Xreferat.com » Рефераты по коммуникации и связи » Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень

Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень

Задачі обробки сигналів та критерії оптимальності рішень

1. Класифікація задач обробки сигналів


Існують різні типи задач обробки сигналів, серед яких основними є наступні.

Виявлення сигналу на фоні завад. У цій задачі обробки сигналів необхідно прийняти одну з двох гіпотез – діє тільки завада або сигнал з завадою:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень


Задача розрізнення заданих сигналів. У цій задачі обробки сигналів необхідно прийняти одну з Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень гіпотез про дію одного із Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень заданих сигналів на фоні завади:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень


Задача оцінювання параметрів сигналів. У цій задачі обробки сигналів за сумішшю сигналу з завадою Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень необхідно прийняти рішення про те, яке значення приймає параметр Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень сигналу Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. При цьому припускається, що на інтервалі часу спостереження сигналу Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень параметр Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень не змінюється:

Задача фільтрації сигналів. У цій задачі обробки сигналів із суміші сигналу з завадою Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень необхідно виділити параметр сигналу Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. Припускається, що на інтервалі часу спостереження сигналу Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень повідомлення Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень змінюється у часі. Частинним випадком є задача виділення (фільтрування) сигналу Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень із суміші з шумом Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

Зустрічаються також комбіновані задачі обробки сигналів, зокрема, сумісного виявлення (чи розрізнювання) та оцінювання параметрів сигналів.

При вирішенні вказаних задач обробки сигналів припускається відомою інформація про вид корисного сигналу та статичні характеристики завади (щільність ймовірності розподілу, кореляційна функція, математичне сподівання, дисперсія та ін.). Окрім того вважається заданим критерій оптимальності вирішення задачі обробки сигналів. Оскільки сигнали, що поступають на вхід приймального пристрою, носять випадковий характер, то при отриманні оптимальних методів обробки сигналів необхідно використовувати основні положення математичної статистики та теорії прийняття статистичних рішень. Математична статистика одержує певні висновки з експериментальних даних. Тому припускається, що відома реалізація прийнятого сигналу, яка використовується безпосередньо або у вигляді деяких її відліків.

Серед задач статистичного синтезу найважливішими для теорії обробки сигналів є такі: перевірка статистичних гіпотез (коли відносно характеристик розподілу ймовірностей висуваються несумісні гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень і за вектором спостережень вибирається одна з них), оцінювання параметрів розподілу, фільтрування повідомлення з прийнятої реалізації сигналу.

У задачах перевірки гіпотез Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень прийняття рішення геометрично означає розбиття простору спостережень на Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень-ну область, що не перетинаються:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень,Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (1)

У цій задачі Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень-те рішення приймається, коли вектор спостережень потрапляє в областьЗадачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

При оцінюванні параметра розподілу за спостереженням Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень з простору Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень знаходиться оцінка параметра Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, що належить простору параметрів Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. У задачах фільтрування за прийнятою реалізацією Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень знаходиться оцінка Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень переданого повідомлення з просторуЗадачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

У математичній статистиці, крім простору спостережень Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень та функції правдоподібності Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень до апріорної інформації слід додати так звану функцію втрат, яка характеризується для кожної пари; прийняте рішення – істинне твердження. Для задач перевірки гіпотез Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень – це матриця втрат Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, для задач оцінювання параметрів – функція втрат Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. Функція втрат означає «платню» за вибирання гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, коли істинна гіпотеза Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. Невід’ємна функція Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень означає „платню” за вибирання оцінки Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, коли істинне значення параметра дорівнює Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

Для того, щоб порівняти рішення, у математичній статистиці вибирають ті чи інші показники якості – критерії якості правил вибору рішень. Останні називають також алгоритмами обробки спостережень. Спинимося на особливостях критеріїв у задачах перевірки гіпотез, оцінювання параметрів і фільтрування повідомлень.

Залежно від того, яка у дослідника є апріорна інформація, вибираються ті чи інші показники якості вирішення задачі обробки сигналів.


2. Показники якості вирішення задачі обробки сигналів


Показник середнього ризику. У задачах перевірки гіпотез Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень має бути задана матриця втрат Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. При цьому припускаються відомими ймовірності гіпотез – Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

Середній ризик вводиться як математичне сподівання матриці втрат:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень,


де Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень – символ математичного сподівання.

Враховуючи, що імовірності Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень можна обчислити через функцію правдоподібності


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень,


остаточно маємо


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішеньЗадачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (2)


Показник середньої імовірності похибки. Середній ризик враховує як похибки, коли номер рішення Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень не збігається з номером істинної гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, так і правильні рішення, коли Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. В окремому випадку, якщо матриця втрат проста – Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, де Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень – символ Кронекера, з (2) одержуємо ймовірність середньої похибки

Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (3)


Замість Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень можна використовувати еквівалентний показник якості – ймовірність правильного рішення


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (4)


Показник апостеріорної ймовірності гіпотези. Матриця втрат Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень – це додаткова апріорна інформація, що може бути не задана. У цьому разі раціонально вибрати критерій, в якому вона не фігурує. Це може бути апостеріорна ймовірність гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, що обчислюється за формулою Байєса:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (5)


Використовують й інші показники якості. Досить часто (особливо в задачах оцінювання параметрів) за критерій якості приймають саму функцію правдоподібності.

Розглянуті показники якості рішення використовують для формулювання критеріїв оптимальності рішень при розв’язанні задач обробки сигналів.


3. Критерії оптимальності рішень у задачі перевірки гіпотез


Розглянемо критерії оптимальності рішень при вирішенні задач перевірки гіпотез.

Байєсівський критерій оптимальності використовує середній ризик (2) і вимагає його мінімізації (у загальному випадку забезпечення нижньої границі):


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (6)


Рішення – це гіпотеза Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, що забезпечує мінімум середнього ризику. Останній шукається у множині Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень відображень простору спостережень Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень у простір рішень Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. Нагадаємо, що аргумент функції правдоподібності – це значення параметра Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень (або номер гіпотези). Тому зручно (6) записувати також у вигляді


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (7)


Критерій мінімуму середньої ймовірності похибки (критерій Зігерта-Котельникова або критерій ідеального спостерігача). У цьому разі використовується показник якості рішення (3). Цей критерій оптимальності вимагає мінімізації величини середньої ймовірності похибки:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, (8)


або

Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (8а)


Критерій називають також критерієм „ідеального спостерігача”, тому що можна уявити собі, що деякий спостерігач задає вагову матрицю Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень так, що вона завжди нульова Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, коли приймається правильне рішення. А коли виникає похибка, він не цікавиться тим, як саме вона виникла, і завжди задає однаковий вагомий коефіцієнт Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

Іноді зручніше використовувати замість Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень максимум імовірності правильного рішення (4):


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (9)


Критерій максимуму апостеріорної ймовірності. Згідно з показником якості (5) критерій оптимальності рішення задається так: серед гіпотез Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень вибирається такий номер „Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень”, що забезпечується максимум у (5):


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (10)


Мінімаксний критерій оптимальності. Введені вище критерії по суті вимагали знання розподілу Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень переданого сигналу, що дає змогу ввести ймовірності гіпотез Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. Коли розподіл Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень невідомий, можна врахувати найгірший випадок – мінімізувати середній ризик в умовах найгіршого (з точки зору величини ризику) розподілу:

Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (11)


У теорії статистичних рішень доводиться, що рішення буде таке саме, якщо використовувати умовні ризики


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень


та вимагати, щоб рішення шукалось за умови


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (11а)


Мінімаксний критерій приводить до байєсівського рішення в умовах найгіршого розподілу параметра (переданого сигналу).

Критерій оптимальності Неймана-Пірсона. Спинимося детальніше на ілюстрованому прикладі приймання сигналів амплітудної маніпуляції. Тут задається лише дві гіпотези. Гіпотезу Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень називають основною, а Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень – альтернативною. Ставиться задача перевірки гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень проти альтернативи Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. Часто гіпотези несиметричні і зручно основну увагу приділити одній з них. Саме таку гіпотезу у математичній статистиці називають основною і позначають Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

У задачі перевірки гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень проти альтернативи Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень мають місце дві похибки – умовні ймовірності:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень

та


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.


Ситуація, коли приймається гіпотеза Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень за істинної гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень, означає, що дійсно сигналу немає (існує тільки шум), але приймається рішення про існування сигналу. Тому Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень називають умовно імовірністю хибної тривоги. У математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки першого роду. У разі, коли приймається гіпотеза Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень при істинній гіпотезі Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень (фізично сигнал існує), то приймається хибне рішення, що сигналу немає. Тому Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень називають умовною ймовірністю пропуску сигналу, у математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки другого роду.

Крім імовірностей похибок Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень та Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень у задачі перевірки гіпотези Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень проти альтернативи Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень розглядають також імовірності правильних рішень


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень


та


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.


Критерій оптимальності рішення Неймана-Пірсона використовує два показники якості рішень – умовні ймовірності хибної тривоги та пропуску цілі. У класичній літературі з теорії статистичних рішень ця обставина не підкреслюється. Але на рівні сучасної теорії вибору рішень (чи оптимізації систем і пристроїв) про це треба пам’ятати.

Критерій Неймана-Пірсона вимагає знаходження рішення, що забезпечує мінімальне значення умовної ймовірності пропуску цілі


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень (12)


при обмеженні умовної ймовірності хибної тривоги Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

Замість (12) часто використовують умову максимізації ймовірності правильного рішення про наявність цілі:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень при обмеженні Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень. (12а)


4. Критерії оптимальності в задачі оцінювання параметрів


Критерії оптимальності в задачі оцінювання параметрів розподілів ймовірностей мають деякі відмінності порівняно із задачею перевірки гіпотез. Різниця у тому, що параметр функції правдоподібності Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень у задачах вибору гіпотез має дискретний характер (і значення параметра ототожнюється з гіпотезами), а в задачах оцінювання параметрів він звичайно набирає значення з континуальної множини. Це відбивається як на вигляді показників (критеріїв) якості рішення, так і на вигляді критеріїв оптимальності. Спинимося на них.

Показник середнього ризику. Середній ризик – це середнє значення функції втрат:


Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень (13)

Тут припускається, що вимірність вектора параметрів Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень у загальному випадку не збігається з вимірністю вектора спостережень Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень.

Показник середньоквадратичної похибки. В окремому випадку квадратичної функції

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: