Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Федеральное агентство по образованию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет автоматики и электромеханики

Кафедра «Автоматизированные и вычислительные системы»

Специальность «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»


КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Вычислительная математика»

Тема работы «Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена»


Воронеж 2009

РЕФЕРАТ


Пояснительная записка 26 с., 14 рисунка, 2 источника. Ключевые слова: МЕТОД БРОЙДЕНА, РЕШЕНИЕ СИСТЕМ МЕТОДОМ БРОЙДЕНА, РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Объект исследования или разработки – решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена.

Цель работы – создать программу, иллюстрирующую решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена и исследовать результат ее работы.

Полученные результаты – листинг полученный программы, проверка соответствия найденных решений точным решениям заданной системы нелинейных уравнений.

Основные конструктивные, технологические и технико-эксплуатационные характеристики - персональная ЭВМ.

Содержание


Реферат

Введение

1. Алгоритм бройдена

1.1 Входные данные для алгоритма Бройдена

1.2 Содержание алгоритма Бройдена

1.3 Метод исключения Гаусса для решения СЛАУ

1.4 Вывод формулы пересчета Бройдена

2. Разработка программы и иследование результата ее работы

Заключение

Список литературы

Приложение

ВВЕДЕНИЕ


Необходимость в решении систем нелинейных уравнений возникает как самостоятельная задача при моделировании нелинейных объектов, а также как промежуточный этап при решении ряда других задач, например, при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений неявными методами или при решении нелинейных краевых задач.

В общем виде задача решения системы нелинейных уравнений ставится так: найти вектор Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, превращающий систему уравнений

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена,

где Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена - нелинейные функции от Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, в тождество.

Все численные методы решения нелинейного уравнения исходят из того, что решение либо единственно во всей области, либо требуемое решение лежит в известной области. При решении практических задач такая информация обычно поступает от постановщика задачи, который может примерно характеризовать область предполагаемого решения.

Для большинства практических задач отсутствует аналитическое выражение для функции Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, а значит, и для Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. В этом случае приходится прибегать к аппроксимации якобиана. Одним из способов такой аппроксимация является метод Бройдена [1].

В курсовой работе будет рассматриваться метод решения Бройдена для систем нелинейных уравнений.

1. АЛГОРИТМ БРОЙДЕНА.


1.1 Входные данные для алгоритма Бройдена


Входными данными для алгоритма Бройдена являются вектор начального решения, начальная матрица Якоби и заданная точность.


1.2 Содержание алгоритма Бройдена


Пусть необходимо решить систему уравнений Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена с начальным вектором Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Основной сложностью при использовании метода Бройдена является выбор начальной аппроксимации матрицы Якоби. На практике для обеспечения хорошего начала итерационного процесса один единственный раз используют конечно-разностную аппроксимацию производных, а на следующих шагах матрица аппроксимируется по методу Бройдена.

Для начального вектора формируется матрица Якоби на основе конечно-разностной аппроксимации производных Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена и аналогично методу Ньютона находится вектор очередного приближения Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена из решения системы уравнений. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. На следующих шагах поиска матрица Якоби рассчитывается по формуле пересчета Бройдена


Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена,


где Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. И весь процесс поиска решения повторяем по той же самой схеме до тех пор, пока не будет получено решение c заданной точностью [1].

Поскольку необходимо решить линейное уравнение, то рассмотрим метод решения Гаусса.

1.3 Метод исключения Гаусса для решения СЛАУ


Суть всех методов исключения состоит в приведении исходной системы уравнений к системе более простого вида, для которой легко найти решение. К этим методам можно отнести метод исключения Гаусса, который имеет много вычислительных схем и, как показали исследования, является идеальным алгоритмом для решения СЛАУ.

Рассмотрим сначала самую простую схему – схему единственного деления. Применение схемы единственного деления продемонстрируем на примере СЛАУ 4- го порядка

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Разделив первое уравнение системы на Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, получим


Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена


Из второго уравнения системы вычтем первое, умноженное на коэффициент при Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, то есть на Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. В результате получаем:


Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

=Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Поступая таким же образом с третьим и последующими уравнениями системы, получим

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена;

Решение систем нелинейных уравнений методом БройденаРешение систем нелинейных уравнений методом Бройдена;

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена.

Решение систем нелинейных уравнений методом БройденаК выделенной системе применим тот же алгоритм, что и к исходной. В результате получаем

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Прямой ход метода Гаусса закончен. Из полученной треугольной системы линейных алгебраических уравнений обратным ходом Гаусса отыскиваем вектор решения Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена по следующим формулам


Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена.


1.4 Вывод формулы пересчета Бройдена

Решение систем нелинейных уравнений методом БройденаВ процессе построения методов Ньютона и секущих решения нелинейного скалярного уравнения Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена функция f(x) в окрестности текущей точки Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена подменяется линейной функцией (аффинной моделью)

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Приравнивание к нулю последней, т.е. решение линейного уравнения Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, порождает итерационную формулу Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена для вычисления приближений к корню уравнения.

Если потребовать, чтобы заменяющая функцию f(x) вблизи точки Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена аффинная модель Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена имела в этой точке одинаковую с ней производную, то, дифференцируя, получаем значение коэффициента Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, подстановка которого в Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена приводит к известному методу Ньютона. Если же исходить из того, что наряду с равенством Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена должно иметь место совпадение функций f(x) и Решение систем нелинейных уравнений методом Бройденав предшествующей Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена точке Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена т.е. из равенства Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, получаем коэффициент Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, превращающий Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена в известную формулу секущих.

Равенство Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, переписанное в виде Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, называют соотношением секущих в Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена Оно легко обобщается на n -мерный случай и лежит в основе вывода метода Бройдена. Опишем этот вывод.

В n-мерном векторном пространстве Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена соотношение секущих представляется равенством


Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена,


где Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена - известные n-мерные векторы, Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена - данное нелинейное отображение, а Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена - некоторая матрица линейного преобразования в Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. С обозначениями Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена соотношение секущих в Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена обретает более короткую запись Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Аналогично одномерному случаю, а именно, по аналогии с формулой Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, будем искать приближения к решению Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена векторного уравнения Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена по формуле Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Обратимую n x n-матрицу Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена в ней нужно подобрать так, чтобы она удовлетворяла соотношению секущих Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Но это соотношение не определяет однозначно матрицу Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена: глядя на равенство Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, легко понять, что при n>1 существует множество матриц Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, преобразующих заданный n-мерный вектор Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена в другой заданный вектор Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена (отсюда - ясность в понимании того, что могут быть различные обобщения одномерного метода секущих).

При формировании матрицы Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена будем рассуждать следующим образом. Переходя от имеющейся в точке Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена аффинной модели функции F(x) Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена к такой же модели в точке Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена мы не имеем о матрице линейного преобразования Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена никаких сведений, кроме соотношения секущих Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Поэтому исходим из того, что при этом переходе изменения в модели должны быть минимальными. Эти изменения характеризует разность Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Вычтем из равенства Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена определяющее Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена равенство Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена и преобразуем результат, привлекая соотношение секущих Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена. Имеем:


Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена


Представим вектор Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена в виде линейной комбинации фиксированного вектора Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена определенного в Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, и некоторого вектора t, ему ортогонального: Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Подстановкой этого представления вектора Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена в разность Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена получаем другой ее вид Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Анализируя выражение Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, замечаем, что первое слагаемое в нем не может быть изменено, поскольку Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена - фиксированный вектор при фиксированном k. Поэтому минимальному изменению аффинной модели Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена будет отвечать случай, когда второе слагаемое в Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена будет нуль-вектором при всяких векторах t, ортогональных векторам Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена, т.е. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена следует находить из условия Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

Непосредственной проверкой убеждаемся, что условие Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена будет выполнено, если матричную поправку Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена взять в виде одноранговой nхn-матрицы Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена.

Таким образом, приходим к так называемой формуле пересчета С. Бройдена


Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

2. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ И ИСЛЕДОВВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТА ЕЕ РАБОТЫ


Задача. Разработать программу, реализующую метод Бройдена.

Структура программы. Программа была разработана в интегрированной среде разработке приложений Microsoft Visual Studio 2008 на языке программирования C#, проект программы Console Application. В ходные данные программы начальный вектор

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: