Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.


ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.


Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу (программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью Итерационные методы решения нелинейных уравнений и Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Сделать вывод о скорости сходимости всех трех методов.

4. Изменить Итерационные методы решения нелинейных уравнений и снова решить задачу. Сделать вывод о точности полученных результатов.

5. Составить отчет о проделанной работе.


ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ


Задание.

1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения


Итерационные методы решения нелинейных уравнений (1)


на отрезке Итерационные методы решения нелинейных уравнений.

2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке.

3. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы.

Решение.

1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции Итерационные методы решения нелинейных уравнений на Рис.1 видно, что функция Итерационные методы решения нелинейных уравнений пересекает ось Итерационные методы решения нелинейных уравнений в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения (1). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение (1) к виду Итерационные методы решения нелинейных уравнений и построим два графика Итерационные методы решения нелинейных уравнений и Итерационные методы решения нелинейных уравнений, имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим, что графический метод показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.


Итерационные методы решения нелинейных уравненийРис.1


Аналитический метод. Функция Итерационные методы решения нелинейных уравнений непрерывна на отрезке Итерационные методы решения нелинейных уравнений, имеет на концах отрезка разные знаки (Итерационные методы решения нелинейных уравнений), а производная функции Итерационные методы решения нелинейных уравнений не меняет знак на отрезке (Итерационные методы решения нелинейных уравнений). Следовательно, нелинейное уравнение (1) имеет на указанном отрезке единственный корень.

2. Метод простых итераций. Для построения рабочей формулы перепишем уравнение (1) в виде: Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Проверим, выполняется ли достаточное условие сходимости на отрезке:


Итерационные методы решения нелинейных уравнений (2)


Если условие выполняется, то итерационный процесс строится по формуле

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Заметим, что в точке Итерационные методы решения нелинейных уравнений из отрезка Итерационные методы решения нелинейных уравнений, значение Итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Построим функцию Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Константа Итерационные методы решения нелинейных уравнений выбирается из условия (2). Если производная Итерационные методы решения нелинейных уравнений, то значение Итерационные методы решения нелинейных уравнений выбирается из интервала Итерационные методы решения нелинейных уравнений, если производная Итерационные методы решения нелинейных уравнений, то – из интервала Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Так как Итерационные методы решения нелинейных уравнений всюду положительна на отрезке, то, конкретизируя значение производной в любой точке отрезка (например Итерационные методы решения нелинейных уравнений), значение Итерационные методы решения нелинейных уравнений определяется из интервала Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Выбрав значение Итерационные методы решения нелинейных уравнений, запишем рабочую формулу метода простых итераций:


Итерационные методы решения нелинейных уравнений (3)


Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное начальное приближение Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Процесс (3) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: Итерационные методы решения нелинейных уравнений и Итерационные методы решения нелинейных уравнений. В этом случае значение Итерационные методы решения нелинейных уравнений является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке Итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Метод Ньютона. В качестве начального приближения Итерационные методы решения нелинейных уравнений здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:


Итерационные методы решения нелинейных уравнений (4)


Заметим, что в точке Итерационные методы решения нелинейных уравнений условие (4) не выполняется, а в точке Итерационные методы решения нелинейных уравнений - выполняется. Следовательно в качестве начального приближения выбирается точка Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Рабочая формула метода Ньютона Итерационные методы решения нелинейных уравнений для данной задачи запишется так:


Итерационные методы решения нелинейных уравнений (5)


Условия выхода итерационного процесса (5) аналогичны условиям метода простых итераций.

Модифицированный метод Ньютона. Начальное приближение Итерационные методы решения нелинейных уравнений выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона Итерационные методы решения нелинейных уравнений для данной задачи запишется так:


Итерационные методы решения нелинейных уравнений (6)

Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям метода простых итераций.

Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости методов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное приближение.

3. Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.

Итерационные методы решения нелинейных уравненийНиже в качестве примера приведены программы на языках программирования Паскаль и С, реализующие итерационный процесс метода простых итераций.


ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ


Program Pr_iter;

Uses Crt;

var n:integer;

x0,x,eps,d,y,z,c:real;


begin

clrscr;

n:=0;x0:=-1;c:=-0.1;x:=x0;eps:=0.001;d:=0.01;

repeat

y:=x+c*(exp(x)+x);z:=x;

n:=n+1;

writeln(n:3,x:9:5,y:9:5,abs(y-x):9:5,abs(exp(y)+y):9:5);

x:=y;

until (abs(z-x)<=eps) and (abs(exp(x)+x)<=d);

end.


ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ С


#include <stdio.h>

#include <math.h>

main()

{

int n=0;

float x,y,z,x0=-1,c=-0.1,eps=0.001;d=0.01;

x=x0;

clrscr();

do

{

y=x+c*(exp(x)+x);z=x;

printf(“%d %.4f %.4f %.4f %.4fn”,n++,x,y,fabs(y-x),

fabs(exp(y)+y));

x=y;

}

while(fabs(z-x)>e || fabs(exp(x)+x)>d;

getch();

}


Решение: в результате решения нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке тремя методами при начальном приближении Итерационные методы решения нелинейных уравнений с точностью Итерационные методы решения нелинейных уравнений и Итерационные методы решения нелинейных уравнений получены следующие результаты: методом простых итераций Итерационные методы решения нелинейных уравнений; методом Ньютона Итерационные методы решения нелинейных уравнений; модифицированным методом Ньютона Итерационные методы решения нелинейных уравнений.

4. Содержание отчета.

Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе.


ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ


1. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом и построить график (пример приведен на рисунке 2).

2. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке.

3. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона.

4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке. Печать результатов должен осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


5. Провести вычислительные эксперименты.

6. Составить отчет о проделанной работе.


ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ


№ варианта Нелинейное уравнение Отрезок

Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений


Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: