Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

Размещено на /


КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине

«Программирование на языке высокого уровня»

на тему:

«Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам»


Введение


Целью данного проекта – является закрепление материала, изложенного в курсе «Программирование на языке высокого уровня» на основе какой-либо обобщающей задачи. В качестве таковой была выбрана задача определения пирамиды с выпуклым основанием по данным N точкам.

Данная задача предполагает укрепление знаний в линейной алгебре и закрепление их в виде решения поставленной задачи на языке высокого уровня(Pascal)


Постановка Задачи


Разработать подпрограмму для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам.

Создание демонстрационной программы для показа найденного решения. А так же создание библиотеки для работы с векторами в пространстве.


Теоретические сведения


Векторы


Вектором называется направленный отрезок.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


У вектора есть начало и есть конец. Обозначается вектор строчными латинскими буквами a, b, c, ... или указанием его начала и конца, на первом месте всегда указывается начало. На чертежах вектор отмечается стрелкой. Иногда слово «вектор» не пишут, а ставят стрелочку над буквенным обозначением.


Вектор AB, AB, a

Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

Вектор AB и вектор CD называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены

Вектор AB и вектор CD называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.

a и b одинаково направленные.

a и c противоположно направленные.

Абсолютной величиной вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначается как |a| .

Вектором в пространстве называется направленный отрезок.

Координатами вектора с началом в точке A1(x1; y1; z1) и концом в точке A2(x2; y2; z2) называются числа x2-x1, y2-y1, z2-z1. Вектор обозначается в пространстве так:


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Есть вектора a. Пусть A (x; y) – начло вектора, а A` (x`; y`) – конец вектора. Координатами вектора a называются числа a1=x-x`, a2=y-y`. Для обозначения того, что вектор a имеет координаты a1 и a2, используют запись a (a1; a2) или (a1; a2).

Абсолютная величина вектора a (a1; a2) равна


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Если начало вектора совпадает с его концом, то это нулевой вектор , обозначается (0).

Сложение векторов

Суммой векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется вектор c(a1+b1; a2+b2).

Для любых векторов a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) справедливы равенства:


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Теорема Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Доказательство.


Пусть A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) – данные три точки.

Вектор AB имеет координаты (x2 – x1; y2 – y1), вектор BC имеет координаты (x3 – x2; y3 – y2). Следовательно, вектор AB + BCимеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). А вектор AC имеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). Значит, AC = AB+ BC. Теорема доказана.

Сложение векторов. Правило параллелограмма


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Правилом параллелограмма сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть векторы AB и AC у которых начало вектора совпадает, а концы не совпадают


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Достроим данный угол до параллелограмма, так что AC = BD и AB = CD.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Тогда AB + BD = AD, а так как BD = AC, то AB + AC = AD


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Сложение векторов. Правило треугольника


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть произвольные векторы a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой a + b.


Свойство умножения вектора на число


Теорема

Абсолютная величина вектора λa равна |λ| |a|. Направление вектора λa при a≠ 0 совпадает с направлением вектора a, если λ>0, и противоположно направлению вектора a, если λ<0.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Доказательство.

Построим векторы OA и OB равные a и λa соответственно (O – начало координат). Пусть a1 и a2 – координаты вектора a. Тогда координатами точки A будут числа a1 и a2 координатами точки B – числа λa1 и λa2. Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0.

Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a и λa одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы a и λa противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора λa равна:


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Теорема доказана.

Теорема

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

Доказательство

Рассмотрим два случая: 1) векторы не лежат на одной прямой.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Пусть есть вектор a с началом в точке A (x; y) и концом в точке A` (x`; y`). При параллельном переносе получаем вектор b, у которого тогда начало будет в точке B(x+c; y+d), а конец в точке B`(x`+c; y`+d). Отсюда видно, что оба вектора будут иметь одни и тебе координаты (x-x`; y-y`).

