Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Дискретно-аналоговое представление

Дискретно-аналоговое представление

Размещено на /

Содержание


Введение

1. Дискретно-аналоговое представление регулярными выборками

2. Физическая трактовка процессов интерполяции сигналов

3. Задачи идеальной интерполяции

4. Интерполяция алгебраическими полиномами

5. Определение частоты опроса

Заключение

Список литературы


Введение


В первой половине ХХ века при регистрации и обработке информации использовались, в основном, измерительные приборы и устройства аналогового типа, работающие в реальном масштабе времени, при этом даже для величин, дискретных в силу своей природы, применялось преобразование дискретных сигналов в аналоговую форму. Положение изменилось с распространением микропроцессорной техники и ЭВМ. Цифровая регистрация и обработка информации оказалась более совершенной и точной, более универсальной, многофункциональной и гибкой. Мощь и простота цифровой обработки сигналов настолько преобладают над аналоговой, что преобразование аналоговых по природе сигналов в цифровую форму стало производственным стандартом.

Под дискретизацией сигналов понимают преобразование функций непрерывных переменных в функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Роль дискретных отсчетов выполняют, как правило, квантованные значения функций в дискретной шкале координат. Под квантованием понимают преобразование непрерывной по значениям величины в величину с дискретной шкалой значений из конечного множества разрешенных, которые называют уровнями квантования. Если уровни квантования нумерованы, то результатом преобразования является число, которое может быть выражено в любой числовой системе. Округление с определенной разрядностью мгновенных значений непрерывной аналоговой величины с равномерным шагом по аргументу является простейшим случаем дискретизации и квантования сигналов при их преобразовании в цифровые сигналы.

Как правило, для производственных задач обработки данных обычно требуется значительно меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков в виде непрерывного аналогового сигнала. При статистических флюктуациях измеряемых величин и конечной погрешности средств измерений точность регистрируемой информация также всегда ограничена определенными значениями. При этом рациональное выполнение дискретизации и квантования исходных данных дает возможность снизить затраты на хранение и обработку информации.

Кроме того, использование цифровых сигналов позволяет применять методы кодирования информации с возможностью последующего обнаружения и исправления ошибок при обращении информации, а цифровая форма сигналов облегчает унификацию операций преобразования информации на всех этапах ее обращения.


1. Дискретно-аналоговое представление регулярными выборками


При дискретно-аналоговом представлении сообщение на интервале времени T описывается вектором Дискретно-аналоговое представление


Дискретно-аналоговое представление, (1)


где Дискретно-аналоговое представление - координаты.

Если шкала каждой координаты непрерывная, то это представление называется дискретно-аналоговым, а если шкала квантованная, то представление дискретно-квантованное, т.е. цифровое.

Дискретно-аналоговое представление сообщений может быть реализовано различными способами в зависимости от выбора системы координат. Наибольшее применение в РСПИ получили представления, у которых в качестве координат Дискретно-аналоговое представление сообщения используется текущее значение сигнала в фиксированные моменты времени.


Дискретно-аналоговое представление (2)


Координаты Дискретно-аналоговое представление называются выборками или отсчетами, а моменты времени Дискретно-аналоговое представление - точками опроса.

При представлении регулярными выборками расстояние между соседними точками опроса одинаково и равно Дискретно-аналоговое представление.


Дискретно-аналоговое представление, (3)

где Дискретно-аналоговое представление- период опроса, Дискретно-аналоговое представление- частота опроса.

Частота опроса Дискретно-аналоговое представление является важнейшим параметром, который надо выбирать при представлении сообщения регулярными выборками.

Процесс формирования выборок в этом случае изображен на рисунке 1:


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 1


Выбор частоты опроса Дискретно-аналоговое представление зависит от способа восстановления исходного сообщения на приемном конце. Восстановление непрерывной функции по её выборкам называется интерполяцией.

Рассмотрим случай, когда потребителю необходимо восстановить на приёмной стороне функциюДискретно-аналоговое представление. Реально при восстановлении функции Дискретно-аналоговое представление может быть получена только её оценка Дискретно-аналоговое представление. Для доказательства этого утверждения представим интерполяционную обработку в следующем виде:


Дискретно-аналоговое представлениеДискретно-аналоговое представление, (4)


где Дискретно-аналоговое представление - интерполирующая (восстанавливающая, синтезирующая) функция. Функция


Дискретно-аналоговое представление, (5)


т.е. Дискретно-аналоговое представление есть функция с началом отсчета в точкемер выборки первичного сигнала. Суммирование в выражении (4) ведется по всем выборкам, участвующим в обработке. Определение вида функции Дискретно-аналоговое представление составляет сущность задачи выбора способа интерполяционной обработки.

На точность функции восстановления функции Дискретно-аналоговое представление влияют следующие факторы:

шумы интерполяции;

шумы радиолинии;

погрешности системы.

В дальнейшем будем учитывать только ошибку за счет интерполяции. Т.е. выборки будут считаться точными, а шумы отсутствующими. Тогда выражение для оценки первичного сигнала будет иметь следующий вид:


Дискретно-аналоговое представление. (6)


Ошибка интерполяционной обработки в этом случае равна:


Дискретно-аналоговое представление. (7)

При этом оценка Дискретно-аналоговое представление должна быть получена на некотором интервале интерполяции Дискретно-аналоговое представление с учетом выборок, расположенных на конечном интервале обработки Дискретно-аналоговое представление. Интервал обработки Дискретно-аналоговое представление должен последовательно перемещаться в пределах интервала наблюдения Дискретно-аналоговое представление (рисунок 2).


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 2

Таким образом, функция Дискретно-аналоговое представление должна быть восстановлена для всех значений времени, лежащих внутри интервала интерполяции Дискретно-аналоговое представление, путем использования выборок в моменты времени Дискретно-аналоговое представление.Дискретно-аналоговое представлениеЭто возможно потому, что существует корреляционная зависимость между значением первичного сигнала Дискретно-аналоговое представление, моментами времени Дискретно-аналоговое представление и Дискретно-аналоговое представление. Интерполяция белого шума невозможна, т.к. его корреляционная функция есть дельта – функция.

Теоретически необходимо учитывать все отсчеты Дискретно-аналоговое представление на интервале наблюдения Дискретно-аналоговое представление, т.е. полагать Дискретно-аналоговое представление = Дискретно-аналоговое представление. Но при этом результаты интерполяции могут быть получены спустя время Дискретно-аналоговое представление, и для реализации требуется устройство с большой памятью. С удалением точки опроса от интервала интерполяции Дискретно-аналоговое представление уменьшаются корреляционные связи и их учет дает малый вклад в ошибку интерполяции. Поэтому имеют смысл учитывать только те отсчеты, выборки которых коррелированны с функцией Дискретно-аналоговое представление на интервале интерполяции Дискретно-аналоговое представление, с коэффициентами корреляции К(τ) = 0.05 – 0.2. Конкретные значения К(τ) определяются требованиями к точности интерполяции.


2. Физическая трактовка процессов интерполяции сигналов


Основное математическое соотношение интерполяционной обработки:


Дискретно-аналоговое представление, (8)


можно проиллюстрировать следующим образом (рисунок 3).

В качестве интерполяционной функции в этом примере используется функция Дискретно-аналоговое представление. Интервалы интерполяцииДискретно-аналоговое представление и обработки Дискретно-аналоговое представление должны последовательно сдвигаться по времени. Операцию интерполяции можно выполнить с помощью линейного фильтра с импульсной характеристикой вида:


Дискретно-аналоговое представление. (9)


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 3


Для доказательства этого утверждения обозначим сигнал на входе и выходе линейного фильтра через Дискретно-аналоговое представление и Дискретно-аналоговое представление(рисунок 4):


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 4


Представим сигнал на входе линейного фильтра в виде последовательности кратковременных импульсов, площадь которых равна соответствующим выборкам


Дискретно-аналоговое представление. (10)


Из свойств линейных систем следует, что сигнал на выходе равен:

Дискретно-аналоговое представление (11)


Выражение (11) получается с учетом фильтрующего свойства δ-функции. Если импульсная характеристика линейного фильтра Дискретно-аналоговое представление удовлетворяет выражению (9), то соотношение (11) переходит в формулу для интерполяционной обработки:


Дискретно-аналоговое представление. (12)


Идеальное восстановление функции на выходе линейного фильтра невозможно, т.к.:

отклик на выходе линейного фильтра не может появиться раньше соответствующей выборки на входе;

число выборок не равно бесконечности;

АЧХ фильтра отличается от идеальной.


3. Задачи идеальной интерполяции


В общем случае формула интерполяции имеет вид:


Дискретно-аналоговое представление, (13)


Дискретно-аналоговое представление- оценка значения i-ой выборки, Дискретно-аналоговое представление- восстановленный первичный сигнал,


Дискретно-аналоговое представление.


Интерполяция возможна в том случае, если в сигнале имеются корреляционные связи. Может быть поставлена задача оптимального выбора вида функции Дискретно-аналоговое представление, при которой ошибка интерполяции минимальна.

Рассмотрим задачу идеальной интерполяции сигнала при предположении, что Дискретно-аналоговое представление, т.е. отсутствуют внешние шумы и ошибки системы.

Пусть непрерывный первичный сигнал описывается корреляционной

функцией Дискретно-аналоговое представление. Требуется определить форму интерполирующей функции, обеспечивающей при заданных значениях коэффициента корреляции минимум СКО


Дискретно-аналоговое представление. (14)


Можно показать, что в этом случае оптимальная интерполирующая функция имеет вид:


Дискретно-аналоговое представление, (15)


где Дискретно-аналоговое представление- весовые коэффициенты, однозначно связанные со значениями коэффициентов корреляции в точках Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление.

Т.о., оптимальная интерполирующая функция может быть определена как взвешенная сумма функций времени равных корреляционной функции первичного сигнала. Как следствие этой теории может бать доказана следующая теорема:

Если на интервале интерполяции Дискретно-аналоговое представление корреляционная функция Дискретно-аналоговое представлениеи ее взвешенная сумма хорошо аппроксимируются полиномом, то использование этого приближения обеспечит среднеквадратическое приближение близкое к идеальному. Т.е. требуется хорошая аппроксимация не всей корреляционной функции, а только ее части, приходящейся на интервал интерполяции (рисунок 5).


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 5


Чем меньше Дискретно-аналоговое представление, тем точнее возможна аппроксимация в виде многочлена и тем проще могут быть аппроксимирующие полиномы. Проиллюстрируем эту теорему для сигнала с прямоугольным спектром (рисунок 6):


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 6


Известно, что в этом случае в соответствии с теоремой

В.А. Котельникова возможно разложение первичного сигнала в ряд:


Дискретно-аналоговое представление, (16)


где Дискретно-аналоговое представление- частота опроса. В точках Дискретно-аналоговое представлениеДискретно-аналоговое представление интерполирующая функция равна:

Дискретно-аналоговое представление. (17)

Сопоставим этот результат с выражением для идеальной интерполирующей функции:


Дискретно-аналоговое представление. (18)


Чтобы эти формулы совпали, необходимо чтобы при Дискретно-аналоговое представление, а в случае Дискретно-аналоговое представлениеДискретно-аналоговое представлениеДискретно-аналоговое представление, т. е. чтобы корреляционная функция имела вид:


Дискретно-аналоговое представление. (19)


Такой функцией корреляции обладает сигнал с прямоугольным спектром, а условие Дискретно-аналоговое представление при Дискретно-аналоговое представление приводит к требованию, чтобы частота опроса Дискретно-аналоговое представление.

Это соотношение не может быть использовано на практике по следующим причинам:Дискретно-аналоговое представление

Сигнала с идеальным прямоугольным спектром не существует.

Число выборок Дискретно-аналоговое представление.

На практике при представлении регулярными выборками частота опроса выбирается исходя из соотношения


Дискретно-аналоговое представлениежДискретно-аналоговое представление, (20)


где Дискретно-аналоговое представлениеопределяется формой спектра сигнала, а ж – коэффициент запаса, зависящий от вида интерполирующих полиномов и требуемых значений показателя верности.

4. Интерполяция алгебраическими полиномами

цифровой кодирование алгебраический полином

Как было показано выше, для первичных сигналов с разными корреляционными функциями необходимо использовать разные интерполирующие функции. Такой подход не приемлем для практики, т.к. требует выполнения большого объема предварительных работ для определения вида интерполирующих функций. Для преодоления этих затруднений возможны два пути:

Использование для группы сигналов с близкими корреляционными функциями интерполирующей функции одного вида.

Применение в качестве интерполирующих функций хорошо программируемых функций с выбором частоты опроса, обеспечивающих во всех случаях требуемую верность.

Второй путь наиболее прост, но приводит к завышенным частотам опроса и, следовательно, к увеличению загрузки радиолинии. Наиболее рациональным является комбинированное использование обоих путей.

Во многих случаях в качестве интерполирующих путей используются алгебраические полиномы низких степеней, в частности полиномы Лагранжа. Интерполирующая функция по Лагранжу записывается в следующем виде:Дискретно-аналоговое представление


Дискретно-аналоговое представление (21)


где Дискретно-аналоговое представление- символ произведения, в котором отсутствуют сомножители при Дискретно-аналоговое представление. Нетрудно убедиться, что Дискретно-аналоговое представление при Дискретно-аналоговое представление и Дискретно-аналоговое представление при Дискретно-аналоговое представление.

При интерполяции по Лагранжу требуется определенным образом выбрать интервал обработки Дискретно-аналоговое представление.

Число точек опроса n четное (рисунок 7).

Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 7


Число точек опроса n нечетное (рисунок 8).


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 8


Запишем момент времени, в котором ищется интерполяционная оценка в виде


Дискретно-аналоговое представление, (22)


где Дискретно-аналоговое представление- точка отсчета, Дискретно-аналоговое представление- период опроса, Дискретно-аналоговое представление- безразмерное время, которое может непрерывно изменяться в пределах


Дискретно-аналоговое представление, при Дискретно-аналоговое представление (23)

Дискретно-аналоговое представление, при Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление (24)


На практике интерполяция по Лагранжу используется при n = 1, 2, 3:

Ступенчатая интерполяция (полиномы нулевой степени ) (рисунок 9).

В этом случае n = 1 и для интерполяции используется лишь одна выборка


Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление и Дискретно-аналоговое представление.


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 9


Линейная интерполяция (полиномы первой степени) (рисунок 10).

При этом Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление и интерполирующие функции имеют вид


Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление.Дискретно-аналоговое представление


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 10


Дискретно-аналоговое представление Дискретно-аналоговое представление Дискретно-аналоговое представление


Квадратичная интерполяция (квадратичная интерполяция) (рисунок 11).

При этом Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление и интерполирующие функции имеют вид


Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление.


Дискретно-аналоговое представление

Рисунок 11


Можно показать, что верхние оценки относительных ошибок в этом случае равны


Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление,


где Дискретно-аналоговое представление - граничная частота спектра сигнала, Дискретно-аналоговое представление- частота опроса.

При Дискретно-аналоговое представление и Дискретно-аналоговое представление частота опроса


Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление, Дискретно-аналоговое представление.


При восстановлении функции по отсчетам обычно получается плавная кривая, поэтому, можно для практических расчетов выбрать частоту опроса по формуле Дискретно-аналоговое представление.


5. Определение частоты опроса


Определим частоту опроса первичного сигнала при среднем квадратическом приближении алгебраическими полиномами. Используем показатель верности оценки Дискретно-аналоговое представление в форме интегральной средней квадратической ошибки


Дискретно-аналоговое представление. (26)


Более удобно использовать приведенный показатель верности:


Дискретно-аналоговое представление. (27)


Применим эту формулу для определения частоты опроса четырех моделей первичного сигнала:

Модель 1. Сигнал с ограниченным равномерным спектром (рисунок 12).


Дискретно-аналоговое представление

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: