Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Введение


В современном мире постоянно происходило совершенствование системы образования. Происходит модернизация старых, поиск новых способов обучения, способных улучшить сделать образовательный процесс более эффективным.

В настоящее время активно идут процессы внедрения в образовательный процесс компьютерных технологий. Компьютеры, разработанные первоначально для автоматизации вычислительных операций, с развитием средств мультимедиа превратились в мощнейший инструмент обработки информации различного рода. Свое применение они нашли и в сфере образования, предоставив свои возможности при работе с объемом человеческих знаний, накопленных за всю историю человечества.

Использование информационных технологий позволяет заменить часть ручного труда преподавателя трудом машинным, который, как и в других сферах, обходится дешевле, и, следовательно, более эффективен. Машины не устают, готовы к работе в любое время, не совершают арифметических ошибок и способны обладать огромными объемами памяти. Поэтому они внедряются в учебный процесс там, где это возможно.

Большое развитие компьютерные технологии получили в сфере дистанционного обучения. С появлением компьютерных сетей дистанционное обучение, подразумевающее работу обучающего с обучаемым на расстоянии, получило возможность мгновенной передачи информации между ними. Это позволило оперативно предоставлять учебные материалы и проводить контроль полученных знаний при снижении расходов на транспорт и связь.

Когда мы говорим о сетевых технологиях, то прежде всего имеем ввиду сеть интернет. Эта сеть, связывающая компьютеры по всему миру, позволяет организовать дистанционный учебный процесс практически в любой точке планеты в кратчайшие сроки.

Использование интернет-технологий также помогает в расширении виртуального образовательного пространства, ввиду того, что знания и учебные материалы из разных источников можно моментально получить в одном месте, стоит лишь правильно сформировать поисковый запрос. Данное обстоятельство несомненно способствует творческому процессу обучения и самостоятельной работе обучаемых в виртуальном образовательном пространстве.

Системы компьютерного дистанционного обучения в результате развития приняли различные формы, предназначенные для выполнения соответствующих задач, это и компьютерные учебники, содержащие учебные материалы в оптимизированной для наилучшего восприятия мультимедийной форме, и системы тестирования, обеспечивающие контроль знаний обучаемых путем анализа ответа на серии тематических вопросов, и лабораторные практикумы, обеспечивающие получение практических навыков использования полученных знаний.

В сфере информационных технологий зачастую при разработке нового продукта можно использовать готовые решения, которые поставляются в виде некоторой оболочки и наполняются содержимым по заданной тематике. Если использование готовых решений представляется затруднительным в связи с особенностями предметной области, приходится создавать новые программные продукты, позволяющие учесть эти особенности.

В направлении информатизации сферы образования работают сейчас практически все гуманитарные и технические учебные заведения разных стран. Разработки в этом направлении ведутся и в Московском авиационном институте. Кафедра «Математическая кибернетика» факультета «Прикладная математика и физика» института в течении многих лет разрабатывает учебные материалы с использованием компьютерных технологий. За это время создан комплекс компьютерных пособий и учебников, охватывающих предметы, читаемые преподавателями кафедры. Комплекс, включающий в себя более 70 компьютерных учебников, поддерживает 8 разделов курса "Теория управления", 7 разделов курса "Системный анализ", 3 раздела курса "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", а также курсы "Теория графов", "Теория функций комплексного переменного", "Линейное программирование", "Линейные дифференциальные уравнения" и другие. Также функционирует кафедральных сайт в интернете, позволяющий студентам и преподавателям института обмениваться информацией дистанционно. В настоящее время на кафедре ведется работа по созданию других средств обучения с применением информационных технологий.

Кафедра «Математическая кибернетика» факультета «Прикладная математика и физика» института читает студентам курс «Методы оптимизации», изучающий методы оптимизации математических функций. На кафедре был создан практикум по этому курсу в среде Microsoft DOS, позволяющий студентам изучать методы на примерах, работая за компьютером в терминальном классе. В рамках дипломного проекта поставлена задача создания аналогичного практикума, работающего в сетевом режиме с целью упростить проведение работ. Также требуется расширить функционал имеющегося практикума для достижения большей наглядности примеров.

В рамках дипломного проекта требуется:

Изучить описываемые методы оптимизации и составить документацию по ним в мультимедийной форме.