2) векторы лежат на одной прямой.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Пусть есть прямая l на которой лежат равные векторы AA` и BB`. A(x; y), A`(x`; y`), B(x1;y1) и B(x1`; y1`). Проведем прямую l1 параллельную l и отложим на ней вектор CD равный AA` и BB`, C (x0; y0) и D (x0`; y0`). Так как AA` = CD, из предыдущего пункта x-x`=x0-x0` и y-y`=y0-y0`. С другой стороны BB` = CD и x1-x1`=x0-x0`, y1-y1`=y0-y0`. Сравнивая равенства получаем x-x`=x1-x1` и y-y`=y1-y1`. Теорема доказана.

Произведение вектора a(a1; a2) на число λ называется вектор (λa1; λa2), т.е. (a1; a2) λ = (λa1; λa2).

Для любого вектора a и чисел λ, μ


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Для любого вектора a и b и числа λ


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Коллинеарный вектор

Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.

Коллинеарный вектор. Свойства

Теорема

Если есть два отличных от нуля коллинеарных вектора, то существует число λ такое, что


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Доказательство.

Пусть a и b одинаково направлены.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


- это векторы, которые одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину |b|. Значит, они равны:


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Когда векторы a и b противоположно направлены аналогично заключаем, что


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Теорема доказана.

Теорема

Любой вектор с можно представить в виде


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Скалярным произведением векторов a (a1; a2) и a (b1; b2) называется число a1b1+a2b2.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Для любых векторов a (a1; a2), b (b1; b2), c (с1; с2)


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Углом между ненулевыми векторами AB и AC называется угол ABC. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами a и b называется угол между равными им векторами с общим началом.


Скалярное произведение. Свойство


Теорема

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Доказательство.

Пусть a и b – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


или


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Скалярное произведение ab таким образом, выражается через длины векторов a, b и a + b т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат xy так, чтобы начало координат совпало с началом вектора a, а сам вектор лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a будут числа |a| и 0, а координатами вектора a – |a| cos φ и |a| sin φ . По определению


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Теорема доказана.

Из теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.


Плоскость, многоугольники


Плоскость

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и при том только одну.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Доказательство

Пусть AB – данная прямая и С – не лежащая на ней точка. Проведем через точки A и С прямую. Прямые AB и AC различны, так как точка С не лежит на прямой AB. Проведем через прямые AB и AC плоскость α. Она проходит через прямую AB и точку С.

Докажем, что плоскость α, проходящая через прямую AB и точку С, единственна.

Допустим, существует другая, плоскость α.`, проходящая через прямую AB и точку С. По аксиоме о том, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку, плоскости α и α` пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки A, B, C. Но они не лежат на одной прямой. Что противоречит предположению. Теорема доказана.


Выпуклый многоугольник


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Ломаная называется замкнутой, если ее концы соединены отрезком.

Если все звенья простой замкнутой ломаной не лежат на одной прямой, то это многоугольник. Тогда точки ломанной называются вершинами многоугольника, а звенья – сторонами многоугольника.

Многоугольник с n вершинами, называется n-угольником.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.A1A2A3A4A5A6A7 – выпуклый многоугольник.


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


B1B2B3B4B5 – невыпуклый многоугольник.

Выпуклые многоугольники. Свойство


Теорема.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°*(n-2).


Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам


Доказательство.

Нужно заметить, n ≥ 3.

Для n = 3 многоугольник превращается в треугольник и теорема справедлива.

Для n > 3 проведем n-3 диагонали: A2An, A3An, …, An-1An. Получим n-2 треугольника: Δ A1A2An, Δ A2A3An, …, An-2An-1An. Сумма углов всех треугольников равна сумме углов многоугольника. Так как сумма углов треугольнике равна 180 ° и число треугольников равно n – 2, то сумма всех углов многоугольника равна 180° * (n - 2). Теорема доказана.


ОПИСАНИЕ ОБЩЕГО АЛГОРИТМА


Пункт1.Пользователь вводит N точек.

Пункт2.Программа проверяет, лежат ли все данные точки в одной плоскости, если лежат-то решения нет, вершины пирамиды не будут найдены, а на дисплей выведется сообщение «точки лежат в одной плоскости».(переход к пункту 6)

Пункт3. Если все данные точки не лежат в одной плоскости, то программа берет N-1 точек (исключаемую точку принимая за возможную вершину пирамиды) и выполняет построение уравнения плоскости по 3-м точкам ,

Пункт4.Выполним проверку на принадлежность к данной плоскости оставшихся точек .В случае ,если хотя бы одна точка из оставшихся точек не принадлежит к плоскости, то переходим к пункту 6.

Пунтк5.Выполним проверку выпуклости многоугольника из полученной поверхности.( Проверка на выпуклость проверяется ,как условие сохранения знака векторного произведение смежных векторов). Если же проверка N-1 точек не даст того, что эти точки образуют плоскость, то из N точек будет взята другая точка и проведена еще проверка на выпуклость многоугольника. И так пока не будут перебраны все возможные точки.

В случае удачной проверки на выпуклость программа выдаст сообщение о том, что были определены вершины пирамиды с выпуклым основанием

Пункт6.вывод ответа


Описание структур данных


Для хранения точек был использован динамическая структура данных- односвязанный список. Элемент списка представляет собой запись с 2 полями:

-полем данных

-полем указателя на следующий элемент

В свою очередь поле данных представляет собой запись Coordinates с 3-я полями:x,y,z

Так же для работы со списком использовались дескрипторы ,которые представляли собой записи с 3-я полями

-start(указатель на начальный(фиктивный ) элемент)

-ptr(указатель на текущий элемент)

-Number(число элементов в записи)


Type

Coordinates=record {коориднаты}

x,y,z:real;

end;


P_Points=^point; {Описание типа Points}

point=record

data:Coordinates;

Next:P_Points;

end;


P_Descriptor=record {Дескриптор для работы со списком точек}

Start,Ptr:P_Points;

Number:Word;

end;


P_Vectors=^Vector; {Описание типа Vector}

Vector=record

data:Coordinates;

Next:P_Vectors;

end;


V_Descriptor=record {Дескриптор для работы со списком векторов}

V_Start,V_Ptr:P_Vectors;

V_Number:Word;

end;


Описание модуля


Спецификация подпрограмм для работы со списком

1.Спецификация процедуры InitListOfPoint;

1) Procedure InitListOfPoint(var P:P_Descriptor);;

Назначение: инициализирует фикивный элемент списка;

Входные параметры: P

Выходные параметры: P.

2.Спецификация процедуры PutPoint;

1) Procedure PutPoint(var P:P_Descriptor);

Назначение: создает элемент Buf и помещает его в список;

Входные параметры: P;

Выходные параметры: P;

3.Спецификация процедуры WritePoints;

1 Procedure WritePoints(var P:P_Descriptor);

Назначение: выводит весь список точек P на дисплей;

Входные параметры: P;

Выходные параметры: P.

4.Спецификация процедуры ReadPoint;

1) Procedure ReadPoint(var P:P_Descriptor;var a:Coordinates);

Назначение: cчитывает из списка P координаты точки в переменную а;

Входные параметры: P;

Выходные параметры: P,a.

5.Спецификация процедуры ClearMem;

1) Procedure ClearMem(var P:P_Descriptor;var V:V_Descriptor);

Назначение: освобождает выделенную память под списки P u V;

Входные параметры: P,V;

Выходные параметры: P,V.


Спецификация подпрограмм для работы с векторами


1.Спецификация процедуры CreateVector;

1) procedure CreateVector (a,b:Coordinates;var c:Coordinates);;

2) Назначение: создает вектор с вычитая соответствующие координаты точки b из точки a;

3)Входные параметры: a,b,c

4)Выходные параметры: c.

