Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут автоматики електроніки та комп’ютерних систем управління


Кафедра комп’ютерних

систем управління


ДОСЛІДЖЕННЯ ЗМІНИ ТЕМПЕРАТУРИ ТЕРМОПАРИ ЗА ДОПОМОГОЮ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ НА ЕОМ


КУРСОВА РОБОТА


З дисципліни ”Обчислювальні методи та застосування ЕОМ”


2004

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут автоматики електроніки та комп’ютерних систем управління

Кафедра комп’ютерних систем управління


Затверджено на

засіданні кафедри КСУ

Протокол №__________

”___”__________ 2004 р.


ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

на виконання курсової роботи


на тему ”Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ ”

з дисципліни „ Обчислювальні методи та застосування ЕОМ”


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ.

В приведеній тарировочній таблиці для термопари дані показання вольтметра при зміні температури з постійним кроком:


Т0 0 20 40 60 80 100
QмВ -0,670 -0,254 0,171 0,609 1,057 1,517

Використовуючи інтерполяцію по Лагранжу і Ньютону, знайти показання вольтметра при Т0=270; 320; 550; 750; 670С. Оцінити похибку методів інтерполяції [1,3] . Зробити висновки.


Анотація


В даній курсовій роботі розроблено комплекс програм для дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ . Розроблення даного програмного продукту є не тільки практичним втіленням теоретичного аналізу ринку сучасних прикладних програм, але актуальною і потрібною вимогою часу. В програмі додержані основні сучасні вимоги до інтерфейсу користувача та логічної структури програми, що дозволяє з впевненістю сказати про те, що дана програма знайде своє практичне комерційне застосування.


Зміст


Вступ

1.Огляд і варіантний аналіз чисельних методів моделювання зміни температури термопари

1.1 Основні поняття і визначення

1.2 Класифікація методів рішення поставленої задачі

1.3.Опис методів моделювання зміни температури термопари на ЕОМ

1.3.1. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

1.3.2 .Перший інтерполяційний многочлен Ньютона

1.3.3. Другий інтерполяційний многочлен Ньютона

1.3.4. Інтерполювання функцій за схемою Ейткіна

1.3.5. Сплайн-інтерполяція

1.4. Уточнена постановка задачі

2. Розробка алгоритмів моделювання зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

2.1. Планування вхідних та вихідних даних

2.2 Аналіз задач, які вирішуються при дослідженні зміни температури термопари на ЕОМ

2.3 Описовий алгоритм головної програми

2.4 Схема алгоритму головної програми

2.5 Опис основних функцій моделювання

2.6 Структура комплексу програм для дослідження зміни температури термопари

3. Лістинг програми.

3.1 Лістинг головної програми INTERP.CPP

3.2 Лістинг модуля MENYS.H

4. Розробка тестів та аналіз результату тестування

4.1 Опис тестів

4.2 Аналіз результатів тестування

5. Оцінка похибок результатів експериментальних досліджень

6. Оцінка ефективності комплексу програм для дослідження

7. Розробка пакету документів для супроводження комплексу програм

7.1 Розробка інструкції програмісту

7.2 Інструкція користувачеві

Висновки

Використана література

Додаток А. Технічне завдання.

Додаток Б. Лістинги модулів

Додаток В. Структура дискети.


Вступ


Сучасний розвиток науки та техніки тісно пов’язаний із застосуванням ЕОМ, які дають змогу будувати математичні моделі складних систем, пристроїв та процесів, тим самим різко скоротити час та коштовність інженерних розробок.

Складні обчислювальні задачі, які виникають при моделюванні розбивають на елементарні: обчислення інтегралів, розв’язання системи лінійних та нелінійних алгебраїчних та диференційних рівнянь, визначення екстремуму функції.Для таких задач вже розроблені ефективні методи розв’язання.

В наш час науково-технічний прогрес невідривно пов’язаний з бурхливим розвитком систем управління і автоматики. Автоматика – це галузь науки і техніки, яка охоплює теорію та принципи побудови систем управління процесами, що діють без безпосередньої участі людини. У відповідності до загальних принципів управління різними процесами, автоматичне управління здійснюється на основі інформації з використанням комплексу технічних засобів.

Автоматизація технологічних процесів на основі застосування автоматизованих станків, машин та механізмів, робототехнічних комплексів, сучасних засобів автоматики та обчислювальної техніки складає один з головних напрямків науково технічного прогресу в усіх галузях народного господарства. Вирішення задач автоматизації в наш час неможливе без застосування досягнень мікроелектроніки, яка забезпечує випуск елементної бази для пристроїв автоматики та систем управління в цілому.


1 Огляд і варіантний аналіз чисельних методів моделювання термопари


1.1 Основні поняття та визначення


Нехай на відрізку [а; b] визначено певний клас функцій {Р(х)}, наприклад клас алгебраїчних многочленів, а в точках х0, х1,..., хn цього проміжку задано значення деякої функції y=f(x): y0=f(x0), y1=f(x1),….yn=f(xn).

Інтерполяція – це наближена заміна функції f на відрізку [а; b] однією з функцій Р(х) цього класу так, щоб функція P(х) в точках x0,x1, ..., xn набувала тих самих значень, що й функція f, тобто щоб Р(xi)= уi (і = 0, 1, ..., n). На Рис.1.1.1 зображена інтерполяція функції.


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ


Вузли інтерполювання – це точки х0, хi, ..., хn, в яких задана функція.

Функція Р(х) називається інтерполюючою функцією.

Інтерполяційна формула – це формула у=P(х), за допомогою якої обчислюють значення функції f у проміжку [а;b].

Якщо функція Р(х) належить класу алгебраїчних многочленів, то інтерполювання називається параболічним. Параболічне інтерполювання найзручніше, оскільки многочлени, які прості за формою і не мають особливих точок, можуть набувати довільних значень, їх легко обчислювати, диференціювати й інтегрувати.

Інтерполяційний многочлен – це многочлен виду Рn(х), який задовольняє умови Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, наближену рівність f(x)=Pn(x) називають інтерполяційною формулою, а різницю Rn(f,x)=f(x) – Pn(x) — залишковим членом інтерполяційної формули. Хоч інтерполяційний многочлен і єдиний, проте можливі різні форми його запису. Інтерполяційний поліном має слідуючий вид:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.1)


При обробці результатів вимірювань часто виникає необхідність побудови емпіричної формули, більш простішої, чим інтерполяційний поліном, яка б добре відображала фізичні властивості досліджуваного процесу.

В цьому випадку необхідно рішити задачу відшукання оптимальних в деякому випадку оцінок параметрів системи.

Апроксимація – це наближений опис однією функцією (апроксимувальною) заданого вигляду іншої функції (апроксимовної), яка задається у будь-якому вигляді (при апроксимації даних вона задається у вигляді масивів даних).

Нехай у таблиці задана Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ точка Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ і треба знайти апроксимувальну криву Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ в діапазоні Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (рисунок 1.1.2.). В цьому випадку похибка в кожній табличній точці буде Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ Тоді сума квадратів похибок визначається виразом:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.2)


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ


Як правило, функцію Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ обирають у вигляді лінійної комбінації вибраних функцій Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.3)


Умова мінімуму Е визначається рівнянням:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.4)


Вибір функції Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ повинен здійснюватися з урахуванням характеру табличних даних (періодичності, властивості симетрії, існування асимптотики та т. п.). Іноді таблицю розбивають на декілька частин та добирають окрему апроксимувальну криву для кожної частини. Такий підхід задовольняє ті випадки, коли дані відповідають різним фізичним станам системи.

Залишкова середня квадратична похибка апроксимації оцінюється:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.5)

При побудові апроксимувальної функції використовуються ортогональні поліноми, для яких


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, якщо Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ


Коефіцієнти визначаються зі співвідношень


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.6)


Це спрощує задачу, і тому в багатьох стандартних програмах припасування кривих використовують ортогональні поліноми.


1.2 Класифікація методів


В задачах теорії коливань, електродинаміки, твердотільної електроніки широко використовуються чисельні методи обробки результатів експерименту для описання фізичних параметрів засобів, для задання характеристик активних та пасивних елементів шляхом радіотехнічних кіл.

На Рис.1.2.1 приведено класифікацію чисельних методів обробки результатів експерименту.


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ


Існує два головних підходи до апроксимації даних. При одному з них вимагають, щоб апроксимувальна крива (можливо кусково-гладка) проходила через всі точки, які задані таблицею. При іншому підході дані апроксимують простою функцією, яка використовується при всіх табличних значеннях, але не обов’язково, щоб вона проходила через всі точки. Такий підхід зветься припасуванням кривої, яку прагнуть провести так, щоб її відхилення від табличних даних був мінімальним. Як правило, користуються методом найменших квадратів, тобто зводять до мінімуму суму квадратів різниць між значенням функції, яка визначена обраною кривою, та таблицею.

Інтерполяцію даних проводять тоді, коли:

1) функцію задано таблично для деяких значень аргументу, а треба знайти її значення для значень аргументу, яких у таблиці немає;

2) функцію задано графічно, наприклад за допомогою самописного приладу, а треба знайти її наближений аналітичний вираз;

3) функцію задано аналітичнo, але її вираз досить складний і незручний для виконання різних математичних операцій (диференціювання, інтегрування тощо).


1.3 Опис методів моделювання зміни температури термопари на ЕОМ


Охарактеризуємо основні методи інтерполяції, які приведені на рис.1.2.1.


1.3.1 Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Інтерполяція за Лагранжем вживається в загальному випадку для довільно розташованих вузлів.

Інтерполяційний поліном для методу Лагранжа представлений у вигляді:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, (1.7)


де всі Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (j=0,…, n) – поліноми ступеня n, коефіцієнти яких можна знайти з допомогою (n+1) рівняння: Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ.

Для полінома, який шукаємо, отримаємо:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.8)


Формулу (1.8) називають інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Треба відзначити дві головні властивості поліномів Лагранжа:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.9)


2) якщо Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ лінійно залежить від Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, то слушний принцип суперпозиції: інтерполяційний поліном суми декількох функцій дорівнює сумі інтерполяційних поліномів доданків.

Похибка при інтерполяції за Лагранжем може бути оцінена таким чином:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.10)


де Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ.


1.3.2 Перший інтерполяційний многочлен Ньютона.

Інтерполяційний поліном випадку має вигляд:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ...

...+Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, (1.11)


Коефіцієнти Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ знаходять з рівнянь:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ,Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, (1.12)

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ(1.13)


Формула (1.13) носить назву першої інтерполяційної формули Ньютона. Цей вираз незручний для інтерполяції поблизу останніх значень Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ.

Похибка інтерполяції для першої формули Ньютона можна оцінити відповідно як: Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.14)

де Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.15)


1.3.3 Другий інтерполяційний многочлен Ньютона

В випадку, коли, першу інтерполяційну формулу Ньютона застосувати незручно, використовують другу інтерполяційну формулу Ньютона, яка отримана при використанні лівих різниць від останнього значення Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (інтерполяція “назад”). Тоді інтерполяційний поліном має вигляд:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.16)


Коефіцієнти Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ визначаються таким чином:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, (1.17)

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ(1.18)


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ – ліва різниця першого порядку в точці Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ,


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ(1.19)


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ – ліва різниця другого порядку.


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.20)

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.21)


Формула (1.21) є кінцевим виразом для другої інтерполяційної формули Ньютона.

Похибка інтерполяції для другої формули Ньютона можна оцінити відповідно як:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.22)


де Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.23)


1.3.4 Інтерполювання функцій за схемою Ейткіна

Особливістю інтерполяційної схеми Ейткіна є однотипність обчислень. Якщо в (n+1)-му вузлах інтерполювання xi (i=0,1,…,n) функція f набуває значеньyi (i=0,1,…,n),то значення інтерполяційного многочлена степеня n в точці Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, що не зберігається з вузлами інтерполювання, обчислюють за формулою Ейткіна:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.24)


де Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ і Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ– значення інтерполяційних многочленів (n-1)-го степеня, обчислених у точці х на попередньому кроці обчислень.

Отже, щоб обчислити в точці х значення інтерполяційного многочлена n-го степеня за схемою Ейткіна, треба в цій точці обчислити значення n лінійних, n-1 квадратичних, n-2 кубічних многочленів, два многочлени (n-1)-го степеня і, нарешті, один многочлен n-го степеня.

1.3.5 Сплайн-інтерполяція

Сплайн – це група сполучених кубічних багаточленів, в місцях сполучення яких перша та друга похідні безперервні. Такі функції звуться кубічними сплайнами. Для їх побудування необхідно задати коефіцієнти, які однозначно визначають поліном у проміжку між двома точками.

Наприклад, у випадку, який показаний на рисунку 1.3.1, необхідно задати всі кубічні функції Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ В найбільш загальному випадку ці багаточлени мають такий вигляд:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ i=1,2, ... ,m (1.25)


де Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ – постійні, які визначені вказаними умовами (j= 1,2,3,4).

Перші (2m) умов потребують, щоб сплайни стикалися в заданих точках:

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ,i=1, 2, ... , m,

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ, i=0, 1, ... , m-1. (1.26)


Наступні (2m-2) умов потребують, щоб в місцях дотику сплайнів були рівні перші та другі похідні


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ i=1, ... , m-1, (1.27)

Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ i=1, ... , m-1.


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ

Система алгебраїчних рівнянь має розв’язок, якщо кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих. Для цього необхідні ще два рівняння. Як правило, використовують такі додаткові умови:


Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ Дослідження зміни температури термопари за допомогою чисельних методів на ЕОМ (1.28)


Отриманий таким чином сплайн зветься “природним кубічним сплайном”.

В багатьох випадках метод сплайнів є найбільш зручним, тому що це дозволяє отримати аналітичну кусково-поліноміальну функцію. Існують сплайни більш вищих порядків. Вживання цього методу можливо і в інших галузях обчислювальної математики, наприклад, в чисельному інтегруванні і розв’язанні диференціальних рівнянь.


1.4 Уточнена постановка задачі


Нехай на відрізку [а; b] визначено певний клас функцій {Р(х)}, наприклад клас алгебраїчних многочленів, а в точках х0, х1,..., хn цього проміжку задано значення деякої функції y=f(x): y0=f(x0), y1=f(x1),….yn=f(xn). Наближену заміну функції f на відрізку [а; b] однією з функцій Р(х) цього класу так, щоб функція P(х) в точках x0,x1, ..., xn набувала тих самих значень, що й функція f, тобто щоб Р(xi)= уi (і = 0, 1, ..., n), називають інтерполюванням, або інтерполяцією. Точки х0, хi, ..., хп називають вузлами інтерполювання, функцію Р(х) — інтерполюючою функцією, а формулy у=P(х), за допомогою якої обчислюють значення функції f у проміжку [а;b], — інтерполяційною формулою.

З геометричного погляду задача інтерполювання полягає в знаходженні кривої у= Р(х) певного класу, яка проходить через точки площини з координатами (хi, уi)

(i = 0, 1, ....,n) (рис.1.1.1).

Якщо функція Р(х) належить класу алгебраїчних многочленів, то інтерполювання називається параболічним. Параболічне інтерполювання найзручніше, оскільки многочлени, які прості за формою і не мають особливих точок,

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: