Определение спектра амплитудно-модулированного колебания
Пензенский государственный университет
Кафедра «РТ и РЭС»
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»
на тему
«Определение спектра
амплитудно-модулированного колебания»
Задание выполнил студент
группы 01РР2
Чернов С. В.
Задание проверил
Куроедов С. К.
Пенза 2003
Содержание
1. Формулировка задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Шифр задания и исходные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Аналитическая запись колебания UW(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Определение коэффициентов аn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5. Определение коэффициентов bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6. Определение постоянной составляющей А0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму
найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник
колебания uW(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра
колебания uW(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10. Аналитическая запись АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . 11
12. Определение ширины спектра АМ колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. Формулировка задания
Определить спектр АМ колебания u(t) =Um(t)cos(w0t+y0), огибающая амплитуды которого связана линейной зависимостью с сигналом сообщения Uc(t), т.е. Um(t).=U0+ Uc(t)
(коэффициент пропорциональности принят равным единице).
Сигнал
сообщения Uc(t)
представляет
собой сумму
первых пяти
гармоник
периодического
колебания uW(t)
(см. раздел 3).
Найденный
аналитически
спектр сигнала
сообщения и
АМ колебания
должен быть
представлен
в форме амплитудно-частотной
(АЧХ) и фазо-частотной
(ФЧХ) характеристик.
Необходимо
кроме того
определить
парциальные
коэффициенты
глубины модуляции
mn.
Несущая частота
определяется
как w0=20W5,
где W5
– частота пятой
гармоники в
спектре колебания
uW(t).
Значение амплитуды
U0
несущей частоты
w0
принимается
равным целой
части удвоенной
суммы
,
где Un
– амплитудное
значение гармоники
спектра колебания
uW(t).
2. Шифр задания и исходные данные
Шифр задания: 17 – 3
Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1.
U1, В |
U2, В |
T, мкс |
t1, мкс |
3 |
3 |
250 |
60 |
Временная диаграмма исходного колебания
3. Аналитическая запись колебания UW(t)
Сначала
выполним спектральный
анализ заданного
колебания
uΩ(t).
Для этого, пользуясь
графической
формой колебания
и заданными
параметрами,
запишем его
аналитически.
Весь период
Т колебания
разбиваем на
три интервала:
[0;t1], [t1;t2]
и [t2; T]
(точка
является серединой
интервала [t1;
T]).
Первый интервал
представлен
синусоидой,
второй и третий
– линейными
функциями. В
общем виде
аналитическая
запись сигнала
будет выглядеть
так:
при
,
uΩ(t)= при
,
(1)
при
.
Частота
синусоиды
(в знаменателе
записан период
этой синусоиды).
Значения k1 и b1 определяем из системы уравнений
;
,
получаемой
путем подстановки
во второе уравнение
системы (1) значений
времени t1
и
и соответствующих
им значений
колебания uΩ(t)
(uΩ(t1)=0,
uΩ(t)=-U2).
Решение указанной
системы уравнений
дает
,
.
Аналогично
определяем
k2
и b2.
В третье уравнение
системы (1) подставляем
значения t2
и T
и соответствующие
им значения
колебания uΩ(t)
(uΩ(t2)=-U2,
uΩ(T)=0).
;
.
Решив
систему, получаем
,
В результате изложенного система уравнений (1) принимает вид
при
,
uΩ(t)= при
, (2)
при
.
Для дальнейших расчетов определим:
мкс;
рад/с
рад/с
Для разложения сигнала в ряд Фурье вычислим значения аn, bn, Аn и φn первых пяти гармоник.
4. Определение коэффициентов an
Посчитаем каждый из интегралов отдельно:
;
,
первый интеграл интегрируем по частям:
,
,
,
.
;
аналогично интегрируем:
.
Запишем выражение для аn, как функции порядкового номера n гармоник колебания UW(t):
.
Подставляя ранее вычисленные значения k1 b1, k2, b2, заданное значение U1 и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов an:
В
В
В
В
В.
Заносим полученные результаты в таблицу 2.
5. Определение коэффициентов bn
.
Расчет каждого из интегралов произведём отдельно:
;
,
,
,
.
;
.
Запишем выражение для bn, как функции порядкового номера n гармоник колебания UW(t):
.
Подставляя ранее вычисленные значения k1 b1, k2, b2, заданное значение U1 и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов bn:
В
В
В
В
В.
Занесём полученные данные в таблицу 2.
6. Определение постоянной составляющей А0
В.
7. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn
Значения An и Ψn вычисляем с помощью полученных ранее коэффициентов an и bn.
,
.
В,
В,
В,
В,
В;
рад,
рад,
рад,
рад,
рад.
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
an | 1.641 | 0.033 | -0.368 | -0.237 | -0.128 |
bn | 1.546 | 0.548 | 0.442 | 0.028 | -0.093 |
An | 2.254 | 0.549 | 0.575 | 0.239 | 0.159 |
Ψn | 0.756 | 1.511 | 2.264 | 3.023 | -2.512 |
8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник
u(t) – заданное колебание,
S(t)=S1(t)+ S2(t)+ S3(t)+ S4(t)+ S5(t)+A0,
S1(t) – первая гармоника,
S2(t) – вторая гармоника,
S3(t) – третья гармоника,
S4(t) – четвертая гармоника,
S5(t) – пятая гармоника,
A0 – постоянная составляющая.
9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра колебания uW(t)
Пользуясь данными таблицы 2, строим АЧХ и ФЧХ сигнала сообщения uc(t), представляющего собой, в соответствии с заданием, сумму первых пяти гармоник колебания uW(t).
АЧХ колебания uW(t)
ФЧХ колебания uW(t)
10. Аналитическая запись АМ колебания
В качестве модулирующего колебания (сигнала сообщения) используем только первые пять гармоник спектра колебания uW(t) (постоянную составляющую А0 отбрасываем). В соответствии с этим искомое амплитудно-модулированное колебание запишем как
рад/с
– несущая частота.
Значение
амплитуды U0
несущей частоты
w0
принимается
равным целой
части удвоенной
суммы
,
где Un
– амплитудное
значение гармоники
спектра колебания
UW(t).
,
В.
– начальная
фаза несущего
колебания.
– парциальные
коэффициенты
глубины модуляции.
Вычислим значения парциальных коэффициентов:
,
,
,
,
.
Полученные результаты заносим в