Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Технический Университет

Кафедра ____САПР______


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

По дисциплине: ”Математическое обеспечение САПР"

Тема: "Сравнительный анализ численных методов"


Руководитель

(подпись) (дата)

Студент

(подпись) (дата)


2009

Содержание


Введение

1. Постановка задачи

2. Методы решения нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения

2.2 Метод касательных (метод Ньютона)

2.2.1 Общие сведения

2.2.2 Решение нелинейного уравнения методом касательных

2.3 Метод хорд

2.3.1 Общие сведения

2.3.2 Решение нелинейного уравнения методом хорд

2.4 Вывод

2.5 Метод простых итераций

2.5.1 Общие сведения

2.5.2 Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

2.6 Программа для решения нелинейных уравнений

3. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования

3.1 Интерполяция

3.2 Многочлен Лагранжа

3.3 Интерполяция сплайнами

3.4 Использование интерполяции на практике

3.4.1 Интерполяция с помощью многочлена Лагранжа

3.4.2 Обратная интерполяция

3.4.3 Интерполяция сплайнами

3.5 Программа для использования интерполяции

4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4.1 Общие сведения

4.2 Метод простой итерации

4.2.1 Описание метода

4.2.2 Решение СЛАУ методом простых итераций

4.2.3 Программа для решения СЛАУ методом простых итераций

4.3 Метод Зейделя

4.3.1 Описание метода

4.3.2 Решение СЛАУ методом Зейделя

4.3.3 Программа дл решения СЛАУ методом Зейделя

4.4 Сравнительный анализ

5. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования

5.1 Методы численного дифференцирования

5.1.1 Описание метода

5.1.2 Нахождение производной

5.2 Методы численного интегрирования

5.2.1 Общие сведения

5.2.2 Нахождение определенного интеграла

5.3 Решение ОДУ

5.3.1 Решение ОДУ методом Эйлера

5.3.2 Решение ОДУ методом Рунге-Кутты

6.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1 Общие сведения

6.2 Метод Эйлера

Заключение

Список использованной литературы


Введение


На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Конечно, использование таких программных продуктов значительно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач. Однако, использование этих программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, нельзя гарантировать, что задача решена правильно. Поэтому для более полного понимания того, как осуществляется расчет различного вида уравнений и их систем, необходимо теоретически изучить методы их решения и на практике их проработать.

Целью выполнения данного курсового проекта является приобретение практических навыков решения нелинейных уравнений, системы линейных алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений различными численными методами.

1. Постановка задачи


Порядок выполнения:

По итерационным методам решения нелинейных уравнений:

Определить корень в заданном или любом выбранном отрезке методом хорд, касательных, простых итераций.

Используя результаты решений, указать наименьший полученный отрезок, в котором содержится корень уравнения.

Для каждого метода и каждой задачи построить график функции Сравнительный анализ численных методовна [a,b] и убедиться в выполнении условия сходимости итерационной процедуры.

Используя функции f (x) из п.1, построить интерполяционный многочлен L4 (x) на [a,b], использовав в качестве узловых a и b, остальные необходимые узловые точки выбрать, разделив промежуток [a,b] на почти равные части. Вычислить значения f (x) и L4 (x) в двух точках, одна из которых - середина крайней части, а вторая - середина части, содержащей точку Сравнительный анализ численных методов. Сравнить полученные величины. Используя эти же узловые точки, провести обратную интерполяцию и определить значение х при y=0. Полученный результат сравнить с ранее найденным решением уравнения.

Сравнить результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации.

Провести сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования.

Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера и уточненным методом Эйлера с 5-ю и 20-ю шагами и сравнить их, если возможно с результатом точного решения ОДУ.

2. Методы решения нелинейных уравнений


2.1 Общие сведения


Рассмотрим уравнение вида f (x) =0, (2.1), где f (x) - любая нелинейная функция.

Корнем уравнения (2.1) называется значение Сравнительный анализ численных методов, при которомСравнительный анализ численных методов. Способы приближенного решения, т.е. алгоритм решения, предполагает определение x* c некоторой наперед заданной точностью.

Для нахождения корней уравнения (2.1) различают следующие два этапа.

Отделения (локализации) корней, т.е. нахождение таких интервалов по аргументу x, внутри каждого из которых существует только один корень уравнения (2.1). Если у функции на концах исследуемого отрезка [a,b] функция имеет разные знаки, то на этом отрезке функция имеет не менее одного корня. Если же одинаковые знаки, то функция может не иметь корней или иметь четное число корней. Следовательно, локализация заключается в том, что необходимо установить отрезки, на которых есть смена знаков функции и, кроме того, выполнено условие единственности корня, т.е. функция на этом отрезке должна иметь первую производную с постоянным знаком. Из условия сходимости итерационной последовательности также требуется, чтобы вторая производная не меняла знак, т.е. на исследуемом отрезке функция бала бы только выпуклой или вогнутой.

Уточнение корней заключается в применении некоторого итерационного метода, в результате которого корень уравнения (2.1) может быть получен с любой наперед заданной точностью ε. При этом, останавливая процесс на какой-либо конечной итерации, необходимо оценить погрешность по сравнению с точным корнем, который неизвестен. Выбранный метод позволяет построить последовательность х1, х2, х3, …, хk, … приближений к корню. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, х3, …, хk, … Если эти значения с ростом k стремятся к истинному значению корня Сравнительный анализ численных методов, то итерационный процесс сходится.

Основными методами решения нелинейных уравнений, реализованных в виде численной процедуры, являются итерационные методы.


2.2 Метод касательных (метод Ньютона)


2.2.1 Общие сведения

Метод Ньютона, называемый также методом касательных, состоит в следующем. Рассмотрим в точке x0 касательную к кривой y=f (x), задаваемую уравнением


y= f (x0) + (x-x0) f ’ (x0).


За начальное приближение x0 принимается один из концов отрезка [a, b], где значение функции имеет такой же знак, что и 2-я производная. Функция f (x) должна удовлетворять на отрезке [a, b] следующим условиям:

1) существование производных 1-го и 2-го порядков;

2) f ’ (x) Сравнительный анализ численных методов 0;

3) производные 1-го и 2-го порядков знакопостоянны на отрезке [a, b].

Положим y=0, находим точку x1 пересечения касательной с осью абсцисс:


x1= х0 - f (х0) /f ’ (х0).


Построив касательную в точке x1 (рисунок 2.1), получаем по аналогичной формуле точку x2 пересечения этой касательной с осью x и т.д. Формула для n-го приближения имеет вид:


хn=хn-1 - F (хn-1) /F’ (хn-1), n=1,2,…


Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.1 - Метод касательных


В этом методе на n-й итерации проводится касательная к кривой y =f (x) при х=xn-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х.

Итерационный процесс останавливают при выполнении условия Сравнительный анализ численных методов; где ε - заданная точность.


2.2.2 Решение нелинейного уравнения методом касательных

1. Дано уравнение tg (0.36*x +0.4) =x2. Решить его методом касательных с точностью решенияСравнительный анализ численных методов=0,001.

Для нахождения корня исследуем функцию


Сравнительный анализ численных методов.


График функции представлен на рисунке 2.2

Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.2 - График исследуемой функции


Находим отрезок, в котором функция монотонно возрастает или убывает, а также где концы отрезка будут иметь разные знаки.

Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.3


Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.3 - График функции на выбранном отрезке


Проверяем существование корня на отрезке по условию Сравнительный анализ численных методов


f (-1) = - 0,95998

f (0) =0,42279

Сравнительный анализ численных методов


0,405869<0, следовательно, на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность: Сравнительный анализ численных методов


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов


Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Находим первую производную функции:


Сравнительный анализ численных методов


В точке a первая и вторая производные равны:


Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов


В точке b первая и вторая производные равны:


Сравнительный анализ численных методов,Сравнительный анализ численных методов


Выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной.


Сравнительный анализ численных методов, x0=-1, Сравнительный анализ численных методов-0,95998* (Сравнительный анализ численных методов) =1,90998;Сравнительный анализ численных методов


По формуле


Сравнительный анализ численных методов


находим:


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методовСравнительный анализ численных методов Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx<0.001


Необходимая точность достигнута при n=4, т.е. на 4-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=Сравнительный анализ численных методов, т.е. последовательность xn, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является Сравнительный анализ численных методов (рисунок 2.4).

Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.4 - График функции Сравнительный анализ численных методов для исследуемой функции


2. Дано уравнение


x3-0,2x2+0,4x-1,4=0.


Решить его методом касательных с точностью решенияСравнительный анализ численных методов=0,001.

Для нахождения корня исследуем функцию


Сравнительный анализ численных методов.


График функции представлен на рисунке 2.5


Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.5 - График исследуемой функции

Находим отрезок, в котором функция монотонно возрастает или убывает, а также где концы отрезка будут иметь разные знаки.

Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.6


Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.6 - График функции на выбранном отрезке


Проверяем существование корня на отрезке по условию


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов-3,066375


3,066375 <0, следовательно, на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность:


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

6,2225>0


Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Находим первую производную функции:


Сравнительный анализ численных методов; Сравнительный анализ численных методов


В точке a первая и вторая производные равны:


Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов


В точке b первая и вторая производные равны:


Сравнительный анализ численных методов,Сравнительный анализ численных методов


Выбираем тот конец отрезка, значение функции в котором совпадает со знаком 2-ой производной.

Принимаем:


x0= 1,5 Сравнительный анализ численных методов2.125*6.55=13,91875, Сравнительный анализ численных методов


По формуле


Сравнительный анализ численных методов


находим:


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методовСравнительный анализ численных методов Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx<0.001


Необходимая точность достигнута при n=4, т.е. на 4-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=Сравнительный анализ численных методов, т.е. последовательность xn, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является Сравнительный анализ численных методов (рисунок 2.7).


Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.7 - График функции Сравнительный анализ численных методов для исследуемой функции

2.3 Метод хорд


2.3.1 Общие сведения

Как и в методе хорд, функция f (x) должна удовлетворять на отрезке [a, b] следующим условиям:

1) существование производных 1-го и 2-го порядков;

2) f ’ (x) Сравнительный анализ численных методов 0;

3) производные 1-го и 2-го порядков знакопостоянны на отрезке [a, b].

За начальное приближение x0 принимается один из концов отрезка [a, b], где значение функции имеет такой же знак, что и 2-я производная. За x1 выбирается второй край отрезка. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х0, х1,… точек пересечения хорды с осью абсцисс (рисунок 2.8).


Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.8 - Метод хорд


Формула для n-го приближения имеет вид:


Сравнительный анализ численных методов

Итерационный процесс останавливают при выполнении условия Сравнительный анализ численных методов; где ε - заданная точность.

2.3.2 Решение нелинейного уравнения методом хорд

1. Дано уравнение


tg (0.36*x +0.4) =x2.


Решить его методом хорд с точностью решенияСравнительный анализ численных методов=0,001.

Как в предыдущем методе для нахождения корня исследуем функцию


Сравнительный анализ численных методов.


Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.9


Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 2.9 - График функции на выбранном отрезке


По данным из п.2.2.2 за x0 выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной. А за x1 второй конец отрезка.


x0=-1; x1=0.


По формуле


Сравнительный анализ численных методов


находим:


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx>0.001

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовx<0.001

Необходимая точность достигнута при n=7, т.е. на 6-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: