных интегральных уравнений


Решение линейных интегральных уравнений


Решение линейных интегральных уравненийРешение линейных интегральных уравненийРешение линейных интегральных уравненийРешение линейных интегральных уравнений


Используя данную блок-схему, напишем соответствующую функцию.

Функция решения линейных интегральных уравнений будет реализована на С++.


bool solvefredholm2(const double& a,

const double& b,

const int& n,

ap::real_1d_array& y,

const double& epsilon)

{

bool result;

double h;

double t;

double m1;

double x;

ap::real_2d_array smat;

int i;

int j;

int u;

int k1;

int m;

smat.setbounds(1, n, 1, n+1);

y.setbounds(1, n);

h = (b-a)/(n-1);

i = 1;

do

{

x = a+(i-1)*h;

smat(i,n+1) = f(x);

j = 1;

do

{

smat(i,j) = -h*k(x, a+(j-1)*h);

if( j==1||j==n )

{

smat(i,j) = smat(i,j)/2;

}

if( j==i )

{

smat(i,j) = 1+smat(i,j);

}

j = j+1;

}

while(j<=n);

i = i+1;

}

while(i<=n);

y.setbounds(1, n);

result = true;

for(i = 1; i <= n; i++)

{

k1 = i;

m1 = fabs(smat(i,i));

for(j = i+1; j <= n; j++)

{

if( m1<fabs(smat(j,i)) )

{

m1 = fabs(smat(j,i));

k1 = j;

}

}

if( fabs(m1)>=epsilon )

{

for(j = i; j <= n+1; j++)

{

t = smat(i,j);

smat(i,j) = smat(k1,j);

smat(k1,j) = t;

}

for(k1 = i+1; k1 <= n; k1++)

{

t = smat(k1,i)/smat(i,i);

smat(k1,i) = 0;

for(j = i+1; j <= n+1; j++)

{

smat(k1,j) = smat(k1,j)-t*smat(i,j);

}

}

}

else

{

result = false;

break;

}

}

if( result )

{

i = n;

do

{

y(i) = smat(i,n+1);

j = i+1;

while(j<=n)

{

y(i) = y(i)-smat(i,j)*y(j);

j = j+1;

}

y(i) = y(i)/smat(i,i);

i = i-1;

}

while(i>=1);

}

return result;

}

Данная функция решает интегральное уравнение Фредгольма второго рода, заданное ядром интегрирования K(X,S) и правой частью F(X), на отрезке [A, B] методом итераций.

Результат помещается в массив Y с номерами элементов от 1 до N, где 1 соответствует A, N соответствует B.

Epsilon - малое число, передаваемое для сравнения с нолем в ходе решения получаемой системы уравнений.

Для работы этой функции необходима библиотека ap.h


Заключение


В заключение данной курсовой хотелось бы отметить, что был составлен алгоритм, и на его основе написана функция для решения линейных интегральных уравнений методом итераций. Эта функция может стать основой для написания целой системы, которая будет решать задачи нахождения решения линейных интегралов.


Список использованных источников и литературы


Коробов, Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе/ Н. М. Коробов. –М.: 2003. - 316 с.

Коробов, Н. М. О приближенном решении интегральных уравнений/

Н. М. Коробов. –ДАН СССР, 1959.

3. alglib.sources

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: