Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

НАЦИОНАЛЬНИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УКРАИНЫ

“КИЕВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ


Кафедра физико–технических средств защиты информации


Лабораторная работа

по предмету Обработка широкополосных сигналов

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Выполнил студент гр. ФЕ-21

Коваленко А.С.


Киев 2008

Введение


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций. Обобщенный ряд Фурье. Функции Радемахера. Представление сигнала с конечной энергией в базисе функций Хаара.

Цель работы: Изучение особенностей кусочно-постоянных ортогональных функций Радемахера и Хаара. Получение практических навыков расчета спектров сложных сигналов, используя преобразование Хаара.

Теоретические сведения


Обобщенный ряд Фурье


Обобщенный ряд Фурье сигнала Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций в выбранном базисе Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций для сигнала с конечной энергией


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


может быть представлен в виде ряда


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций,


где Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций – коэффициент разложения, определяющий спектр сигнала; Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций – система ортонормированных вещественных функций (базис), причем для произвольных функций, ортонормированных на интервале Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, можно записать


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Коэффициенты разложения Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций определяются следующим образом


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций.


Для минимизации времени вычислений необходимо выбирать систему базисных функций по возможности более согласованную по форме с исследуемым сигналом. Причем необходимо также учитывать возможность более простой аппаратной или программной реализации базиса. Для импульсных сигналов представляет интерес разложение Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций в базисах функций Хаара, Уолша и др.


Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)


Спектральная плотность Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций дискретного сигнала Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций определяется выражением


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, (1.1)


где n – номер дискретного отсчета непрерывной функции; Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- период дискретизации непрерывной функции x(t).


Согласно выражению (1.1) спектр дискретного сигнала сплошной. Но таковым он бывает только лишь при условии, что объем выборки дискретного сигнала бесконечен. В приложениях выборка отсчетов сигнала всегда конечномерна. Кроме того, по многим причинам желательно вычислять преобразование Фурье на ЭВМ. Это означает, что конечномерной является не только выборка дискретных отсчетов сигнала, но и соответствующее этой выборке число гармоник спектра дискретного сигнала.

Каждая спектральная линия состоит из амплитудной и фазовой составляющих. Следовательно, из N данных отсчетов можно получить амплитуды и фазы для N/2 дискретных частот, которые находятся в интервале от Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийдо Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, где Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- частота дискретизации равная Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций.

Соответствующие спектральные линии повторяются в интервале от Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийдо Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций. В области от Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийдо Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций можно построить N линий для частот


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций,


где k = 0, 1, …, N –1. Если в уравнении (1.1) заменить Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийнаПредставление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, то получим уравнение полностью дискретное как по времени, так и по частоте и поэтому удобное для вычислений на ЭВМ.


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций;

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций,


где k = 0, 1, …, N –1.


Выражение для обратного ДПФ следующее:


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций,


где n = 0, 1, …, N –1.


Быстрое преобразование Фурье (БПФ)


Классические формы прямого и обратного ДПФ просты и легко реализуемы на ЭВМ. Однако их практическое применение ограничивается большими объемами вычислений, которые растут в квадратичной зависимости от объема выборки Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций. Так, если число отсчетов временной функции Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций составляет N, то полный спектрПредставление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций-мерной последовательности дискретных сигналов определяется посредством приблизительно Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций комплексных операций умножения и сложения. При достаточно больших Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций может оказаться, что ресурса даже высокопроизводительных ЭВМ недостаточно для вычисления спектра в реальном времени (т.е. в темпе поступления входных данных). Существуют различные способы сокращения объема вычисления при определении дискретно спектра, которые приводят к алгоритмам быстрого преобразования Фурье. Алгоритмы БПФ основаны на устранении избыточности вычислений. Покажем на примере.

Допустим, что нужно рассчитать число А


А = ac + ad + bc + bd


В записанном виде расчет содержит четыре операции умножения и три сложения. Если число А нужно считать много раз для разных множеств данных, то его представляют в эквивалентной форме:


А = (a+b) (c+d)


которая требует выполнения лишь одной операции умножения и двух операций сложения.

Основная идея БПФ заключается в разделении исходной Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечной последовательности входных сигналов на две более короткие последовательности, ДПФ которых можно скомбинировать таким образом, чтобы получилось ДПФ исходной Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечной последовательности. Так, например, если Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций – четное, а исходная Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечная последовательность разбита на две Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечные последовательности, то для вычисления искомого Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечного ДПФ потребуется Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийкомплексных операций умножения, т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением ДПФ. Здесь множитель Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций равен числу умножений, необходимых для определения Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечного ДПФ, а множитель 2 соответствует двум ДПФ, которые должны быть вычислены. Эту операцию можно повторить, вычисляя вместо Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечного ДПФ две Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций точечные ДПФ (предполагая, что Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций – четное) и сокращая тем самым объем вычислений еще в два раза. Выигрыш в два раза является приблизительным, поскольку не учитывается, каким образом из ДПФ меньшего размера образуется искомое Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций- точечное ДПФ.


Функции Радемахера и их представление


Функции Радемахера составляют неполную систему ортонормированных функций, что ограничивает их применение. Но их широкое использование обусловлено тем, что на их основе можно получить полные функций, например, Хаара и Уолша. Непрерывная Функция Радемахера с индексом m, которая обозначается как rad(m,x), имеет вид последовательности прямоугольных импульсов, содержит Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций периодов на полуоткрытом интервале [0;1) и принимает значения +1 или –1. Исключением является rad (0,x), которая имеет вид единичного импульса. Функции Радемахера периодические с периодом 1, т.е. rad(m,x) = rad(m,x+1). Кроме того, они периодические и на более коротких интервалах: Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций Их можно получить с помощью рекуррентного соотношения: Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций,


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Получить функции Радемахера можно также с помощью следующего соотношения:


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Первые четыре функции Радемахера представлены на рис.1.1 а, б


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

а) б)

Рис. 1.1. Первые четыре непрерывные функции Радемахера:


a) на интервале [0; 1); б) на интервале [-0.5; 0.5);

Пример разложения функции f(x) в базисе функций Радемахера, используя общую формулу (1.2) представлен на рис 1.2.


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, (1.2)

где Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Рис.1.2. Пример разложения в базисе функций Радемахера.


Дискретные функции Радемахера


Дискретные функции Радемахера являются отсчетами непрерывных функций Радемахера. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Радемахера как Rad(m,x). Для дискретных функций Радемахера удобно использовать матрицу, каждая строка которой является дискретной функцией Радемахера. Например, для третьей диады (m=3) имеем: (для удобства обозначим “+1” как “+”, а “–1” как “–” )

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийПредставление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Функции Хаара и их представление


Множество непрерывных функций Хаара Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций составляет периодическую, ортонормированную и полную систему функций. Широкое распространение функции Хаара получили в вэйвлет-анализа и сжатии изображений. Рекуррентное соотношение, которое дает возможность сформировать непрерывную функцию Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, имеет вид:


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


где Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийи Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, N – общее количество функций.


Первые восемь функций Хаара представлены на рис. 1.3.

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Рис.1.3. Первые восемь непрерывных функции Хаара.


Дискретные функции Хаара


По аналогии с дискретными функциями Радемахера дискретные функции Хаара являются отсчетами непрерывных функций Хаара. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Хаара как Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций.

Построим матрицу дискретных значений функций Хаара для Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, в которой каждая строка отвечает соответствующей функции.


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функцийПредставление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


При цифровой обработке сигналов, вэйвлет-анализе, сжатии изображений, анализе и синтезе логических функций, часто применяются ненормированные функции Хаара, которые на отдельных участках принимают одно из трех значений +1; 0; –1.


Преобразование Хаара


Любую интегрируемую на интервале Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций функцию Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций можно представить рядом Фурье по системе функций Хаара:


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, где Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций (1.3)


с коэффициентами


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций. (1.4)

Домашнее задание


Выражения для непрерывных функций Радемахера


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Матрица для системы дискретных функций Радемахера при N = 5.


Rad(0,t) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Rad(1,t) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
Rad(2,t) 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
Rad(3,t) 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
Rad(4,t) 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
Rad(5,t) 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

Графики функций от Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций до Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций.

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Выражение для нормированных функций Хаара.


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Графики нормированных функций от Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций до Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций.

Графики ненормированных функций от Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций до Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций.


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Выполнение работы


Используя преобразование Хаара рассчитаем амплитудный и фазовый спектр заданного сигнала

А. Используем нормированные функции Хаара.

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Б. Используем ненормированные функции Хаара


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Синтезируем заданный сигнал и построим графики для обоих случаев

А. Используем нормированные функции Хаара


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций


Б. Используем ненормированные функции Хаара


Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: