Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра інформатики


КУРСОВА РОБОТА

З програмування

На тему:

“Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера”


Суми – 2006 р.

План


Постановка задачі

Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера

а) похибка при вирішенні задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера. Алгоритм розв’язання диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

Блок – схема

Реалізація алгоритму у середовищі Borland Pascal

Результат роботи програми

Умовні позначення

Список використаних джерел


Постановка задачі


ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТА МЕТОД ВИРІШЕННЯ

Вирішити диференціальне рівняння чисельним методом ( у/=f(x,y)) це означає для заданої послідовності аргументів х0, х1…, хn і числа у0, не визначаючи функцію у=F(x),знайти такі значення у1, у2,…, уn, що уi=F(xi)(i=1,2,…, n) і F(x0)=y0.

Таким чином численні методи дозволяють замість знаходження функції У=F(x) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. . Величина h=xk-xk-1 називаеться кроком інтегрування.

Метод Ейлера відноситься до численних методів, що дають відповідь у вигляді таблиці наближених значень шуканої функціїу(х). він є порівняно грубим та використовуеться в основному для приблизних розрахунків.


Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку


Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння виду :


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера


де порядок старшої похідної к називається порядком звичайного диференціального рівняння. Звичайне диференціальне рівняння має безліч розв’язків. Для знаходження хоча б одного розв’язку потрібні додаткові умови. Ці умови можуть бути двох типів – задача Коші та Краєва задача. Згідно теми курсової роботи розглянемо лише перший тип умови, тобто задачу Коші. При розв’язанні задачі Коші додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної. Наприклад, при х = а задані значення функції Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера і можливі деякі похідні шуканої функції Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера і так далі…. . Існують декілька методів розв’ язання задачі Коші:

Апроксимація рядом Тейлора

Методи Рунне – Кутта

Методи прогнозу та корекції

Нульовим наближенням всіх вище перерахованих методів вирішення задачі Коші є метод Ейлера.


Розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера


Розглянемо найпростіший метод вирішення задачі Коші. Проілюструємо його на прикладі звичайного диференціального рівняння першого порядку.


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера ПУ * Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера


Підстановка ПУ в початкове ЗДР* дає значення похідної Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлерафункції Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера в початковій точці. Розв’язок в наступній точціРозв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера записується у вигляді:


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера.


При цьому допускається похибка : Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера. Далі використовується точка, яку можна вважати початковою Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера і за допомогою її визначається наступна точка Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера і так далі.

Отже узагальнена формула методу Ейлера набуває вигляду:

Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера


Похибка, що допускається на кожному кроці : Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера. Сума всіх похибок при обчисленні на кожному з кроків вирішення дає нам загальну похибку Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера. Метод Ейлера є аналогом методу прямокутників для чисельного інтегрування. Якщо права частина початкового ДР* не залежить від у, то значення шуканої функції в точці Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлеравизначається інтегралом Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера і тоді загальна формула методу Ейлера являє собою формулу лівих прямокутників. Але, на відміну від інтегрування, де похибки просто сумувалися, при вирішенні ДР похибка на попередньому кроці веде до ще більшої похибки на наступному кроці, і як правило сумарна похибка зростає експоненціально з кількістю пройдених вже кроків. Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера. Тож використовуємо модифікований метод Ейлера як найбільш точний.


Похибка при вирішенні задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера


Для ЗДР першого порядку Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера що має ПУ Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера загальна формула методу Ейлера має вигляд Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера . Якщо позначити дійсне вирішення задачі Коші як Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера, то похибка Е в вузлі Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера може бути представлена у вигляді


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера.

Кали ми визначаємо приріст функції


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера


та вводимо умовні позначення


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера,


то можливо оцінити Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера зверху :


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера.


Якщо припустити, що початкова похибка рівна нулю, то випливає висновок :


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера.


Тепер, якщо замінити Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера у границі Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера, отримаємо:


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера.


З останнього співвідношення видно, що при Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера похибка Е зростає експоненціально з координатою (приРозв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера отримуємо Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера ).


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

Мал. 1


На мал.1 приведені підрахунки для рівняння Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера (вирішення - Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера). Єдиний спосіб оцінити масштаби похибки, що наросла – провести декілька пробних підрахунків з різними кроками по х.


Алгоритм розв’язання диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера


Нижче поданий алгоритм чисельно інтегрує звичайне диференціальне рівняння першого, другого та третього порядку з використанням модифікованого прямого методу Ейлера

При чисельному інтегруванні диференціального рівняння першого порядку y' = F(x,y)

З початковою умовою y(x0 ) = y0 (задача Коші) спочатку вибираємо

порядок похідної – у нашому випадку згідно з варіантом курсової – порядок 1 (диференціальне рівняння першого порядку). Далі визначаємо коефіцієнти та коефіцієнт при х. Вводимо границі відрізку . Фіксований приріст аргументу h = (xf -x0 )/n, де xf - кінцева точка інтервалу інтегрування , n – кількість кроків. Потім, використовуючи процедуру модифікованого методу Ейлера, , обчислюємо yk згідно з рекурсивною формулою:


yk = yk-1 +h[Fk-1 +F(xk , yk-1 +hFk-1 )]/2


де Fk = F(xk , yk ). Можна використовувати іншу рекурсивну формулу:


yk = yk-1 +F(xk-1 +h/2, yk-1 +Fk-1 h/2)


Після визначення кроку, вводимо значення початкової умови. Отримуємо таблицю відповідей.


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом ЕйлераБлок - схема


Реалізація алгоритму у середовищі Borland Pascal


uses wincrt;


var


yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;


y,a,b:array[0..10,0..1] of real;


i,n,o:integer;


c,d,h,k:real;


label


lap1;


begin


clrscr;


writeln('введите наивысший порядок производной (в нашем случае - 1)');


readln(n);


if n=0 then begin


writeln('это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера');


goto lap1;end;


writeln('введите коэффициенты {a0,a1}');


for i:=0 to n do


readln(l[i]);


if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin


writeln('деление на ноль');


goto lap1;

end;


writeln('введите коэффициент при x');


readln(k);


writeln('введите отрезок ');


readln(c,d);


o:=5;


h:=abs(d-c)/o;


writeln('шаг=',h:1:1);


writeln('задайте начальные условия y(x)= ');


for i:=0 to n-1 do


readln(v[i]);


if n=3 then begin


yx[0]:=v[0];


ay[0]:=v[1];


by[0]:=v[2];


p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];


x[0]:=c;


gotoxy(32,1);


write(' ');


gotoxy(32,2);


write(' x y a b ');


gotoxy(32,3);


write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');


for i:=0 to o-1 do begin


x[i]:=x[i]+h/2;


y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];


a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];


b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];


ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];


xy[i]:=x[i]+h/2;


yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];


ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];


by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];


x[i+1]:=x[i]+h/2;


p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];


end;


for i:=0 to o-1 do begin


gotoxy(32,4+i);


write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');


end;


gotoxy(32,4+o);


write(' ');


end;


if n=2 then begin


x[0]:=c;


yx[0]:=v[0];


ay[0]:=v[1];


p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];


gotoxy(32,1);


write(' ');


gotoxy(32,2);


write(' x y a ');


gotoxy(32,3);


write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');


for i:=0 to o-1 do begin


x[i]:=x[i]+h/2;


y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];


a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];


ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];


xy[i]:=x[i]+h/2;


yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];


ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];


x[i+1]:=x[i]+h/2;


p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];


end;


for i:=0 to o-1 do begin


gotoxy(32,4+i);


write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[I+1]:7:7,' ');


end;


gotoxy(32,4+o);


write(' ');


end;


if n=1 then begin


x[0]:=c;


yx[0]:=v[0];


p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];


for i:=0 to o-1 do begin


x[i]:=x[i]+h/2;


y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];


xy[i]:=x[i]+h/2;


ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];


yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];


x[i+1]:=x[i]+h/2;


p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];


end;


gotoxy(32,1);


write(' ');


gotoxy(32,2);


write(' x____________ y ');

write('___________________');

gotoxy(32,3);


write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ');


for i:=0 to o-1 do begin


gotoxy(32,4+i);


write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ');


end;


gotoxy(32,o+4);


write(' ');


end;


lap1:readln;


clrscr;


end.


Результат роботи програми


Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера


У випадку, коли порядок похідної = 0:

Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера


Умовні позначення


ПУ * - початкова умова

ЗДР* – звичайне диференціальне рівняння

ДР* - диференціальне рівняння


Список використаних джерел:


Щодо реалізації алгоритму у середовищі Borland Pascal :

Боровик В.О., Тиркусова Н.В. програмування: Навч. посібник.-Суми: Вид-во СумДУ, 2004.-Частина 1.-107с. – Рос. Мовою

Боровик В.О., Тиркусова Н.В. програмування: Навч. посібник.-Суми: Вид-во СумДУ, 2004.-Частина 2.-107с. – Рос. Мовою

www.forum.pascla

pascalclub

Щодо математичного обґрунтування методa:

Диференціальні рівняння : Навчю посібник А.М. Самійленко, С.А. Кривошия, М.О. Перестук. – К.: Либідь, 2003-504 с.

www.alglib.sources

www.alglib

www.users.kpi.kharkov

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: