Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента

Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента

3.05 63.96
3.15 44.39
3.25 51.20
3.35 58.44
3.45 50.15
3.55 44.51
3.65 47.25
3.75 35.24
3.85 43.28

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Международная «Лига развития науки и образования» (Россия)

Международная ассоциация развития науки, образования и культуры России (Италия)


Международный «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»


(г. Архангельск)


КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Информатика и программирование»

Тема : «Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента»


Выполнил: студент экономического факультета, группы 12-И Воробьев А.А.

Проверил: Горяшин Ю.В.



Архангельск

2004

Аннотация

Цель курсовой: для функции заданной в таблице построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента. Составить блок схему алгоритма и программу на одном из языков высокого уровня (С++) для вычисления заданного интерполяционного многочлена. В программе предусмотреть возможности ввода любого числа значений функции для чего организовать хранение ее значении при помощи линейного списка.


Содержание

  1. Аннотация

  2. Содержание

  3. Глава №1

  4. Глава №2

  5. Заключение

  6. Список литературы

  7. Приложение

  8. Программа


Введение.

Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к существенному ускорению процессов математизации науки и техники, к постоянному расширению области приложения современных разделов математики. Количественные методы внедряются практически во все сферы человеческой деятельности, что приводит к расширению круга профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой. Однако, развитие науки и техники, современная технология производства ставят перед специалистами задачи, для которых либо не возможно, либо крайне громоздко и сложно получение алгоритма классическими методами математического анализа. Отсюда стремление использовать различные численные методы, разрабатываемые вычислительной математикой и позволяющие получить конечный числовой результат с приемлемой для практических целей точностью.

Численный метод решения задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е. вычислительный алгоритм, языком которого являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на ЭВМ, что делает их мощными и универсальными инструментами исследования. Численные методы используются в тех случаях, когда не удается найти точное решение возникающей математической задачи. Это происходит главным образом, потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах или других известных функциях. Даже для достаточно простых математических моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической форме. В таких случаях основным инструментом решения многих математических задач выступают численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются также в виде числовых значений.

Многие численные методы разработаны давно, однако при ручных вычислениях они могли использоваться лишь для решения узкого круга не слишком сложных задач, и только с появлением высоко производительных ЭВМ начался период бурного развития методов вычислительной математики и их внедрения в практику. Численные методы приобрели важнейшее значение как мощное математическое средство решения практических задач в различных областях науки и техники.

Интерполирование, интерполяция,- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям или других величин, связанных с ней. В первоначальном понимании- восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных отрезках.

Основное применение интерполяции - это вычисление значении табулированной функции для неузловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками». (П.Ф. Фильчаков)


Глава 1

Основные направления исследования: разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения различных задач математики и ее приложений.

Приближенное представление функций. Интерпояционные функции на отрезке по значениям ее в узлах сетка - означает постоение другой функции такой, что В более общей постановке задача интерполирования функции состоит в постоении не только из условий совпадения значений функций и на стеке , но и совпадения в отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других соотношений, связанных и .

Обычно стоится в виде

,

где - некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое интерполирование называется л и н е й н ы м относительно системы , а интерполяционным многочленом по системе .

Выбор системы определяется свойством класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные формулы. Например, для приближения - периодической функции на за естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.

Чаще всего используя а л г е б р а и ч е с к о е интерполирование: . Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:


В задаче приближения функции и на всём отрезке алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный процесс не является сходящимся в классе непрерывных на функций. Обычно ограничиваются линейным интерполированием по узлам и на каждом отрезке или квадратичным по трем узлам ,, на отрезке .

Эффективным аппаратом приближения функции являются интерполяционные сплайны, но их построение в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.

На практике чаще всего используются параболические или кубические полиноминальные сплайны. Интерполяция кубическим сплайном дефекта 1 для функции относительно сетки называет функцию , являющуюся многочленом 3-й степени на каждом из отрезков , принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и удовлетворяющую условиям

.

При таком определении кубического сплайна, он имеет еще свободных параметра, для нахождения которых на сплайн налагаются дополнительные краевые условия. Например или и , или некоторые другие.

Полиномиальный интерполяционный сплайн произвольной степени m дефекта r определяется как функция , удовлетворяющая, кроме условий и , еще дополнительно условиям совпадения в узлах сетки значений функции и интерполированной функции и их производных до некоторого порядка.

Часто при обработке эмпирических данных коэффициенты в определяют исходя из требования минимизации суммы

- заданные числа, .

Такое построение функции называют интерполированием по методу наименьших квадратов.

Интерполирование функций многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей. Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных такой многочлен суммарной степени не выше n может быть построен по узлам лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.

Другой поход к интерполированию функции многих переменных стоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной при фиксированных потом по следующей переменной при фиксированных и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным случаем.

Интерполирование функций и численные методы. Интерполирование функции используется:

  1. для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще

  2. для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам

  3. для получения сглаживающих функций

  4. для приближенного нахождения предельных значений функции

  5. в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других вопросах.


Общие идеи построения интерполяционных методов решения уравнения =0 и систем уравнения , одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов решения уравнения =0 положена замена функции ее интерполяционным многочленом и последующим решением уравнения =0 берутся за приближенные решении уравнения =0 интерполяционный многочлен используется так же при построении итерационных методов решения уравнения =0.

Например взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих

,

где - разделенная разность функций для узлов и .

Другой подход к построению численных методов решения уравнения =0 основан на интерполировании обратной функции . Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа , построенный по узлам Тогда за следующее приближению к корню уравнения =0 берется величина .

Численное интегрирование. Аппарат интерполирования функции лежит в основе построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или на её составных частях интерполяционными многочленами того или иного вида и последующим интегрированием этих многочленов. Например квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, так называемые квадратурные формулы Гаусса:

где - знакопостоянная весовая функция, получаемая в результате замены функции интерполяционным алгебраическим многочленом, построенным по корням ортогонального относительно веса многочлена степени n.

Изложенная выше схема построения формул для приближенного вычисления интегралов применима и в многомерном случае

Формулы численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполирование, получаются в результате дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования значений функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью значений функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой сетке.

При численном решении интегральных уравнений, известная функция заменяется в интегральном уравнении каким-либо интерполяционным приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования , а приближенные значения для находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования . В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения находятся соответственно из нелинейной системы.

Интерполяционная формула- для приближенного вычисления значений функции , основанного вычисления на замене приближаемой функции более простой в каком- то смысле функцией

наперед заданного класса, причем параметры выбираются так чтобы значения совпадали с известными заранее значениями для данного множества попаро различных значений аргумента:

такой способ приближенного представления функций называется интерполированием, а точки , для которых должны выполняться условия , - узлами интерполяции.

В ряде случаев (например, при интерполировании алгебраическими многочленами) параметры могут быть явно выражены из системы , и тогда непосредственно используется для приближенного вычисления значений функции .

Интерполяционный процесс- процесс получения последовательности интерполирующих функций при неограниченном возрастании числа n узлов интерполирования. Если интерполирующие функции представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда называется интерполяционным рядом. Целью построения интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по средствам интерполирующих функций , о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для непосредственного использования.


Интерполяционная формула Эверетта:

Интерполяционные формулы Грегори- Ньютона построенные по нисходящим или восходящим разностям, наиболее целесообразно применять в начале или конце таблицы. При этом для достижения высокой степени точности иногда приходится рассматривать разности, отстоящие достаточно далеко от интересующих нас значений функции или . Поэтому на средних участках таблицы лучше результаты дают интерполяционные формулы, построенные на базе центральных разностей, то есть разностей, которые ближе всего расположены к центральной сотке, содержащей .

К интерполяционным формулам с центральными разностями относятся формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта и многие другие; формула Эверетта получила наибольшее распространение, она была получена 1900 г.:

где ; ; .

Формуле Эверетта так же можно придать форму, наиболее удобную для вычисления:

если для ее коэффициентов ввести обозначения

Коэффициенты удобнее всего вычислять по следующей рекуррентной формуле, которая непосредственно вытекает из :

; ;

Таблица разностей:

x y

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2

Похожие рефераты:

  • Численное интегрирование методом Гаусса

    Выбор математической модели задачи. Применение численного интегрирования и его методы: прямоугольников, парабол, увеличения точности, Гаусса и Гаусса-Кронрода. Суть математического метода аппроксимации. Интерполяционные методы нахождения значений функции.

  • Итерационные методы решения нелинейных уравнений

    Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и аналитическим, простым и модифицированным методом Ньютона. Программы на языке программирования Паскаль и С для вычислений по вариантам в порядке указанных методов. Изменение параметров задачи.

  • Отыскание корня уравнения методом половинного деления

    Тестирование модуля отыскания корня уравнения методом половинного деления. Схема алгоритма тестирующей программы. Численное интегрирование по методу Симпсона с оценкой погрешности по правилу Рунге. Проверка условий сходимости методов с помощью MathCAD.

  • Решение дифференциальных уравнений. Обзор

    Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.

  • Решение нелинейных уравнений

    Сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений. Метод половинного деления. Геометрический смысл метода Ньютона. Метод простой итерации.

  • Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

    Решение нелинейного уравнения. Отделение корней - исследование количества, характера и расположения корней, нахождение их приближенных значений. Уточнение корня до заданной степени точности. Численное интегрирование и квадратурные формулы прямоугольников.

  • Построение графиков функций. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

    Методика и основные этапы построения ранжированных переменных, сферы и особенности их практического применения. Порядок построения графиков в декартовой системе. Приведение примеров решение нелинейных уравнений и их систем при помощи решающего блока.

  • Программирование в MATLAB

    Возможности и синтаксис команд MATLAB, листинг программы и описание цикла. Порядок составления программы вычисления коэффициентов алгебраического интерполяционного многочлена и построения сплайн-функции, "склеенной" из кусков многочленов 3-го порядка.

  • Вычислительная техника и программирование

    Построение интерполяционного полинома Ньютона по значениям функции в узлах согласно методу Лагранжа. Составление алгоритмов решения задачи, их реализация на программном уровне на языке Turbo Pascal. Представление результатов работы программы Polinom.

  • Численное интегрирование функции методом Гаусса

    Применения численного интегрирования. Интерполяционные методы нахождения значений функции. Методы прямоугольников, трапеций и парабол. Увеличение точности, методы Гаусса и Гаусса-Кронрода. Функциональные модели и программная реализация решения задачи.

  • Вычисление определённых интегралов

    Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.

  • Приближенное вычисление значений определенного интеграла

    Сущность и особенности применения метода средних треугольников. Порядок расчета по методу трапеций и Ньютона-Котеса. Формула Чебышева и значения узлов ее квадратуры. Составление блок-схемы программы и ее основных процедур различными численными методами.

  • Программа вычисления минимума заданной функции

    Постановка задачи и ее формализация. Поиск значений интерполяционного многочлена в точках x1 и x2. Поиск минимума функции F(x) на отрезке [a;b. Проверка условий сходимости методов. Тестирование программных модулей. Детализированная схема алгоритма.

  • Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

    Модифицированный метод Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Вычисления корня уравнения при помощи программы. Построения графика зависимости приближений двух координат, при котором задаются промежутки и константы.

  • Информатика

    Численный метод решения задачи –это определённая последовательность операций над числами, язык которого - числа и арифметические действия.

  • Решение нелинейных уравнений

    ЧИСЛЕННОЕ . 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом

  • Сравнительный анализ численных методов

    Численные методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, к действиям, которые выполняет ЭВМ. Решение нелинейных, системы линейных алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений численными методами.

  • Определение мольной теплоемкости методом интерполяции

    Написание программы решения технических задач языком высокого уровня Си: определение мольной теплоемкости кислорода методом интерполяции. Построение математических моделей, графиков и таблиц по результатам расчетов, составление текста программы.

  • Интерполяция функции одной переменной методом Ньютона

    Разработка программы, применяемой для интерполяции таблично заданной функции методом Ньютона. Метод структурного программирования для облегчения написания и отладки программы, повышения ее наглядности, читаемости. Применение языка программирования Pascal.

  • Численные методы расчетов в Exel

    Интерполяция функции с равноотстоящими узлами - прогнозирование в Exel. Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона. Решение систем уравнений в Exel методом обратной матрицы и простых итераций.