Разработать архитектуру практикума

Разработать пользовательский интерфейс

Выбрать программные средства для разработки и составить алгоритмы

Раздел 1 содержит теоретические сведения о математических методах поиска безусловного экстремума функций многих переменных. Приводятся алгоритмы, графические иллюстрации и условия окончания методов.

Раздел 2 содержит описание практической части разработанного практикума. Проводится анализ современных программных архитектур, обоснование выбора клиент-серверной модели, анализ и выбор программных сред. Также приводится описание пользовательского интерфейса, форм отчетности и справочной системы практикума.

Раздел 3 содержит расчет экономических показателей, связанных с выполнением дипломного проекта.

В разделе 4 описаны вредные воздействия, возникающие при использовании информационных технологий в обучении и способы их сокращения.


1. Теоретическая часть


Решение задачи о поиске безусловного экстремума функции многих переменных Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"с помощью необходимых и достаточных условий приводит к необходимости решать систему Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" нелинейных уравнений с Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" неизвестными с последующей проверкой знакоопределенности матрицы Гессе Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы". Как правило, для достаточно сложных функций такая процедура решения задачи достаточно трудоемка и подразумевает численное решение нескольких задач. Поэтому возникает необходимость использовать так называемые прямые или численные методы безусловной оптимизации, которые позволяют найти стационарные точки функции, не используя аппарат необходимых и достаточных условий экстремума.

Компьютерный лабораторный практикум предназначен для студентов технических специальностей вузов и позволяет в наглядной и доступной форме представить численные алгоритмы отыскания экстремумов. Особенностью практикума является интерактивная форма реализации алгоритмов, при которой студент на каждой итерации принимает решение о выборе параметров методов, основываясь на числовой и графической информации о ходе процесса оптимизации.

Целью лабораторного практикума является изучение студентами прямых методов поиска безусловного экстремума двух типов функций:

квадратичной функции 2-х переменных:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


овражной функции


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Для достижения цели студент должен, изменяя параметры методов, добиться выполнения критерия окончания счета для каждого метода с одной и той же заданной точностью , из одной и той же начальной точки, за заданное для каждого метода число итераций N.


Методы, реализованные в лабораторном практикуме


Прямые методы, представленные в практикуме имеют один и тот же алгоритм



где

- текущая точка последовательности, причем Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"– задается из физического содержания задачи или произвольно;

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" - последующая точка последовательности;

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- приемлемое направление перехода из точки в точку – направление спуска. Приемлемым при решении задачи поиска минимума функции будет только то направление, для которого , что обеспечивается выполнением условия Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы";

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- шаг (число >0),

и отличаются друг от друга способом задания Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"и выбором Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы".

Алгоритм работы прямых методов схематически изображен на рис. 1.1


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Рисунок 3.1. Алгоритм работы прямых методов


В практикуме реализованы:

методы первого порядка, использующие информацию о 1-х производных функции Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы":

метод градиентного спуска;

метод наискорейшего градиентного спуска;

метод покоординатного спуска;

метод Гаусса-Зейделя;

метод сопряженных градиентов.

методы второго порядка, использующие для своей реализации информацию о 1-х и 2-х производных функции Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы":

метод Ньютона;

метод Ньютона-Рафсона;

метод Марквардта

Методы нулевого порядка, представленные в практикуме, позволяют производить поиск безусловного экстремума функций с помощью заданной последовательности операций. Повторение этих операций производится до тех пор, пока не будет выполнен критерий окончания, определяемый используемым методом.

В практикуме реализованы следующие методы нулевого порядка:

метод случайного поиска

метод деформируемого многогранника

метод конфигураций


Метод градиентного спуска

Алгоритм метода:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы",


здесь:

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- направление антиградиента функции;

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- шаг выбирается из условия убывания функции в точках последовательности

Геометрическая интерпретация метода:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Рисунок 3.1. Геометрическая интерпретация метода

Основной критерий окончания метода:

Построение последовательности заканчивается в точке, для которой


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

где Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- заданное малое положительное число, здесь


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


Начальные параметры метода: Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы".

Изменяемый параметр метода: величина шага Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы".


Особенности реализации алгоритма. Вопрос о величине шага на каждой итерации решается пользователем, причем шаг может быть, как уменьшен, если не выполняется условие , так и увеличен, если скорость сходимости алгоритма невысока (по субъективной оценке пользователя).

Рекомендации по выбору параметров метода. Согласно алгоритму метода, каждая последующая точка Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" в методе градиентного спуска ищется в направлении Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" направлении антиградиента функции, построенном в текущей точке . Поэтому, если направление антиградиента в текущей точке приблизительно совпадает с направлением на минимум (согласно чертежу), шаг следует увеличить, чтобы ускорить процесс сходимости, если же направление антиградиента сильно отличается от направления на минимум, шаг уменьшают, в противном случае функция может уменьшиться несущественно или даже возрасти.


Метод градиентного наискорейшего спуска

Алгоритм метода:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы",


здесь

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" - направление антиградиента функции

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- шаг вычисляется из условия наибольшего убывания функции в точках последовательности:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


Геометрическая интерпретация метода


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Рисунок 3.1. Геометрическая интерпретация метода


В методе наискорейшего градиентного спуска последующая точка Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"минимизирующей последовательности также ищется в направлении Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- направлении антиградиента функции, построенном в текущей точке, но условия вычисления шага позволяют определить наилучшее положение точки Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"на этом направлении. Как видно из чертежа, точка Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" принимает на направлении спуска Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"предельное положение, которое характеризуется тем, что линия уровня, проходящая через точку Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", касается направления спуска, а, следовательно, в точках минимизирующей последовательности, построенной по методу градиентного наискорейшего спуска, выполняется условие:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


Основной критерий окончания метода:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


Начальные параметры метода:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


Изменяемые параметры метода: отрезок для уточнения шага Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы".

Особенности реализации алгоритма. При решении задачи поиска оптимального шага Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", функция Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" становится функцией одой переменной Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", т.к. Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", а и Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" известны. Следовательно, задача о поиске оптимального шага Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" - это задача Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", которая в лабораторной работе решается численно методом дихотомии на отрезке Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" с заданной точностью Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы". Вопрос о границах отрезка Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" на каждой итерации решается пользователем.

Рекомендации по выбору параметров метода. При задании на каждой итерации отрезка Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" для уточнения шага, следует помнить, что искомое решение может лежать как внутри, так и на границе интервала Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы".

Проиллюстрируем ситуацию, при которой шаг Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" вычисляется численно методом дихотомии. Для этого построим график функции Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", которая в случае если Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" является квадратичной функцией, имеет вид:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Рисунок 3.1 Метод дихотомии


Для вычислений по методу дихотомии должен быть задан отрезок для уточнения оптимального значения шага.

Как видно из чертежа, если в качестве отрезка будет выбран Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", оптимальное значение шага, при котором функция Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"принимает минимальное значение, окажется внутри отрезка, и метод с заданной точностью Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"отыщет это значение. Если же отрезок будет Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", в качестве результата счета по методу дихотомии будет получено значение Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- как дающее наименьшее значение функции Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" на отрезке, аналогично при выборе отрезка Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"будет получено значение Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы".

Таким образом, отрезок для уточнения оптимального шага должен быть достаточно большим, чтобы гарантировано включать искомое значение шага. Признаками неверного задания отрезка Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" являются: отсутствие касания траектории спуска из точки и линии уровня функции через точку Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", а также равенство величины оптимального шага величине одной из границ отрезкаРазработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы".


Метод покоординатного спуска

Алгоритм метода:

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


здесь:

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- проекция на ось Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" антиградиента функции

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- шаг выбирается из условия убывания функции в точках последовательности:



Геометрическая интерпретация метода


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Рисунок 3.1. Геометрическая интерпретация метода


Основной критерий окончания метода: Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

Начальные параметры метода: Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


Изменяемые параметры метода: величина шага Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы" и направление проекции антиградиента (здесь абсциссы – ось Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы", ординаты – ось Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы")

Особенности реализации алгоритма.  Вопрос о величине шага на каждой итерации решается пользователем, причем шаг может быть, как уменьшен, если не выполняется условие , так и увеличен, если скорость сходимости алгоритма невысока (по субъективной оценке пользователя). Вопрос о выборе направления оси для проекции антиградиента, также решается пользователем на каждой итерации.


Метод Гаусса-Зейделя (наискорейшего покоординатного спуска)

Алгоритм метода:


Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"


здесь:

Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"- проекция на ось Разработка компьютерного лабораторного
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: