Числові методи
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМ. Ю. ФЕДЬКОВИЧА
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни " Числові методи "
Варіант 16.
Виконав
студент 2-го курсу
кафедри ЕОМ
Перевірив
м. Чернівці
Завдання 1
Задана СЛАР
а) розв’язати цю систему методом Гауса за схемою з частковим вибором головного елементу;
б)розв’язати цю систему за формулою
.
–
вектор невідомих,
–
вектор вільних
членів,
–
обернена матриця
до матриці
з коєфіцієнтів
при невідомих.
Обернену матрицю знай ти методом Гауса - Жордана за схемою з частковим вибором головного елемента.
Рішення.
а) Прямий хід методу Гауса.
(
)
Запишемо
матрицю
.
1-й крок.
Серед елементів першого стовпчика шукаємо максимальний:
Перше і друге рівняння міняємо місцями.
Розділимо рівняння (1) на 2.5
(1)
Від рівняння (2) віднімемо 1.7Р1 .
(2)
(3)
Таким чином в кінці першого кроку отримуємо систему
2-й крок.
Порядок рівнянь зберігається.
(2)
(3)
Після другого кроку система рівнянь стала такою:
Зворотній хід.
З рівняння
(3)
;
з рівняння
(2)
;
з рівняння
(1)
;
Для рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса призначена програма Work1_1.
//------------------------------------------------------------
// Work1_1.cpp
//------------------------------------------------------------
// "Числові методи"
// Завдання 1
// Рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса
#include <stdio.h>
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
const int nMax=5; // максимальна кількість рівнянь
const float ZERO=.0000001;
int fGaus(float A[nMax][nMax],float B[nMax],int n,float X[nMax])
/* Функція розв'язує систему лінійних рівнянь методом Гауса за схемою з
частковим вибором головного елементу.
Вхідні дані:
A- масив з коефіцієнтами при невідомих;
В- масив з вільними членами СЛАР;
n- порядок матриці А(кількість рівнянь системи);
Вихідні дані:
Х- масив з коренями системи;
функція повертає код помилки:
0- сисетма успішно розв’язана;
1- матриця А вироджена. */
{float aMax,t; // максимальний елемент , тимчасова змінна
int i,j,k,l;
for(k=0; k<n; k++) // шукаємо головний елемент, мах за модулем
{aMax=A[k][k]; l=k;
for (i=k+1; i<n; i++)
if (fabs(A[i][k])>fabs(aMax))
{aMax=A[i][k];
l=i;}
// якщо модуль головного елементу aMax менший за програмний 0 (ZERO)
if ( fabs(aMax)<ZERO ) return 1;
// якщо потрібно, міняємо місцями рівняння Pk i Pl
if ( l!=k)
{for( j=0; j<n; j++)
{ t=A[l][j]; A[l][j]=A[k][j]; A[k][j]=t; }
t=B[l]; B[l]=B[k]; B[k]=t;}
// ділимо k-те рівняння на головний елемент
for (j=0; j<n; j++) A[k][j]/=aMax;
B[k]/=aMax;
// обчислюємо коефіцієнти A[i][j] та вільні члени решти рівнянь
for (i=k+1; i<n; i++)
{t=A[i][k]; B[i]-=t*B[k];
for (j=0; j<n; j++) A[i][j]-=t*A[k][j];}
} // for (k)
// Зворотній хід
for ( k=n-1; k>=0; k--)
{X[k]=0;
for (l=k+1; l<n; l++) X[k]+=A[k][l]*X[l];
X[k]=B[k]-X[k];}
return 0;
} // fGaus()
void main()
{float A[nMax][nMax];
float B[nMax];
float X[nMax];
int n,i,j;
char *strError="n Error of file !";
FILE *FileIn,*FileOut;
FileIn=fopen("data_in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання
if (FileIn==NULL)
{cout << " "Data_in.txt": Error open file or file not found !!!n";
goto exit;}
FileOut=fopen("data_out.txt","w"); // відкриваємо файл для запису
if (FileOut==NULL)
{cout << " "Data_out.txt": Error open file !!!n";
goto exit;}
if(fscanf(FileIn,"%d",&n)==NULL)
{ cout << strError; goto exit;};
for (i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<n; j++)
fscanf(FileIn,"%f",&(A[i][j]));
for (i=0; i<n;i++)
if(fscanf(FileIn,"%f",&(B[i]))==NULL)
{ cout << strError; goto exit;}
if(fGaus(A,B,n,X)!=0)
{ cout << "n det|A|=0 !"; goto exit;}
// Вивід результатів
for (i=0; i<n; i++)
{printf(" x[%d]= %f ",i+1,X[i]);
fprintf(FileOut," x[%d]= %f ",i+1,X[i]);}
fclose(FileIn);
fclose(FileOut);
exit: cout << "n Press any key ...";
getch();}
Результат роботи програми:
x[1]= 3.017808 x[2]= 0.356946 x[3]= -0.302131
б) Знайдемо
обернену матрицю
.
0-й крок.
А
Е
1-й крок.
;
2-й крок.
;
3-й крок.
;
;
.
Даний алгоритм рішення системи лінійних рівнянь реалізований в програмі Work1_2.
//------------------------------------------------------------
// Work1_2.cpp
//------------------------------------------------------------
// "Числові методи"
// Завдання 1
// Рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса-Жордана
#include <stdio.h>
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
const int nMax=5; // максимальна кількість рівнянь
const float ZERO=.0000001;
int fGausJordan(int n,float A[nMax][nMax],float Ainv[nMax][nMax])
/* Функція знаходить обернену матрицю
Вхідні дані:
A- масив з коефіцієнтами при невідомих;
n- порядок матриці А(кількість рівнянь системи);
Вихідні дані:
Ainv- матриця обернена до матриці А;
функція повертає код помилки:
0- помилки немає;
1- матриця А вироджена. */
{float aMax,t; // максимальний елемент , тимчасова змінна
int i,j,k,l;
// формуємо одиничну матрицю
for(i=0; i<n; i++)
for (j=0; j<n; j++)
Ainv[i][j] = (i==j)? 1. : 0.;
for (k=0; k<n; k++)
{// знаходимо мах по модулю елемент
aMax=A[k][k]; l=k;
for (i=k+1; i<n; i++)
if (fabs(A[i][k])>fabs(aMax))
{ aMax=A[i][k]; l=i; }
// якщо модуль головного елементу aMax менший за програмний 0 (ZERO)
if ( fabs(aMax)<ZERO ) return 1;
// якщо потрібно, міняємо місцями рівняння Pk i Pl
if ( l!=k)
for( j=0; j<n; j++)
{t=A[l][j]; A[l][j]=A[k][j]; A[k][j]=t;
t=Ainv[l][j]; Ainv[l][j]=Ainv[k][j]; Ainv[k][j]=t;}
// ділимо k-й рядок на головний елемент
for (j=0; j<n; j++) { A[k][j]/=aMax; Ainv[k][j]/=aMax; }
// обчислюємо елементи решти рядків
for (i=0; i<n; i++)
if( i!=k )
{t=A[i][k];
for (j=0; j<n; j++)
{A[i][j]-=t*A[k][j];
Ainv[i][j]-=t*Ainv[k][j];}}}
return 0;
} // fGausJordana()
void fDobMatr(int n, float A[nMax][nMax], float B[nMax],float X[nMax])
// функція знаходить добуток матриці А на вектор В і результат повертає в
// векторі Х
{int i,j;
float summa;
for (i=0; i<n; i++)
{summa=0;
for (j=0; j<n; j++)
{summa+=A[i][j]*B[j];
X[i]=summa;}}
} // fDobMatr
void main()
{float A[nMax][nMax],Ainv[nMax][nMax];
float B[nMax];
float X[nMax];
int n,i,j;
char *strError="n Error of file !";
FILE *FileIn,*FileOut;
FileIn=fopen("data_in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання
if (FileIn==NULL)
{cout << " "Data_in.txt": Error open file or file not found !!!n";
goto exit;}
FileOut=fopen("data_out.txt","w"); // відкриваємо файл для запису
if (FileOut==NULL)
{cout << " "Data_out.txt": Error open file !!!n";
goto exit;}
if(fscanf(FileIn,"%d",&n)==NULL)
{ cout << strError; goto exit;};
for (i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<n; j++)
fscanf(FileIn,"%f",&(A[i][j]));
for (i=0; i<n;i++)
if(fscanf(FileIn,"%f",&(B[i]))==NULL)
{ cout << strError; goto exit;}
if(fGausJordan(n,A,Ainv)!=0)
{ cout << "n det|A|=0 !"; goto exit;}
fDobMatr(n,Ainv,B,X);
// Вивід результатів
for (i=0; i<n; i++)
{printf(" x[%d]= %f ",i+1,X[i]);
fprintf(FileOut," x[%d]= %f ",i+1,X[i]);}
fclose(FileIn);
fclose(FileOut);
exit: cout << "n Press any key ...";
getch();}
Результат роботи програми:
x[1]= 3.017808 x[2]= 0.356946 x[3]= -0.302131
Завдання 2
Задана задача Коші
,
а) Знайти
розв’язок
в табличній
формі методом
Рунге-Кутта:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
.
б) Інтерполювати цю функцію кубічним сплайном. Систему рівнянь для моментів кубічного сплайну розв’язати методом прогонки. Вибрати крайові умови для кубічного сплайну у вигляді
.
в) Використовуючи
кубічний сплайн
з пункту б) обчислити
методом Сімпсона
.
Взяти
(
–
кількість
відрізків
розбиття).
Рішення.
а) Метод Рунге-Кутта
Розрахунок будемо проводити за наступними формулами :
;
;
;
;
;
.
Цей алгоритм реалізовується в програмі Work2_1.
//------------------------------------------------------------
// Work2_1.cpp
//------------------------------------------------------------
// "Числові методи"
// Завдання 2
// Рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта
#include <stdio.h>
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
typedef float (*pfunc)(float,float); // pfunc - вказівник на функцію
const int nMax=5; // максимальна кількість відрізків розбиття
void fRunge_Kutta(pfunc f, float x0, float y0,float h, int n, float Y[nMax])
/* Функція знаходить табличне значення функції методом Рунге-Кутта
Вхідні дані:
f - функція f(x,y)
x0,y0 - початкова точка;
h - крок;
n- кількість точок розбиття;
Вихідні дані:
Y- вектор значень функції*/
{float k1,k2,k3,k4,x; // максимальний елемент , тимчасова змінна
int i;
x=x0; Y[0]=y0;
for (i=0; i<n-1; i++)
{k1=f(x,Y[i]);
k2=f(x+h/2, Y[i]+k1*h/2);
k3=f(x+h/2, Y[i]+k2*h/2);
k4=f(x+h, Y[i]+h*k3);
Y[i+1]=Y[i]+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
x+=h;}}
float Myfunc(float x,float y)
{return log10(cos(x+y)*cos(x+y)+2)/log10(5);}
void main()
{float Y[nMax],h,x0,y0;
int n,i;
char *strError="n Error of file !";
FILE *FileIn,*FileOut, *FileOut2;
FileIn=fopen("data2_in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання
if (FileIn==NULL)
{cout << " "Data2_in.txt": Error open file or file not found !!!n";
goto exit;}
FileOut=fopen("data2_out.txt","w"); // відкриваємо файл для запису
if (FileOut==NULL)
{cout << " "Data2_out.txt": Error open file !!!n";
goto exit;}
FileOut2=fopen("data2_2in.txt","w"); // відкриваємо файл для запису
if (FileOut==NULL)
{cout << " "Data2_2in.txt": Error open file !!!n";
goto exit;}
if(fscanf(FileIn,"%d%f%f%f,",&n,&h,&x0,&y0)==NULL)
{ cout << strError; goto exit;};
fRunge_Kutta(Myfunc,x0,y0,h,n,Y);
// Вивід результатів
for (i=0; i<n; i++)
{printf(" x[%d]= %4.2f ",i,Y[i]);
fprintf(FileOut," x[%d]= %4.2f ",i,Y[i]);
fprintf(FileOut2,"%4.2f ",Y[i]);}
fclose(FileIn);
fclose(FileOut);
exit: cout << "n Press any key ...";
getch();}
Результат роботи програми (файл "data2_out.txt"):
x[0]= 1.00 x[1]= 1.05 x[2]= 1.10 x[3]= 1.14 x[4]= 1.18
б) В загальному вигляді кубічний сплайн виглядає наступним чином:
,
Параметри кубічного сплайну будемо обчислювати , використовуючи формули:
;
;
;
,
де
–
моменти
кубічного
сплайну.
Моменти мають задовольняти такій системі рівнянь:
.
Для
;
;
.
Якщо прийняти
до уваги граничні
умови
,
то систему
можна записати
так
.
В даному випадку матриця з коефіцієнтів при невідомих є тридіагональною
,
тому для знаходження моментів кубічних сплайнів застосуємо метод прогонки.
На прямому ході обчислюємо такі коефіцієнти.
;
;
На зворотньому ході обчислюємо значення моментів кубічного сплайну.
;
.
Для знаходження коефіцієнті вкубічного сплайну призначена програма Work2_2.
//------------------------------------------------------------
// Work2_2.cpp
//------------------------------------------------------------
// "Числові методи"
// Завдання 2
// Інтерполювання функції кубічним сплайном
#include <stdio.h>
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
const int nMax=4; // максимальна кількість відрізків розбиття
const float x0=0.;// початкова точка сітки
const float h=0.1;// крок розбиття
// вектори матриці А
float a[]={0., 0.5, 0.5};
float b[]={2., 2., 2.};
float c[]={0.5, 0.5, 0.};
//void fMetodProgonku( int n,float a[nMax],float b[nMax],float c[nMax],float d[nMax], float M[nMax+1])
/* Функція знаходить моменти кубічного сплайну методом прогонки
Вхідні дані:
a,b,c -вектори матриці А ;
d - вектор вільних членів;
n- степінь матриці А;
Вихідні дані:
М- вектор моментів кубічного сплайну.*/
{float k[nMax],fi[nMax];
int i;
// прямий хід
for (i=0; i<n; i++)
{k[i] = (i==0)? -c[i]/b[i] : -c[i]/(b[i]+a[i]*k[i-1]);
fi[i] = (i==0)? d[i]/b[i] : (-a[i]*fi[i-1]+d[i])/(b[i]+a[i]*k[i-1]);}
//зворотній хід
for (i=n; i>0; i--)
M[i] = (i==n)? fi[i-1] : k[i-1]*M[i+1]+fi[i-1];}
void fSplain( int n,float h,float Y[nMax+1],float M[nMax+1],float Ak[nMax][4])
/* Функція обчислює коефіцієнти кубічного сплайну
Вхідні дані:
n- кількість відрізків розбиття;
H - крок розбиття відрізку [X0; Xn]]
М- вектор моментів кубічного сплайну.
Y- вектор значень функції f(x,y) в точках x[0],x[1],...x[n].
Вихідні дані:
Ak- матриця коефіцієнтів кубічного сплайну.*/
{int i;
for (i=0; i<n; i++)
{Ak[i][0] = Y[i];
Ak[i][1] = (Y[i+1]-Y[i])/h-h/6*(2.*M[i]+M[i+1]);
Ak[i][2] = M[i]/2;
Ak[i][3] = (M[i+1]-M[i])/6*h;}}
void main()
{float Y[nMax+1],d[nMax],M[nMax+1],Ak[nMax][4];
int n,i,j;
n=nMax;
M[0]=0; M[n]=0; //крайові умови
char *strError="n Error of file !";
FILE *FileIn,*FileOut,*FileOut2;
FileIn=fopen("data2_2in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання
if (FileIn==NULL)
{ cout << " "Data2_2in.txt": Error open file or file not found !!!n";
goto exit; }
FileOut=fopen("data2_2ou.txt","w"); // відкриваємо файл для запису
if (FileOut==NULL)
{ cout << " "Data2_2ou.txt": Error open file !!!n";
goto exit; }
FileOut2=fopen("data2_3in.txt","w"); // відкриваємо файл для запису
if (FileOut2==NULL)
{ cout << " "Data2_3in.txt": Error open file !!!n";
goto exit; }
// читаємо вектор Y
for (i=0; i<=n; i++)
if(fscanf(FileIn,"%f,",&(Y[i]))==NULL)
{ cout << strError; goto exit;};
// обчислюємо вектор d
for (i=1; i<n; i++) d[i-1]=3/(h*h)*(Y[i+1]-2*Y[i]+Y[i-1]);
//fMetodProgonku(n-1,a,b,c,d,M);
fSplain( n,h,Y,M,Ak);
// Вивід результатів в тому числі і для наступного завдання
fprintf(FileOut2,"%dn",n); // n - кількість відрізків
// координати точок сітки по Х
for(float xi=x0,i=0; i<n; i++) fprintf(FileOut2,"%2.2f ",xi+h*i);
fprintf(FileOut2,"n");
for (i=0; i<n; i++)
{for (j=0; j<4; j++)
{printf("a[%d,%d]= %4.4f ",i,j,Ak[i][j]);
fprintf(FileOut,"a[%d,%d]= %4.4f ",i,j,Ak[i][j]);
fprintf(FileOut2,"%4.4f ",Ak[i][j]);}
cout << endl;
fprintf(FileOut,"n");
fprintf(FileOut2,"n");}
fclose(FileIn);
fclose(FileOut);
exit: cout << "n Press any key ...";
getch();}
Результат роботи програми (" data2_2uo.txt"):
a[0,0]= 1.0000 a[0,1]= 0.5104 a[0,2]= 0.0000 a[0,3]= -0.0104
a[1,0]= 1.0500 a[1,1]= 0.4793 a[1,2]= -0.3107 a[1,3]= 0.0118
a[2,0]= 1.0960 a[2,1]= 0.4525 a[2,2]= 0.0429 a[2,3]= -0.0068
a[3,0]= 1.1410 a[3,1]= 0.4407 a[3,2]= -0.1607 a[3,3]= 0.0054
в) Розіб’ємо
відрізок
на
