Xreferat.com » Рефераты по кибернетике » Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов

Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов

width="2048" height="431" align="ABSMIDDLE" />. (4.5)


Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следйющего уравнения:


()*р = 0.


Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида:

p1 = 0;

p2 = - 0,2;

p3 = - 0,33;

p4= -0,25.


Переходная функция линейной части имеет следующий вид:


h(t) = -21,93e-0.2t –4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1 . (4.6)


С учетом формулы (4.4) получаем


.


После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

. (4.7)


Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной чати и передаточной функции цифрового фильтра:


. (4.8)


Дискретная передаточная функция замкнутой системы:


. (4.9)


Определим значение W3(z) для каждой из систем:


  • система с П – регулятором. Wр(z) = 1.01, Wн.ч.(z) – определеня по формуле (4.7), тогда:


; (4.10)


  • система с ПИ – регулятором.


;


Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:


; (4.11)


  • система с ПИД – регулятором.


,

Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:


. (4.12)


После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

Критерий устойчивости заключается в следующем.

Пусть задан А(z) – характкристический полином:


A(z) = a0zn + a1n-1 + … + an, a0 > 0.


Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке:


A(z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.


Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления число q0 и остаток А1(z) – полином n-1 степени.

Домножим полученый результат на z-1 получаем:


A1(z) = (a0-anq0)zn-1 + … + (an-1-a1q0).


Затем делим остаток A1(z) на обратный ему A10(z) и определяем новое q1 и A2(z)


и т.д.


Выполняя деление полиномов Ai(z) на обратные ему Ai0(z), получаем последовательность чисел qi = {q0, q1, q2,…,qn-2}.

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы является неравенства:


А(1)=(a0+ a1+ a2+…+an)>0;

(-1)nА(-1)=(a0(-1)n + a1(-1)n-1 +…+an)>0;

|qi|<1, i=0,1,2,…,n-2.


Используя выше изложенное, определим устойчивость наших систем.


Система с П-регулятором.

Характеристический полином имеет следующий вид:


А(1)= 1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817=0.003039>0 .

(-1)3A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.

А(z) = z3-2.7544z2+2.5359z - 0.7817

Обратный полином

.


Разделим A(z) на A0(z).


-()

-0.7817=q0, |q0|<1

0,3852z-0,7686z2+0,3888z3


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A1(z)= 0,3852-0,7686z+0,3888z2,

A10(z)= 0,3888-0,7686z+0,3852z2.


Разделим A1(z) на A10(z).


0,3852-0,7686z+0,3888z2

0,3888-0,7686z+0,3852z2

-(0,3852-0,7614z+0,3816z2)

0,99065=q1, |q1|<1

-0.00718z+0.00723z2


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A2(z)= 0.007238z-0.007187.


В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.


Система с ПИ-регулятором.

Характеристический полином имеет вид:

Степень полинома n=4. Множество qi = {q0, q1, q2}.

А(1)= >0.

(-1)4A(-1)= >0.

.

Обратный полином:

.


Разделим A(z) на A0(z).


0.78-3.326z+5.3001z2-3.756z3+ z4

1-3.7556z+5.3001z2-3.32z3+0.7834z4

-(0.78-2.943z+4.152z2-2.606z3+0.61z4)

0,783447=q0, |q0|<1

-0,383z+1.147z2-1.1506z3+0,3861 z4


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A1(z)= -0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3,

A10(z)= -0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3.


Разделим A1(z) на A10(z).


-0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3

-0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3

-(-0,383+1.141z-1.138z2 +0,3801 z3)

-0,992116=q1, |q1|<1

0,006046z-0,01207z2+0,00605z3


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A2(z)= 0,006046z-0,01207z2+0,00605z3,

A20(z)= 0,00605-0,005474z2-0,006046z3.


Разделим A2(z) на A20(z).


0,006046z-0,01207z2+0,00605z3

0,00605-0,005474z2-0,006046z3

-(0,006046z-0,01207z2+0,00603z3)

0,99774=q2, |q2|<1

-0,000027278z+0,000027353z2


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A3(z) = -0,000027278z+0,000027353z2


В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.


Система с ПИД-регулятором.


Характеристический полином имеет вид:

Степень полинома n=5. Множество qi = {q0, q1, q2, q3}.

А(1)=>0.

(-1)5A(-1)=>0.

,

Обратный полином:

.


Разделим A(z) на A0(z).


0,01589163=q0, |q0|<1

0,7347z-3,1644z2+5,102835z3-3,6802818z4+0,999747z5


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A1(z)= 0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4,

A10(z)= 0.99974 -3,680218z+5,1028z2-3,1644z3+0,7347z4.


Разделим A1(z) на A10(z).


0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4

0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4

-(0,7347-2.704z+3.750z2-2.3256z3+0.53999z4)

0,734938361=q1, |q1|<1

-0,4596z+1,3255z2-1,3545z3+0,4597z4


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A2(z)= -0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3,

A20(z)= -0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3.


Разделим A2(z) на A20(z).


-0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3

-0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3

-0,4596-1,3244z+1,3525z2+0,4595z3

-0,99986442=q2, |q2|<1

-0,0288981z-0,02926z2+0,91927z3


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A3(z)= -0,0288981-0,02926z+0,91927z2,

A30(z)= 0,91927-0,02926z-0,02889881z2.


Разделим A3(z) на A30(z).


-0,0288981-0,02926z+0,91927z2

0,91927-0,02926z-0,02889881z2

0,0288981-0,0009198z+0,0.028898z2

0,0314359=q2, |q2|<1

-0,0305301z+1.028762z2


Домножим полученный результат на z-1, тогда:


A4(z)= -0,0305301+1.028762z.


В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.

Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах воспользуемся обратным z-преобразованием.

Eсли функция имеет m-полюсов zk={z1, z2,…, zn} , то:


, (4.13)


где A(zk) – числитель функции W3(z);

B(zk) – производная знаменателя функции W3(z);


Замкнутая система с П – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором имеет вид:



Переходная функция замкнутой системы равна:


.


Для вычисления f[n] найдем полюса функции


.


Полюся функции:


z1 = 1;

z2 = 0,8422;

z3 = 0,954 – j0,313;

z4= 0,954 – j0,313.


Производная знаменателя функции:


B(z) = -11.25z2+10.574z-3.317+4z3.

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для :


где a = z1;

b = z2;

c = z3;

d = z4;


Изобразим переходый процесс на рисунке 4.2



Рисунок 4.2 - Переходный процесс в системе с П – регулятором


Замкнутая система с ПИ – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:


;.


Переходная функция замкнутой системы равна:


.


Для вычисления f[n] найдем полюса функции


.


Полюся функции:


z1 = 1;

z2 = 0.847;

z3 = 0.965;

z4 = 0.973 – j0.0113;

z5= 0.973 + j0.0113.


Производная знаменателя функции:


B(z) = 5z4-19.027z3+27.171 z2-17.253z+4.110


Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:

где а = z1;

b = z2;

c = z3;

d = z4;

e = z5;



Изобразим переходый процесс на рисунке 4.3


Рисунок 4.3 - Переходный процесс в системе с ПИ – регулятором


Замкнутая система с ПИД – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:


.


Переходная функция замкнутой системы равна:


.


Для вычисления f[n] найдем полюса функции


.


Полюся функции:


z1 = 1;

z2 = -0,021;

z3 = 0,84;

z4 = 0,935-j0,171;

z5= 0,935+j0,171;

z6=0,98.


Производная знаменателя функции:


B(z) = 6z5-23.347 z4+34.893 z3-24.39 z2+7.505z-0.660


Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:



где а = z1;

b = z2;

c = z3;

d = z4;

e = z5;

f = z6.


Изобразим переходый процесс на рисунке 4.4



Рисунок 4.4 - Переходный процесс в системе с ПИД – регулятором.


5 Расчет цифрового фильтра


Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие:


|Um – q0|0,05, (5.1)


где Um = 1,0.


Вычисление значения q0 следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:


. (5.2)


Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра Wф(z) имеет вид:


, (5.3)


где pi = biq0, i = 1,2,…,m;

qi = aiq0, i = 1,2,…,m;

.


Воспользуясь формулой (4.7) для Wнч(z) . Находим функции bi , аi и Т0.

Для коэффициентов bi имеем:


; (5.4)

;(5.5)

. (5.6)


Для коэффициентов аi имеем:


; (5.7)

; (5.8)

. (5.9)


Найдем выражение для q0 :


. (5.10)


Определим Т0 при котором выполняется условие (5.1), для этого построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1.



Рисунок 5.1 – График зависимости |Um – q00)|


При построении графика видим, что Т0 = 4,61 , q00) = 1,002.

Определим коэффициенты , подставив найденное значение Т0 в выражение (5.4) и (5.5):


b10) = 0,718;

b20) = 0,332;

b30) = -0,052;

a10) = -0,932;

a20) = 0,281;

a30) = -0,027;


Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.


. (5.7)


. (5.8)


Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле:


Wp(z) = Wн.ч.(z) * Wф(z). (5.9)


Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – управляюшее воздействие по формуле:


, (5.10)



Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – выходной сигнал по формуле:


, (5.10)


Пусть f – функция определяющая зависимость между q0 от Т0, т.е. q0=f(Т0), тогда f –1 – обратная ей функция, т.е. Т0=f –1(q0). Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию
Т0=f –1(q0) с учетом условия (5.1).

Так как в явном виде функцию Т0=f –1(q0) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q0  [3,45; 3,55] будет при q0=3,55.

Расчет Т0 сводится к решению уравнения

. (5.11)

Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что

Т0 =1,25.

Подставляя значение Т0 =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

Тогда

. (5.12)

При этом q0 =3,540075. Согласно формуле (5.3)

. (5.13)

Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна Wр(z)=Wнч(z)Wф(z) и равна

. (5.14)

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – управляющие воздействие равна

(5.15)

и равна

.

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – выходная величина равна

(5.16)

и равна

.

Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.

. (5.17)

Так как

, (5.18)

то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что ()=1, а ()=0,4. Так как x()=1, а (0-)=0 и (0-)=0, то коэффициент усиления по каналу задание – выходная величина равен 1, а по каналу задание – управляющие воздействие равен 0,4.

Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса
1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции . Производная данного выражения равна

.

Тогда передаточная функция примет вид

.

Изобразим переходный процесс на графике.

Рисунок 5.2 – Переходная функция цифрового фильтра.

Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание – выходная величина и задание – управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.

Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:

.

Значение искомой выходной величины равно

. (5.19)

Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:

 каналу задание – выходная величина

y[k]=0,647726x[k-1] –0,620803x[k-2] –0,037272x[k-3] +0,149369x[k-4] –0,024633x[k-2] –0,001394x[k-2] +1,481007y[k-1] –0,695097y[k-2]+ +0,101098y[k-3];

 каналу задание – управляющие воздействие

y[k]=3,540075x[k] –10,485749x[k-1] +12,686121x[k-2] –
–8,004397x[k-3] +2,770507x[k-4] –0,497542x[k-5]+0,036182x[k-6]+ +1,481007y[k-1] –0,695097y[k-2]+ +0,101098y[k-3].

Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.

Таблица 5.1 – Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание – выходная величина

k y[k]
0 0
1 0,648
2 0,986
3 1
4 1

6 Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части


Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид:

(t)=3,54(h(t)-h(t-T0)) –1,703(h(t-T0)-h(t-2T0))+ (6.1)

+0,758(h(t-2T0)-h(t-3T0))+0,4 h(t-3T0),

где

h(t) – функция Хевисайда;

T0 – период квантования равный 1,25.

Тогда

(t)=3,54(h(t)-h(t-1,25)) –1,703(h(t-1,25)-h(t-2,5))+ (6.2)

+0,758(h(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75).


И

зобразим данное управляющее воздействие на графике.


Рисунок 6.1 – Оптимальное управляющие воздействие.


Для нахождения реакции непрерывной линейной части на данное воздействие воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что

(t)= 3,54(g(t) - g(t-1,25)) –1,703(g(t-1,25)-g(t-2,5))+ (6.3)

+0,758(g(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75),

где

g(t)=f(t)h(t),

– переходная функция линейной части, найденная нами в пункте 4.

Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие.



Рисунок 6.2 – Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие


На этом все построения окончены.


Заключение


В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы – это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

Список литературы


  1. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть I. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1990. – 157 с.

  2. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть III. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1995. – 114 с.

  3. Колосов С. П., Калмыков И. В.,Нефедова В. И. “Элементы автоматики”

издательство “Машиностроение”, Москва, 1970.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: