Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла

Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла

Министерство науки, высшей школы и технической

политики Российской Федерации.


Новосибирский Государственный

Технический Университет.

Реферат по исследованию операций на тему

«Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла».


Вариант №2.


Факультет: АВТ.

Кафедра: АСУ.

Группа: АС-513.

Студент: Бойко Константин Анатольевич.

Преподаватель: Ренин Сергей Васильевич.

Дата: 19 октября 1997 года.


Новосибирск


Введение.


Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon [1959] ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell [1963] ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики. Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -Djf(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на -Dj , где Dj - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица Dj+1 представляется в виде суммы Dj и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два.


Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.


Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений.


Начальный этап.


Пусть >0 - константа для остановки. Выбрать точку х1 и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D1. Положить y1 = x1, k = j = 1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.


Шаг 1. Если зкf(yj) зк< e, то остановиться; в противном случае положить dj = - Djf(yj) и взять в качестве lj оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l і 0. Положить yj+1 = yj + ljdj. Если j < n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y1 = xk+1 = yn+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1.


Шаг 2. Построить Dj+1 следующим образом :

, (1)

где

pj = ljdj, (2)

qj = f(yj+1) - f(yj). (3)


Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1.


Пример.


Рассмотрим следующую задачу :


минимизировать (x1 - 2)4 + (x1 - 2x2)2.


Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1.


Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.


k

xk

f(xk)

j

yj

f(yj)

f(yj)

зкf(yj) зк

D

dj

lj

yj+1

1

(0.00, 3.00)

(52.00)

1


2

(0.00, 3.00)

(52.00)


(2.70, 1.51)

(0.34)

(-44.00, 24.00)


(0.73, 1.28)


50.12


1.47

(44.00, -24.00)


(-0.67, -1.31)

0.062


0.22

(2.70, 1.51)


(2.55, 1.22)

2

(2.55, 1.22)

(0.1036)

1


2

(2.55, 1.22)

(0.1036)


(2.45, 1.27)

(0.0490)

(0.89, -0.44)


(0.18, 0.36)

0.99


0.40


(-0.89, 0.44)


(-0.28, -0.25)

0.11


0.64

(2.45, 1.27)


(2.27, 1.11)

3

(2.27, 1.11)

(0.008)

1


2

(2.27, 1.11)

(0.008)


(2.25, 1.13)

(0.004)

(0.18, -0.20)


(0.04, 0.04)

0.27


0.06

(-0.18, 0.20)


(-0.05, -0.03)

0.10


2.64

(2.25, 1.13)


(2.12, 1.05)

4

(2.12, 1.05)

(0.0005)

1


2

(2.12, 1.05)

(0.0005)


(2.115, 1.058)

(0.0002)

(0.05, -0.08)


(0.004, 0.004)

0.09


0.006

(-0.05, 0.08)


0.10

(2.115, 1.058)



На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде
–Djf(yj), где D1 ­­– единичная матрица, а D2 вычисляется по формулам (1) - (3). При
k = 1 имеем p1 = (2.7, -1.49)T, q1 = (44.73, -22,72)T. На второй итерации
p1 = (-0.1, 0.05)T, q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерации
p1 = (-0.02, 0.02)T, q1 = (-0.14, 0.24)T. Точка yj+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления dj при начальной точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке
y2 = (2.115, 1.058)T на четвертой итерации, так как норма зкf(y2) зк= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1.


Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска.

Для доказательства леммы нам понадобится :

Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Еn, точка x О cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d 0, x + ld О S при всех l О (0, d) для некоторого d > 0}.

Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xTy| - абсолютное значение скалярного произведения xTy. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xTy| Ј ||x|| ||y||.


Лемма 1.

Пусть y1 О Еn, а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 = yj + ljdj, где dj = –Djf(yj), а lj является оптимальным решением задачи минимизации f(yj + ldj) при l і 0. Пусть, кроме того, для
j = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(yj) 0 для
j = 1, ..., n, то матрицы D1, ..., Dn симметрические и положительно определенные, так что d1, ..., dn – направления спуска.

Доказательство.

Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D1 симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того,
f(y1)Td1 = –f(y1)TD1f(y1) < 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j Ј n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из En, тогда из (1) имеем

(4)


Так как Dj – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица Dj1/2, такая, что Dj = Dj1/2Dj1/2. Пусть
a = Dj1/2x и b = Dj1/2qj. Тогда xTDjx = aTa, qjTDjqj = bTb и xTDjqj = aTb. Подставляя эти выражения в (4), получаем :

(5)


По неравенству Шварца имеем (aTa)(bTb) і (aTb)2. Таким образом, чтобы доказать, что xTDj+1x і 0, достаточно показать, что pjTqj > 0 и bTb > 0. Из (2) и (3) следует, что


pjTqj = ljdjT[f(yj+1) – f(yj)]. (6)


По предположениюf(yj) 0, и Dj положительно определена, так что
f(yj)TDjf(yj) > 0. Кроме того, dj – направление спуска, и, следовательно, lj > 0. Тогда из (6) следует, что pjTqj > 0. Кроме того, qj 0, и , следовательно, bTb= qjTDjqj > 0.

Покажем теперь, что xTDj+1x > 0. Предположим, что xTDj+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (aTa)(bTb) = (aTb)2 и pjTx = 0. Прежде всего заметим, что
(aTa)(bTb) = (aTb)2 только при a = lb, т.е. Dj1/2x = lDj1/2qj. Таким образом, x = lqj. Так как x 0, то l 0. Далее, 0 = pjTx = l pjTqj противоречит тому, что pjTqj > 0 и l 0. Следовательно, xTDj+1x > 0, т.е. матрица Dj+1 положительно определена.

Поскольку f(yj+1) 0 и Dj+1 положительно определена, имеем
f(yj+1)Tdj+1 = –f(yj+1)T Dj+1f(yj+1) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что dj+1 – направление спуска.

Лемма доказана.

Квадратичный случай.


В дальнейшем нам понадобиться :


Теорема 2. Пусть f(x) = cTx + 1 xTHx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d1, …, dn и произвольную точку x1. Пусть lk для k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизации
f(xk + ldk) при l О Е1 и xk+1 = xk + ldk. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения :

  1. f(xk+1)Tdj = 0, j = 1, …, k;

  2. f(x1)Tdk = f(xk)Tdk;

  3. xk+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии
    x - x1 О L(d1, …, dk), где L(d1, …, dk) – линейное подпространство, натянутое на векторы d1, …, dk, то есть В частности, xn+1 – точка минимума функции f на Еn.


Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d1, …, dn, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица Dn+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н.

Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = cTx + 1 xTHx при условии x О En. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y1 и начальной положительно определенной матрице D1. В частности, пусть lj, j = 1, …, n, – оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l і 0 и yj+1 = yj + ljdj, где dj = -Djf(yj), а Dj определяется по формулам (1) – (3). Если f(yj) 0 для всех j, то направления
d1, …, dn являются Н - сопряженными и Dn+1 = H-1. Кроме того, yn+1 является оптимальным решением задачи.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 Ј j Ј n, справедливы следующие утверждения :

  1. d1, …, dj линейно независимы.

  2. djTHdk = 0 для i k; i, k Ј j.

  3. Dj+1Hpk, или, что эквивалентно, Dj+1Hdk = dk для 1 Ј k Ј j, pk = lkdk.

Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства

Hpk = H(lkdk) = H(yk+1 - yk) = f(yk+1) –f(yk) = qk. (7)

В частности, Hp1 = q1. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем

,

т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.

Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j Ј n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 diTf(yj+1) = 0 для i Ј j. По индуктивному предположению di = Dj+1Hdi, i Ј j. Таким образом, для i Ј j имеем

0 = diTf(yj+1) = diTHDj+1f(yj+1) = –diTHdj+1.

Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.

Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.

Полагая k Ј j+1, имеем

. (8)

Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2Hpj+1 = pj+1. Теперь пусть k Ј j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то

pj+1THpk = lklj+1dj+1THdk = 0. (9)

По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем

. (10)

Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем

.

Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.

Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d1, …, dj линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d1, …, dj+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1, …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.

Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1, …, dn, то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2.

Теорема доказана.


Список литературы.


  1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.

Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.



Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: