Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Методы одномерной оптимизации

Методы одномерной оптимизации

Министерство образования РФ

Волгоградский государственный технический университет


Контрольная работа


Методы одномерной оптимизации


Выполнил:

Группа АУЗ-362

Проверил:

Яновский Т.А.


Волгоград 2011

Метод установления границ начального отрезка локализации минимума


Представляет собой процедуру эвристического типа, предваряющую использование метода одномерного поиска, которому требуется начальный отрезок локализации минимума.

Алгоритм Свенна.

Шаг 1. Выбрать произвольную начальную точку Методы одномерной оптимизации и Методы одномерной оптимизации – начальный положительный шаг.

Шаг 2. Вычислить Методы одномерной оптимизации

Шаг 3. Сравнить Методы одномерной оптимизации:

а) если Методы одномерной оптимизации то, согласно предположению об унимодальности функции, точка минимума должна лежать правее, чем точка Методы одномерной оптимизации. Положить Методы одномерной оптимизации, Методы одномерной оптимизации, k=2 и перейти на шаг 5.

б) если Методы одномерной оптимизации, то вычислить Методы одномерной оптимизации.

Шаг 4. Сравнить Методы одномерной оптимизации:

а) если Методы одномерной оптимизации, то точка минимума лежит между точками Методы одномерной оптимизации и Методы одномерной оптимизации, которые и образуют границы начального отрезка локализации минимума. Положить Методы одномерной оптимизации и завершить поиск.

б) если Методы одномерной оптимизации то, согласно предположению об унимодальности функции, точка минимума должна лежать левее, чем точка Методы одномерной оптимизации. Положить Методы одномерной оптимизации, k=2 и перейти на шаг 5.

Шаг 5. Вычислить Методы одномерной оптимизации.

Шаг 6. Сравнить Методы одномерной оптимизации:

а) если Методы одномерной оптимизации, то

при Методы одномерной оптимизации положить Методы одномерной оптимизации

при Методы одномерной оптимизации положить Методы одномерной оптимизации

и завершить поиск.

б) если Методы одномерной оптимизации, то

при Методы одномерной оптимизации положить Методы одномерной оптимизации

при Методы одномерной оптимизации положить Методы одномерной оптимизации

положить k=k+1 и перейти на шаг 5.


Метод золотого сечения


Необходимо задать начальный отрезок локализации минимума и число Методы одномерной оптимизации, характеризующее желаемую точность вычисления x*.

Шаг 1. Вычислить Методы одномерной оптимизации.

Шаг 2. Найти пробные точки Методы одномерной оптимизации и Методы одномерной оптимизации.

Шаг 3. Вычислить значения функции в пробных точках Методы одномерной оптимизации и Методы одномерной оптимизации.

Шаг 4. Сравнить Методы одномерной оптимизации и Методы одномерной оптимизации:

а) если Методы одномерной оптимизации, то положить Методы одномерной оптимизации.

б) если Методы одномерной оптимизации, положить Методы одномерной оптимизации.

Шаг 5. Вычислить Методы одномерной оптимизации. Если Методы одномерной оптимизации, то положить Методы одномерной оптимизации и закончить поиск, иначе перейти к шагу 3.

Замечание: Данный алгоритм является несколько более медленно сходящимся по сравнению с алгоритмом, точно соответствующим методу “золотого сечения”, из-за того, что на каждой итерации он требует двух вычислений функции f(x) вместо одного. Однако это делает его более точным, так как при оперировании только с одной новой точкой ошибки округления могут привести к потере интервала, содержащего минимум.

Задание.

1.Самостоятельно найти в литературе по “Методам оптимизации” определение унимодальной функции и разобраться с его смыслом. Это важно, так как вычислительный процесс в любом методе одномерной оптимизации опирается на предположение об унимодальности Методы одномерной оптимизации.

2. Программно реализовать на языке C++ метод Свенна

(Программа должна обеспечить вывод на экран

начальной точки и шага

на каждой итерации метода:

номера итерации,

генерируемой методом новой точки x и значения функции в ней;

а на последней итерации

отрезка [a, b] локализации минимума функции f(x) и его длины, а также числа итераций.


Метод оценивания точки минимума внутри найденного отрезка локализации минимума


(Программа должна обеспечить на каждой итерации метода вывод на экран:

номера итерации,

границ текущего отрезка [a, b],

внутренних точек и значений функции в них, а затем

финальной оценки x* точки минимума функции f(x)

соответствующего точке x* значения функции f(x*)).

3. С помощью программы решить следующие задачи одномерной оптимизации

f(x) = x2 – 12x. Начальные точки: 1, 3, 0, 10. ∆ = 1, 10

f(x) = 2x2+(16/x) Начальные точки: 1,6, 2, 1, 0.1, 10. ∆ = 1, 2

f(x) = (127/4)x2-(61/4)x+2. Начальные точки: 0, 1, 2, -10, 10. ∆= 0,5, 1

4.Составить отчет, содержащий:

Титульный лист с указанием учебной дисциплины, номера и названия задания, ФИО выполнившего работу студента;

Полностью текст задания, приведенный несколькими строками выше;

Определение унимодальности;

Алгоритмы;

Текст программы на С++;

Подробное решение одной из предложенных задач – то, что выводит программа при ее решении на каждой итерации;

Сводную таблицу результатов решения задач, содержащую информацию о тестовой функции, начальных данных задачи и параметрах программы и результаты решения задачи(оценку точки минимума, значение функции в ней, число итераций).

Задание№1


Программно реализовать на языке C++ метод Свенна

(Программа должна обеспечить вывод на экран

начальной точки и шага на каждой итерации метода:

номера итерации,

генерируемой методом новой точки x и значения функции в ней; а на последней итерации отрезка [a, b] локализации минимума функции f(x) и его длины, а также числа итераций.

С помощью программы решить следующие задачи одномерной оптимизации

f(x) = x2 – 12x. Начальные точки: 1, 3, 0, 10. ∆ = 1, 10

f(x) = 2x2+(16/x) Начальные точки: 1,6, 2, 1, 0.1, 10. ∆ = 1, 2

f(x) = (127/4)x2-(61/4)x+2. Начальные точки: 0, 1, 2, -10, 10. ∆= 0,5, 1

Текст программы на С++


#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <iomanip.h>

using namespace std;

double f(double ) ;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double t,ll,e,l,xk,yk,a,b;

double x,delta,xp,x1,x2,k=0,y;

int p=0;

cout<<"enter x* ";

cin>>x ;

cout<<"enter t ";

cin>>t;

x1=x-t;

x2=x+t;

if ((f(x-t) >=f(x)) && (f(x+t) >=f(x)))

{

a=x-t;

b=x+t;

p=1;

};

if ((f(x-t) <=f(x)) && (f(x+t) <=f(x)))

{

p=1;

};

xp=x;

if ((f(x-t) >f(x)) && (f(x) >f(x+t)))

{

delta=t;

a=x ;

x=x+t;

}

if ((f(x-t) < f(x)) && (f(x) < f(x+t)))

{

delta=-t;

b=x ;

x=x-t;

}

while ((p!=1))

{

if ((f(x)< f(xp)) && (delta*t >0))

a=xp;

if ((f(x)< f(xp)) && (delta*t <0))

b=xp;

if ((f(x)> f(xp)) && (delta*t >0))

{

b=x;

p=1;

};

if ((f(x)> f(xp)) && (delta*t<0))

{

a=x;

p=1;

};

k++;

cout<< " Номер итерации "<<k<<endl;

cout<< " Ганицы отрезка a="<<a<<" b="<<b<<endl;

xp=x;

x=xp+pow(2.0,k-1)*delta;

}

cout << " a= "<<a<< " b= "<< b<<endl; cout<< " Количество итераций= " << k<< endl;

system("pause");

return 0;

}

double f(double x)

{

double y;

y=x*x-12*x;

return (y);

}

Решение задачи


Функция f(x) = x2-12x нач. точка x0= 1 шаг 1

Номер итерации 1

Начальная точка 1


X1 = a = 1

F(x) = -11


Номер итерации 2

Начальная точка 1

Шаг 1


X2 = a= 2

F(x) = -20


Номер итерации 3

Начальная точка 2

Шаг 2


X3 = a = 4

F(x) = -32


Номер итерации 4

Начальная точка 4

Шаг 4


X4 = b = 8

F(x) = -32

Отрезок [a;b] =[2;8] Число итераций = 4


Сводная таблица результатов №1

f(x) = x2-12x

Начальная

точка

Шаг

Отрезок

Число итераций

1 1 [2;8] 4
1 10 [-9;11] 3
3 1 [4;11] 4
3 10 [-7;13] 3
0 1 [2;16] 5
0 10 [0;30] 3
10 1 [2;8] 4
10 10 [0;20] 3

Сводная таблица результатов №2

f(x) = 2x2+(16/x)

Начальная

точка

Шаг Отрезок Число итераций
1.6 1 [0.6;2.6] 3
1.6 2 [-0.4;3.6] 3
2 1 [1;3] 3
2 2 [0;2] 3
0.1 1 [-0.9;2.1] 3
0.1 2 [-1.9;4.1] 3
10 1 [-5;9] 4
10 2 [-4;8] 3

Сводная таблица результатов №3

f(x) = (127/4)x2-(61/4)x+2

Начальная

точка

Шаг Отрезок Число итераций
0 0.5 [-0.5;0.5] 2
0 1 [-1;1] 2
1 0.5 [-1;0.5] 3
1 1 [-1;1] 2
2 0.5 [-2;1] 4
2 1 [-2;1] 3
-10 0.5 [-6;6] 6
-10 1 [-6;6] 5
10 0.5 [-6;6] 6
10 1 [-6;6] 5

Задание №2


Найти точки минимума внутри найденного отрезка локализации минимумаметодом золотого сечения.

(Программа должна обеспечить на каждой итерации метода вывод на экран:

номера итерации,

границ текущего отрезка [a, b],

внутренних точек и значений функции в них,

а затем

финальной оценки x* точки минимума функции f(x)

соответствующего точке x* значения функции f(x*)).

Текст программы на С++


#include <iostream.h>

#include <iomanip.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <stdlib.h>

double function (double); // вычисляет значение функции в данной точке

void main (void)

{

double a, b, E, F1, F2, LM, x = 0, fc, fd, fx, i = 0, c = 0, d = 0; // Определение переменных

clrscr();

cout << "Введите границы начального отрезка:" << endl << "a0 = ";

cin >> a;

cout << "b0 = ";

cin >> b;

cout << "Введите число Е:" << endl << "E = ";

cin >> E;

clrscr();

cout << "Границы начальнога отрезка:"<< endl <<"а[" << i << "] = " << a << endl;

cout << "b[" << i << "] = " << b << endl;

cout << "Число Е = " << E << endl;

F1 = (3 - sqrt(5))*0.5;

F2 = 1 - F1;

do

{

LM = b - a;

cout << endl << "Номер итерации " << i + 1 << endl;

cout << "Границы текущего отрезка:" << endl << "а[" << i << "] = " << a << endl;

cout << "b[" << i << "] = " << b << endl;

if (LM <= E)

{

x = (a + b)*0.5;

fx = function(x);

cout << "Точка минимума x = " << setprecision(10) << x << endl;

cout << "Значение функции F(x) в точке минимума = " << setprecision(10) << fx << endl;

cout << "Press any key";

getch();

exit(0);

}

else

{

c = a + F1 * LM;

d = a + F2 * LM;

fc = function(c);

fd = function(d);

cout << "Значение внутренней точки с[" << i << "] = " << setprecision(10) << c << endl;

cout << "Значение внутренней точки d[" << i << "] = " << setprecision(10) << d << endl;

cout << "Значение функции F(x) в точке с[" << i << "] = " << setprecision(10) << fc << endl;

cout << "Значение функции F(x) в точке d[" << i << "] = " << setprecision(10) << fd << endl;

}

if (fc == fd)

{

a = c;

b = d;

x = (a + b)*0.5;

fx = function(x);

cout << "Точка минимума x = " << setprecision(10) << x << endl;

cout << "Значение функции F(x) в точке минимума = " << setprecision(10) << fx << endl;

cout << "Press any key";

getch();

exit(0);

}

else

{

if (fc < fd)

{

a = a;

b = d;

i++;

}

else

{

a = c;

b = b;

i++;

}

}

}

while (1);

}

double function (double x)

{

double y;

y = x * x - 12 * x;

return (y);

}


Решение задачи

Функция f(x) = x2-12x

Границы начального отрезка:

а[0] = -9

b[0] = 11

Число Е = 0.1

Номер итерации 1

Границы текущего отрезка:

а[0] = -9

b[0] = 11

Значение внутренней точки с[0] = -1.36

Значение внутренней точки d[0] = 3.36

Значение функции F(x) в точке с[0] = 18.17

Значение функции F(x) в точке d[0] = -29.03

Номер итерации 2

Границы текущего отрезка:

а[1] = -1.36

b[1] = 11

Значение внутренней точки с[1] = 3.36

Значение внутренней точки d[1] = 6.27

Значение функции F(x) в точке с[1] = -29.03

Значение функции F(x) в точке d[1] = -35.92

Номер итерации 3

Границы текущего отрезка:

а[2] = 3.36

b[2] = 11

Значение внутренней точки с[2] = 6.27

Значение внутренней точки d[2] = 8.08

Значение функции F(x) в точке с[2] = -35.92

Значение функции F(x) в точке d[2] = -31.66

Номер итерации 4

Границы текущего отрезка:

а[3] = 3.36

b[3] = 8.08

Значение внутренней точки с[3] = 5.16

Значение внутренней точки d[3] = 6.27

Значение функции F(x) в точке с[3] = -35.3

Значение функции F(x) в точке d[3] = -35.92

Номер итерации 5

Границы текущего отрезка:

а[4] = 5.16

b[4] = 8.08

Значение внутренней точки с[4] = 6.27

Значение внутренней точки d[4] = 6.96

Значение функции F(x) в точке с[4] = -35.92

Значение функции F(x) в точке d[4] = -35.06

Номер итерации 6

Границы текущего отрезка:

а[5] = 5.16

b[5] = 6.96

Значение внутренней точки с[5] = 5.85

Значение внутренней точки d[5] = 6.27

Значение функции F(x) в точке с[5] = -35.97

Значение функции F(x) в точке d[5] = -35.92

Номер итерации 7

Границы текущего отрезка:

а[6] = 5.16

b[6] = 6.27

Значение внутренней точки с[6] = 5.58

Значение внутренней точки d[6] = 5.85

Значение функции F(x) в точке с[6] = -35.83

Значение функции F(x) в точке d[6] = -35.97

Номер итерации 8

Границы текущего отрезка:

а[7] = 5.58

b[7] = 6.27

Значение внутренней точки с[7] = 5.85

Значение внутренней точки d[7] = 6.01

Значение функции F(x) в точке с[7] = -35.97

Значение функции F(x) в точке d[7] = -35.99

Номер итерации 9

Границы текущего отрезка:

а[8] = 5.85

b[8] = 6.27

Значение внутренней точки с[8] = 6.01

Значение внутренней точки d[8] = 6.11

Значение функции F(x) в точке с[8] = -35.999

Значение функции F(x) в точке d[8] = -35.986

Номер итерации 10

Границы текущего отрезка:

а[9] = 5.85

b[9] = 6.11

Значение внутренней точки с[9] = 5.95

Значение внутренней точки d[9] = 6.01

Значение функции F(x) в точке с[9] = -35.997

Значение функции F(x) в точке d[9] = -35.999

Номер итерации 11

Границы текущего отрезка:

а[10] = 5.95

b[10] = 6.11

Значение внутренней точки с[10] = 6.01

Значение внутренней точки d[10] = 6.05

Значение функции F(x) в точке с[10] = -35.999

Значение функции F(x) в точке d[10] = -35.997

Номер итерации 12

Границы текущего отрезка:

а[11] = 5.95

b[11] = 6.05

Значение внутренней точки с[11] = 5.99

Значение внутренней точки d[11] = 6.01

Значение функции F(x) в точке с[11] = -35.999

Значение функции F(x) в точке d[11] = -35.999

Номер итерации 13

Границы текущего отрезка:

а[12] = 5.95

b[12] = 6.01

Точка минимума x = 5.981

Значение функции F(x) в точке минимума = -35.999999


f(x) = x2-12x
отрезки Точка минимума Значение функции Число итераций
0.1 [2;8] 6.003 -35.999999 10

[-9;11] 5.981 -35.999999 13

[4;11] 5.996 -35.999999 10

[-7;13] 6.018 -35.999966 13

[2;16] 6.006 -35.999957 12

[0;30] 6.002 -35.999997 13

[2;8] 6.003 -35.999999 10

[0;20] 6.005 -35.999965 13
f(x) = 2x2+(16/x)
отрезки Точка минимума Значение функции Число итераций
0.01 [0.6;2.6] 1.5875 15.119055 13

[-0.4;3.6] 1.5820 15.119055 15

[1;3] 1.5861 15.119055 14

[0;2] 1.5874 15.119052 13

[-0.9;2.1] 1.5880 15.119050 13

[-1.9;4.1] 1.5864 15.119057 15

[-5;9] 1.5862 15.119061 17

[-4;8] 1.5866 15.119055 16

f(x) = (127/4)x2 - (61/4)x+2
Отрезки Точка минимума Значение функции Число итераций
0.001 [-0.5;0.5] 0.2418 0.18548 16

[-1;1] 0.2418 0.18548 17

[-1;0.5] 0.2420 0.18548 17

[-1;1] 0.2418 0.18548 17

[-2;1] 0.2420 0.18548 18

[-2;1] 0.2420 0.18548 18

[-6;6] 0.2418 0.18548 21

[-6;6] 0.2418 0.18548 21

[-6;6] 0.2418 0.18548 21

[-6;6] 0.2418 0.18548 21
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: