Чисельне розв’язання задач оптимального керування

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ оптимального керування

1 Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільним правим кінцем. Необхідні умови оптимальності

Розглянемо неперервну задачу оптимального керування

,(1)

,(2)

, , . (3)

Виконаємо дискретну апроксимацію даної задачі. Для цього розіб’ємо відрізок точками , і будемо обчислювати значення цільового функціонала і закону руху тільки в точках розбиття: , , . Закон руху в цьому випадку можна записати у вигляді:

.

Тепер дискретна задача оптимального керування, що апроксимує неперервну задачу (1) – (3), матиме вигляд:

, , (4)

, (5)

(6)

, . (7)

Для пошуку оптимального розв’язку отриманої дискретної задачі може бути застосований метод множників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд:

,

,(8)

де .

Обмеження на керування введемо далі, під час реалізації чисельного методу. Відзначимо, що перед першим доданком стоїть знак «–», оскільки і якщо не додавати «–», то характер екстремуму початкової функції зміниться.

Якщо – локально-оптимальний процес для задачі (4) – (7), то існують такі нерівні одночасно нулю множники Лагранжа , , , , що матимуть місце наступні умови:

1. або

,

,

. (10)

2. або

,

. (11)

Із (9) одержимо ітераційні співвідношення для спряжених змінних , а з (10) – співвідношення для :

, (12)

. (13)

Перепишемо співвідношення (12) у вигляді:

.

Очевидно, що останнє співвідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування. Дійсно,

.

Якщо , то з останнього співвідношення одержимо

.

Зі співвідношення (13) випливає, що .

Сформулюємо критерій оптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції , неперервно-диференційовані за змінними і опуклі за . Тоді для локально-оптимального процесу існують такі множники Лагранжа , , , , не всі рівні нулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:

1) умови стаціонарності в точці :

;

2) . (14)

Розпишемо (14), використовуючи вираз для функції Лагранжа:

Перетворимо вираз під знаком мінімуму, переходячи до довільного :

Або

Якщо , то з останнього співвідношення одержимо

2 Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням

Розглянемо ітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методу полягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори: і . Перший із них містить -е наближення для керувань у моменти часу для системи (14), при , а другий – -е наближення для фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації ми одержуємо процес , що є -м наближенням до шуканого оптимального процесу.

Контроль у методі подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатів задачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. У випадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.

Розглянемо алгоритм методу.

1. Задаємо крок розбиття та точність обчислень .

2. Задаємо початкове наближення – припустимий набір керувань на кожному кроці – початкову стратегію керування:

, , ,

де – наближення керування в момент на ітерації .

3. За визначеною в п. 2 стратегією керування будуємо фазову траєкторію процесу

, ,

на початкової ітерації , використовуючи початкові умови і різницеві співвідношення, що апроксимують рівняння руху:

, .

4. Визначаємо початкове наближення відповідно до (5).

5. Знаходимо спряжені змінні за формулами (12) – (13).

Визначаємо наступні наближення до оптимального керування ,

в момент як розв’язки задачі (15) або (16):

, .

7. Обчислюємо відповідну стратегії траєкторію

за формулами (4), (6):

, , .

8. Знаходимо наступне наближення цільового функціонала

за формулою (5).

9. Якщо , то переходимо до п. 10, інакше вважаємо, що

, , і переходимо до п. 13.

10. Перевіряємо, чи виконується задана точність обчислень. Якщо

і ,

то переходимо до п. 13, інакше – до п. 11.

11. Позначаємо

, , .

12. Виконуємо наступний крок ітераційного методу – п. 5.

13. Позначаємо

, , – розв’язок, отриманий із кроком розбиття .

1 Якщо крок не ділився, то переходимо до п. 15, інакше – до п. 1

15. Ділимо крок

. Тоді і переходимо до п. 2 при .

1 Перевіряємо задану точність. Якщо

і ,

то переходимо до п. 18, інакше переходимо до п. 17.

17. Позначаємо

, , , , і переходимо до п. 15 – наступного кроку подвійного перерахування.

18. , , – розв’язок задачі.

Кінець алгоритму.

3. Оптимальне стохастичне керування: формулювання із зовнішнім інтегралом

Розглянемо відображення , що задане формулою

, (17)

за таких припущень:

 параметр приймає значення з вимірного простору . Для будь-якої фіксованої пари задана ймовірнісна міра на просторі , а символ у формулі (12) означає зовнішній інтеграл відносно цієї міри. Отже,

;

 функції і відображують множину відповідно в множини і , тобто ,