Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

Пермский государственный технический университет

Строительный факультет

Кафедра строительной механики и вычислительной техники


Курсовая работа

по дисциплине


ИНФОРМАТИКА


Тема: Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов


Работу выполнил:


Работу принял:


г. Пермь, 2008 г.

СОДЕРЖАНИЕ


Введение

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Отделение (локализация) корней

1.2 Уточнение корня

1.2.1 Метод Ньютона

2 Численное интегрирование

2.1 Квадратурные формулы прямоугольников

Введение


Зачастую решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу (например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными) или являться составной частью более сложных задач (например, частью расчета сооружения на устойчивость). Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными.

Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

где функция Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А < х < В.

Всякое значение х*, обращающее уравнение Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов в тождество, называется корнем этого уравнения, т.е. Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов.

С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов эквивалентна задаче нахождения нулей функции у=f(х) или абсцисс точек пересечения графика функции с осью X, т.е. значений хi , для которых выполняется условие Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов (для i=1, 2,......).

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют записать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы. На практике класс таких уравнений весьма невелик.

Итерационные (приближенные) методы – это методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения приближенных значений корней уравнения складывается из двух этапов.

Первый этап - отделение или локализация корней. На этом этапе необходимо решить следующие задачи:

исследовать количество, характер и расположение корней;

найти их приближенные значения (нулевые итерации).

Второй этап - уточнение приближенного корня до заданной степени точности

1. Решение нелинейного уравнения


Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов


Отделение (локализация) корней


Отделить (локализовать) корни - это значит выделить из области допустимых значений функции f(x) отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень. Отделить корни можно разными способами: построением таблицы значений функции y=f(x); графическим методом; исходя из физического смысла задач. Рассмотрим более подробно графический метод. Построим график функции Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов


Х у=е^х+lnx-10*x
1,000000 -7,281718
1,200000 -8,497562
1,400000 -9,608328
1,600000 -10,576964
1,800000 -11,362566
2,000000 -11,917797
2,200000 -12,186529
2,400000 -12,101355
2,600000 -11,580751
2,800000 -10,525734
3,000000 -8,815851
3,200000 -6,304319
3,400000 -2,812125
3,600000 1,879168
3,800000 8,036186
4,000000 15,984444
4,200000 26,121416
4,400000 38,932473
4,600000 55,010372
4,800000 75,079033
5,000000 100,022597

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов


Теорема 1. Если непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a) f(b)<0 , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная f/(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a;b), т.е. если f/(x)>0 (или f/(x<0)) при а<х<b.

Искомый корень уравнения находится в интервале (3;4).


Уточнение корня


Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения корня х0. В результате этого процесса находится последовательность приближений (итераций) значений корня уравнения f(x)=0:

х1, х2, …, хп

Если эта последовательность имеет предел

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов,

то говорят, что итерационный процесс сходится и сходится к точному решению уравнения х[3;4].

На практике нужно ограничивать итерационный процесс конечным числом шагов (итераций) п. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.

Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции у=f(х) в окрестности корня.

Существует несколько итерационных методов решения нелинейных уравнений: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод Ньютона (метод касательных), модифицированный метод Ньютона.

Рассмотрим более подробно метод хорд.


Метод Ньютона

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой у=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.

Пусть функция у=ех+lnх-10х на отрезке [3;5] удовлетворяет условиям теоремы 1.

Положим для определенности Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов для Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов и f(5)>0. И выберем в качестве нулевого приближения х0=5, для которого выполняется условие f(x)*f”(x)>0.

Проведем касательную к кривой у=f(x) в точке В0[х0; f(x0)]. В качестве первого приближения корня х1возмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку В1[х1; f(x1)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.

Уравнение касательной в точке В1[х1; f(x1)] (п=0,1,2…) к нашей кривой записывается

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

Пологая у=0, х=хп+1, получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов.

Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ


Метод Ньютона



Выбор нулевого приближения: Х0= 5,0000


f(x)=е^х+lnх-10*х



f(X0)*f''(X0)>0

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов




f'(x)=е^x+1/x-10


n Xn f(Xn) f'(Xn) If(Xn)I

0 5,00000 100,02260 138,61316 100,02260

1 4,27840 30,79482 62,35902 30,79482

2 3,78457 7,50210 34,28113 7,50210

3 3,56573 0,97941 25,64582 0,97941

4 3,52754 0,02541 24,32372 0,02541

5 3,52650 0,00002 24,28827 0,00002

6 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000

7 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000

8 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000

Вывод: к заданной точности Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов наиболее близка 5-я итерация.

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов, Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов.

Проверим решение данного уравнения методом надстройки:


Нелинейное уравнение е^x+lnx-10*x=0





Х0 Xn F(Xn)

3,5265 3,5265 0,00005


Численное интегрирование


При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определённого интеграла.

Очень часто применяют формулы для приближённого вычисления интегралов.

Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.

Идея численного метода заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которой вычисляется достаточно просто.


Квадратурные формулы прямоугольников


Отрезок интегрирования [а;b] разбиваем на п равных отрезков и получаем п+1 равноудаленных точек: х0=а, хп=b, хi+1=xi+h, i=(0,1,2…,
п-1), где h шаг разбивки. При этом обозначим уi=f(хi).

Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов, где Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов , i=0,1,2,…,п+1.

Существует несколько формул прямоугольников: «левых» (входящих), «правых» (выходящих) и «средних».

В нашем случае рассмотрим подробнее формулу «средних» прямоугольников, когда Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов.

Произведём разбивку для n=5 и n=10:


a=

3,0000


Численное интегрирование

b=

3,5265
n= 5

J=Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов


h=

0,1053




Номер Значение f(x) Метод



узла узла
ср.прямоуг



1 3,0000 -8,8159 0,0000



2 3,1053 -7,6040 -0,9228



3 3,2106 -6,1456 -1,7179



4 3,3159 -4,4131 -2,3595



5 3,4212 -2,3759 -2,8187



6 3,5265 0,0000 -3,0633



a=

3,0000





b=

3,5265
n= 10


h=

0,0527





Номер Значение f(x) Метод



узла узла
ср.прямоуг



1 3,0000 -8,8159 0,0000



2 3,0527 -8,2391 -0,4628



3 3,1053 -7,6040 -0,8952



4 3,1580 -6,9073 -1,2941



5 3,2106 -6,1456 -1,6564



6 3,2633 -5,3154 -1,9786



7 3,3159 -4,4131 -2,2571



8 3,3686 -3,4346 -2,4880



9 3,4212 -2,3759 -2,6675



10 3,4739 -1,2325 -2,7912



11 3,5265 0,0000 -2,8547



a=

3,5265


Численное интегрирование

b=

4,0000
n= 5

J=Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов


h=

0,0947




Номер Значение f(x) Метод



узла узла
ср.прямоуг



1 3,5265 0,0000 0,0000



2 3,6212 2,4572 0,0045



3 3,7159 5,2492 0,2417



4 3,8106 8,4093 0,7433



5 3,9053 11,9743 1,5441



6 4,0000 15,9844 2,6825



a=

3,5265





b=

4,0000
n= 10


h=

0,0474





Номер Значение f(x) Метод



узла узла
ср.прямоуг



1 3,5265 0,0000 0,0000



2 3,5739 1,1887 0,0011



3 3,6212 2,4572 0,0585



4 3,6686 3,8093 0,1760



5 3,7159 5,2492 0,3575



6 3,7633 6,7810 0,6072



7 3,8106 8,4093 0,9294



8 3,8580 10,1388 1,3287



9 3,9053 11,9743 1,8099



10 3,9527 13,9211 2,3780



11 4,0000 15,9844 3,0382




11

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: