Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов

анализ численных методов" width="140" height="30" align="BOTTOM" border="0" />


Далее приведены результаты вычислений.


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов


Далее приведены результаты вычислений.


Сравнительный анализ численных методов


5.3.2 Решение ОДУ методом Рунге-Кутты


Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов


Далее приведены результаты вычислений.


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методовСравнительный анализ численных методов


Поправка Ричардсона Ri для метода Эйлера:


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов


Поправка Ричардсона Ri для метода Рунге-Кутта:


Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов


6.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений


6.1 Общие сведения


Обыкновенные дифференциальные уравнения являются моделью динамических систем. То есть систем меняющих свои свойства при изменении независимой переменной в качестве таковой очень часто выступает время.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y (x). Их можно записать в виде


Сравнительный анализ численных методов,


где х - независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение


Сравнительный анализ численных методов


производной называется порядком дифференциального уравнения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.

Существуют различные задачи для ОДУ, мы будем рассматривать задачу Коши. Из курса математики известны условия существования единственности решения задачи Коши и также известно, что аналитически эта задача решается в достаточно редких случаях. То есть для того чтобы ОДУ являлась моделью некоторого динамического процесса, имела аналитическое решение приходится принимать слишком много предположений упрощающих исходную постановку. Что далеко не всегда является продуктивным.


6.2 Метод Эйлера


Начальные условия: х=х0, у=у0, Сравнительный анализ численных методов=f (x,y). Задача заключается в том, что необходимо построить функцию y=F (x) или Ф (х, у) =0, производная которой удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению. Причем кривая соответствующей этой функции проходит через точку (х0, у0). Мы будем искать на заданном отрезке [a, b] х0=а значения некоторой функции, которые близки к соответствующим значениям искомого решения. Иногда говорят, что мы строим сеточную функцию, если разобьем отрезок [a, b] на n частей (h= (b-a) /n, где h - шаг сетки), тогда хi=x0+ih. Заменим в левой части производную Сравнительный анализ численных методов правой разностью. При этом значения функции Сравнительный анализ численных методов узлах Сравнительный анализ численных методов заменим значениями сеточной функции Сравнительный анализ численных методов:


Сравнительный анализ численных методов


Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене Сравнительный анализ численных методов на


Сравнительный анализ численных методов


допускается погрешность Сравнительный анализ численных методов.

Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т.е.


Сравнительный анализ численных методов


Тогда из равенства


Сравнительный анализ численных методов


Получаем


Сравнительный анализ численных методов


Заметим, что из уравненияСравнительный анализ численных методов следует


Сравнительный анализ численных методов.


Поэтому


Сравнительный анализ численных методов


представляет собой приближенное нахождение значение функции Сравнительный анализ численных методов в точке Сравнительный анализ численных методов при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу. Полагая i=0, с помощью соотношения


Сравнительный анализ численных методов


находим значение сеточной функции Сравнительный анализ численных методов при


Сравнительный анализ численных методов: Сравнительный анализ численных методов.


Требуемое здесь значение Сравнительный анализ численных методов задано начальным условием Сравнительный анализ численных методов, т.е. Сравнительный анализ численных методов. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:


Сравнительный анализ численных методов


Построенный алгоритм называется методом Эйлера, графически он представлен на рисунке 6.1.

Сравнительный анализ численных методов

Рисунок 6.1 -Метод Эйлера


5.3 Метод Рунге-Кутты


Одним из способов улучшения метода Эйлера является метод Рунге-Кутты. Формула Рунге - Кутты 4-го порядка:


Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов

Сравнительный анализ численных методов, Сравнительный анализ численных методов

Заключение


В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, а также метод Эйлера.

В результаты все поставленные задачи были выполнены, цели достигнуты. Мы приобрели навыки в применении различных численных методов на практике. А также были исследованы различные методы.

Теперь перед нами стоит задача в применении приобретенных знаний в своей будущей профессиональной деятельности.

Список использованной литературы


Р.Ф. Хемминг "Численные методы (для научных работников и инженеров)". - Москва, 1972.

А.А. Амосов, А.Ю. Дубинский, Н.В. Копченова "Вычислительные методы для инженеров". - Москва, "Высшая школа", 1994.

Ф.В. Формалев, Д.Л. Ревизников "Численные методы". - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

Е.А. Волков. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. - 248 с.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2 3 4

Похожие рефераты:

  • Решение прикладных задач численными методами

    Математическое описание численных методов решения уравнения, построение графика функции. Cтруктурная схема алгоритма с использованием метода дихотомии. Использование численных методов решения дифференциальных уравнений, составление листинга программы.

  • Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

    Определение недостатков итерационного численного способа нахождения корня заданной функции (метод Ньютона). Рассмотрение основ математического и алгоритмического решения поставленной задачи, ее функциональной модели, блок-схемы и программной реализации.

  • Итерационные методы решения нелинейных уравнений

    Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и аналитическим, простым и модифицированным методом Ньютона. Программы на языке программирования Паскаль и С для вычислений по вариантам в порядке указанных методов. Изменение параметров задачи.

  • Проект программного модуля для нахождения корня уравнения

    Методика разработки программного модуля для нахождения методом хорд корня уравнения x3-x-0,3=0 с точностью до 0,001 на языке программирования Visual Basic for Application. Схема программного модуля и описание процедуры обработки кнопки "Найти корни".

  • Отыскание корня уравнения методом половинного деления

    Тестирование модуля отыскания корня уравнения методом половинного деления. Схема алгоритма тестирующей программы. Численное интегрирование по методу Симпсона с оценкой погрешности по правилу Рунге. Проверка условий сходимости методов с помощью MathCAD.

  • Решение нелинейных уравнений

    Сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений. Метод половинного деления. Геометрический смысл метода Ньютона. Метод простой итерации.

  • Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

    Решение нелинейного уравнения. Отделение корней - исследование количества, характера и расположения корней, нахождение их приближенных значений. Уточнение корня до заданной степени точности. Численное интегрирование и квадратурные формулы прямоугольников.

  • Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

    Изучение метода прямой итерации: приведение системы к итерационному виду путем деления каждого уравнения на соответствующих диагональный элемент, проведение проверки выполнения условия сходимости и составление программы на языке С++ для решения системы.

  • Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad

    Дифференциальные уравнения как уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Решение операторным методом, с помощью рядов, методом Эйлера.

  • Построение графиков функций. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

    Методика и основные этапы построения ранжированных переменных, сферы и особенности их практического применения. Порядок построения графиков в декартовой системе. Приведение примеров решение нелинейных уравнений и их систем при помощи решающего блока.

  • Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

    Программный продукт, способный решать уравнения с одной переменной методом Ньютона (касательных). Он прост в эксплуатации, имеет интуитивно понятный интерфейс, выстраивает график уравнения, что очень важно для пользователя. Реализация решений в программе.

  • Нахождение корней уравнений различными методами

    Проверить условие сходимости и записать расчетные формулы для нахождения корня уравнения. Составить блок-схему алгоритма, программу решения задачи. Вычисления определенного интеграла методом Симпсона. Построить график функции Y=1/sqr(3sin(x)+2cos(x)).

  • Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

    Изучение способов решения линейных и квадратных уравнений методом простой итерации: доказательство теоремы о сходимости и геометрическая интерпретация. Анализ математического решения задачи, ее функциональной модели, блок-схемы и программной реализации.

  • Расчетно-графическая работа

    §1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические

  • Решение прикладных задач методом дихотомии

    Численные методы решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Составление логической схемы алгоритма, таблицы индентификаторов и программы нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом Ньютона. Ввод программы в компьютер.

  • Программа вычисления минимума заданной функции

    Постановка задачи и ее формализация. Поиск значений интерполяционного многочлена в точках x1 и x2. Поиск минимума функции F(x) на отрезке [a;b. Проверка условий сходимости методов. Тестирование программных модулей. Детализированная схема алгоритма.

  • Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

    Модифицированный метод Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Вычисления корня уравнения при помощи программы. Построения графика зависимости приближений двух координат, при котором задаются промежутки и константы.

  • Решение нелинейных уравнений

    ЧИСЛЕННОЕ . 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом

  • Решение математических задач в среде Excel

    1.1.Численное дифференцирование Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием конечных разностей. Выражение, записанное в конечных разностях, для вычисления производной функции одного переменного имеет вид:

  • Моделирование структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB

    Практические навыки моделирования структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB. Построение графиков функций в декартовой системе координат. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Работа с блоками Sum, Algebraic Constraint, Gain, Product.