Министерство Высшего Образования РФ.

Московский Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Лицей №1557

КУРСОВАЯ РАБОТА

“Вычисление интеграла методом

Ньютона-Котеса”

Написал: Коноплев А.А.

Проверил: доцент Колдаев В.Д.

Москва, 2001г.

1. Введение..................................................................................... 3

2. Теоретическая часть...................................................................4

3. Алгоритм работы........................................................................8

4. Код программы.........................................................................17

• Модуль K_graph............................................................17

• Модуль Graphic.............................................................34

• Модуль K_unit...............................................................38

• Основная программа....................................................40

5. Тестовые испытания.................................................................42

6. Полезные советы по работе с программой.............................42

7. Окна ввода и вывода программы.............................................

8. Вывод..........................................................................................43

9. Список литературы...................................................................44

Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона – поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один??

Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом. Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако их метод был частично забыт. В этой работе будут изложены основные положения теории, рассмотрены различные примеры, приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.

Пусть некоторая функция f(x) задана в уздах интерполяции:

(i=1,2,3…,n) на отрезке [а,b] таблицей значений:

X0=a	X1	X2	…	XN=b
Y0=f(x0)	Y1=f(x1)	Y2=f(x2)	…	YN=f(xN)

Требуется найти значение интеграла .

Для начала составим интерполяционный многочлен Лагранджа:

Для равноотстоящих узлов интерполяционный многочлен имеет вид:

где q=(x-x0)/h – шаг интерполяции, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

Поменяем знак суммирования и интеграл и вынесем за знак интеграла постоянные элементы:

Так как dp=dx/h, то, заменив пределы интегрирования, имеем:

Для равноотстоящих узлов интерполяции на отрезке [a,b] величина шаг определяется как h=(a-b)/n. Представив это выражение для h в формулу (4) и вынося (b-a) за знак суммы, получим:

Положим, что

где i=0,1,2…,n; Числа Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Эти коэффиценты не зависят от вида f(x), а являются функцией только по n. Поэтому их можно вычислить заранее. Окончательная формула выглядит так:

Теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить с помощью метода Ньютона-Котаса: , при n=7.

Вычисление.

1) Определим шаг: h=(7-0)/7=1.

2)Найдем значения y:

x0=0	y0=1
x1=1	y1=0.5
x2=2	y2=0.2
x3=3	y3=0.1
x4=4	y4=0.0588
x5=5	y5=0.0384
x6=6	y6=0.0270
x7=7	y7=0.02

3) Находим коэффициенты Ньютона-Котеса:

H1=H7=0.0435, H1=H6=0.2040, H2=H5=0.0760 ,H3=H4=0.1730

Подставим значения в формулу и получим:

П

ри подсчете с помощью формулы Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2.

Вычислить при помощи метода Ньютона-Котеса

, взяв n=5;

Вычисление:

1. Определим шаг h=(8-4)/5=0.8

2. Найдем значения y:

x0=0	y0=-2.61
x1=4.8	y1=0.42
x2=5.6	y2=4.34
x3=6.4	y3=6.35
x4=7.2	y4=4.38
x5=8	y5=-0.16

3. Находим коэффициенты Ньютона –Котеса:

H0=H5=0.065972 ;H1=H4=0.260417 ;H2=H3=0.173611 ;

4)Подставим значения в формулу и получим:

Рассмотрим частные случаи формулы Ньйтона-Котеса.

Пусть n=1 тогда

H0=H1=0.5 и конечная формула примет вид:

Тем самым в качестве частного случая нашей формулы мы получили формулу трапеций.

Взяв n=3, мы получим

. Частный случай формулы Ньютона –Котеса – формула Симпсона

Теперь произведем анализ алгоритма и рассмотрим основной принцип работы программы.

Для вычисления интеграла сначала находятся коэффициенты Ньютона-Котеса. Их нахождение осуществляется в процедуре hkoef.

Основной проблемой вычисления коэффициентов является интеграл от произведения множителей. Для его расчета необходимо:

А) посчитать коэффициенты при раскрытии скобок при q

(процедура mnogoclen)

Б) домножить их на 1/n , где n –степень при q (процедура koef)

В) подставить вместо q значение n (функция integral)

Далее вычисляем факториалы (функция faktorial) и перемножаем полученные выражения (функция mainint). Для увеличения быстроты работы вводится вычисление половины от количества узлов интерполяции и последующей подстановкой их вместо неподсчитанных.

Процедура koef(w: массив;n:целый;var e:массив);

Процедура hkoef(n:целый;var h:массив);

Процедура mnogochlen(n,i:целые;var c:массив );

Процедура funktia(n:целая;a,b:вещест.;var y:массив;c:вещест.;f:строка);

Функция facktorial(n:целый):двойной;

Функция integral(w:массив;n:целый):двойной;

Функция mainint(n:целый;a,b:вещест.;y:массив):двойной;

Основная программа

Программа состоит из 8 файлов:

• K_main.exe – файл загрузки основной программы

• K_unit.tpu – модуль вычислительных процедур и функций

• K_graph.tpu – модуль графических процедур

• Graphic.tpu – модуль процедур для построения графика

• Egavga.bgi – файл графической инициализации

• Sans.chr, litt.chr – файлы шрифтов

• Keyrus (не обязательно) – файл установки русского языка.

Для работы программы с русским интерфайсом желательно запускать ее в режиме DOS.

================================================

==========МОДУЛЬ GRAPH==========

================================================

{$N+}

unit k_graph;

interface

uses

crt,graph,k_unit,graphic;

procedure winwin1;

procedure proline(ea:word);

procedure winwwodab(ea:word);

procedure error1(ea:word);

procedure helpwin(ea:word);

procedure error(ea:word);

procedure newsctext(ea:word);

procedure newsc(ea:word);

procedure win1(ea:word);

procedure win2(ea:word;var k:word);

procedure wwodn(ea:word;var n:integer);

procedure wwodab(ea:word;var a,b:real);

procedure wwod1(ea:word;var y:array of double;var n:integer;var a,b:real);

procedure wwod2(ea:word;var ea1:word;var n:integer;var a,b:real;var st:string);

procedure win3(ea:word;n:integer;a,b:real;int:double;f:string;h:array of double;var k:word);

implementation

procedure proline(ea:word);

{Проседура полосы процесса}

var

i:integer;

f:string;

c:char;

begin

newsc(ea);

setcolor(15);

setfillstyle(1,7);

bar(160,150,460,260);

rectangle(165,155,455,255);

rectangle(167,157,453,253);

case (ea mod 2) of

0: outtextxy(180,170,' Идет работа .Ждите..');

1: outtextxy(180,170,' Working.Please wait..');

end;

setfillstyle(1,12);

setcolor(0);

rectangle(200,199,401,221);

for i:=1 to 9 do

line(200+i*20,200,200+i*20,220);

delay(20000);

for i:=1 to 100 do

begin

if ((i-1) mod 10)=0 then

line(200+((i-1) div 10)*20,200,200+((i-1) div 10)*20,220);

bar(round(200+2*(i-0.5)),200,200+2*i,220);

delay(1100);

setcolor(15);

setfillstyle(1,7);

bar(280,230,323,250);

str(i,f);

f:=f+'%';

outtextxy(290,235,f);

if (i mod 25) =0 then

bar(170,180,452,198);

if (ea mod 2)=0 then

case (i div 25) of

0:

outtextxy(170,190,'Подготовка ');

1:

outtextxy(170,190,'Расчет коеффициентов в многочлене');

2:

outtextxy(170,190,'Расчет коеффициентов Ньютона-Котеса');

3:

outtextxy(170,190,'Расчет интеграла');

end

else

case (i div 25) of

0:

outtextxy(170,190,'Prepearing');

1:

outtextxy(170,190,'Calculation of mnogochlen coeff.');

2:

outtextxy(170,190,'Calculation of Newton-Cotes coeff. ');

3:

outtextxy(170,190,'Calculation of integral');

end;

setfillstyle(1,12);

setcolor(0);

end;

end;

procedure winwwodn(ea:word);

{Окно ввода числа узлов интерполяции}

var

c:char;

f:string;

begin

helpwin(ea);

if (ea mod 2) =0 then

begin

outtextxy(360,140,' В этом окне необходимо ');

outtextxy(360,155,' ввести количество узлов ');

outtextxy(360,170,' интерполяции, от которого ');

outtextxy(360,185,' будет зависить точность ');

outtextxy(360,200,' вычисления интеграл и ');

outtextxy(360,215,' количество зн чений функции.');

outtextxy(360,240,' ВНИМАНИЕ : НАСТОЯТЕЛЬНО ');

outtextxy(360,250,' РЕКОМЕНДУЕТСЯ НЕ ВВОДИТЬ ');

outtextxy(360,260,' ЗНАЧЕНИЕ N БОЛЬШЕ 12 !! ');

end

else

begin

outtextxy(360,140,' In this window you have to ');

outtextxy(360,155,' put into the number. ');

outtextxy(360,170,' The accuracy of calculation ');

outtextxy(360,185,' and the number of function ');

outtextxy(360,200,' parameters will depend on ');

outtextxy(360,215,' this number. ');

outtextxy(360,240,' WARNING: IT IS HARDLY ');

outtextxy(360,250,' RECOMENDED NOT TO PUT IN ');

outtextxy(360,260,' NUMBER MORE THEN 12 !! ');

end;

setcolor(2);

setfillstyle(1,14);

bar(70,200,340,300);

rectangle(75,205,335,295);

rectangle(77,207,333,293);

if (ea mod 2) =0 then

begin

outtextxy(90,227,'Введите количество узлов(n):');

outtextxy(80,270,'ВНИМАНИЕ: При больших n возможна');

outtextxy(80,280,'некорректная работа компьютера!!');

end

else

begin

outtextxy(80,217,'Put in number of');

outtextxy(80,227,' interpolation units:');

outtextxy(80,270,'WARNING:if you use big number ');

outtextxy(80,280,'of units,PC wont work properly!');

end;

setfillstyle(1,0);

bar(190,240,230,255);

end;

procedure wwodn(ea:word;var n:integer);

{Процедура ввода узлов n}

var

ec,p:integer;

k,f:string;

x:integer;

c:char;

begin

newsc(ea);

winwwodn(ea);

repeat

repeat

winwwodn(ea);

gotoxy(25,16);

read(k);

val(k,p,ec);

if ec<>0 then

begin

error1(ea);

readln;

end;

until ec=0;

n:=p;

if n>12 then

begin

if keypressed then

c:=readkey;

c:='r';

setcolor(15);

setfillstyle(1,12);

bar(140,210,490,300);

rectangle(145,215,485,295);

rectangle(147,217,483,293);

if (ea mod 2) =0 then

begin

outtextxy(150,227,' Предупреждение!');

outtextxy(150,237,' Вы дейcтвительно хотите использовать');

outtextxy(150,250,' большое значение N ???');

end

else

begin

outtextxy(150,227,' Warning!! ');

outtextxy(150,237,' Do you realy want to use a big ');

outtextxy(150,250,' number interpolation units(N)??? ');

end;