2.Спецификация процедуры MultOnNumber;

1) Procedure MultOnNumber (Number:real; a:Coordinates;var c:Coordinates)

2)Назначение: умножает вектор a на число real и полученное значение заносится в c вектор ;

3)Входные параметры: Number,a,c;

4)Выходные параметры: ,c;

3.Спецификация процедуры lengthOfVector;

Function lengthOfVector(a:Coordinates):real;

2Назначение: возвращает длину вектора а ;

3Входные параметры: а;

4Выходные параметры: -.

4.Спецификация процедуры Scalar;

1) Function Scalar(a,b:Coordinates):real;

2Назначение: возвращает результат скалярного перемножение векторов а и b ;

3Входные параметры: a,b;

4Выходные параметры: -.

5.Спецификация процедуры angle;

1) Function angle(a,b:coordinates):real

2Назначение: возвращает значение косинуса угла(в радианах)

между векторами а и b

3Входные параметры: a,b;

4Выходные параметры: -.

6.Спецификация процедуры VECTMult;

Procedure VECTMult(a,b:Coordinates;var c:Coordinates);

2Назначение: производит векторное перемножение вектора а и b и заносит результат в вектор с ;

3Входные параметры: а,b,c ;

4Выходные параметры: c.

7.Спецификация процедуры collinearity;

1) Function collinearity(a,b:Coordinates):boolean;

2Назначение: возвращает collinearity:=истина , если векторы а и b коллинеарные, иначе- collinearity:=ложь ;

3Входные параметры: a,b;

4Выходные параметры: -.

5 возврат : collinearity

9.Спецификация процедуры MixeMult;

1) Function MixeMult(a,b,c:Coordinates):real

2Назначение: возвращает MixeMult:= значение смешанного произведения векторов а и b

3Входные параметры: a,b;

4Выходные параметры: -.

5Возврат : MixeMult

10.Спецификация процедуры coplanarity;

1) Function coplanarity(a,b,c:Coordinates):boolean

2Назначение: возвращает coplanarity :=истина ,если векторы а,b и c компланарны,иначе- coplanarity :=ложь .

3Входные параметры: a,b,c;

4Выходные параметры: -.


Спецификация подпрограмм для определения вершин пирамиды


1.Спецификация процедуры ploskost

1) Procedure ploskost(a,b,c:coordinates;var ax,bx,cx,dx:real);;

Назначение: Строит по 3-м точкам уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0 и заносит в ax,bx,cx,dx соответствующие коэффициенты

Входные параметры:a,b,c,ax,bx,cx,dx;

Выходные параметры: ax,bx,cx,dx.

2.Спецификация функции proverka_na_ploskost;

1) function proverka_na_ploskost(var P:P_descriptor;var mno:mnoj; n:byte):boolean;;

Назначение: проверяет условие принадлежности n точек(указатели которых хранятся в множестве mno) к плоскости ,построенной с помощью процедуры ploskost,возращает значение истины в случае удачной проверки, иначе-ложь;

Входные параметры: P,mno,n;

Выходные параметры: P,mno.

Возврат : f

3.Спецификация функции Vypuklost;

1) Function Vypuklost(var P:P_descriptor;mno:mnoj;n:byte):boolean;;

Назначение: Проверяет многоугольник на выпуклость, путем перебора n точек из множества mno ,формированием их в векторы и последующим векторным перемножением . Возвращает значение истины, если при все N точках знак векторного умножения сохраняется, иначе -ложь;

Входные параметры: P,mno,n;

Выходные параметры: P.

Возврат : Q

4.Спецификация функции FinDaPyramid;

1) Procedure FinDaPyramid(var P:P_descriptor;mno:mnoj);

Назначение: определяет вершины пирамиды с выпуклым основанием и выводит на дисплей, если же нет решений -выводит соотсветсвующее сообщение ;

Входные параметры: P,mno,n;

Выходные параметры: P,mno.


Блок-схема

Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкамСоздание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: