Xreferat.com » Рефераты по коммуникации и связи » Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Содержание


Введение

1 Описание объекта в области z-преобразований, переменных состояний

2 Синтез непрерывного регулятора

3 Синтез компенсатора

4 Синтез дискретного регулятора

5 Синтез дискретного компенсатора

6 Формирование интегрального квадратичного критерия

7 Синтез оптимального закона управления

8 Расчёт релейного регулятора

Заключение


Введение


Задача синтеза возникает при проектировании системы автоматического регулирования. Она заключается в таком выборе структурной схемы и технических средств ее реализации, при котором обеспечиваются требуемые динамические и эксплуатационные свойства всей системы в целом.

Синтез – лишь первый этап проектирования и создания системы.

В зависимости от вида исходных данных, принимаемых при проектировании системы, к задачам синтеза можно подходить с различных точек зрения. Если имеется возможность достаточно полной свободы выбора структуры и параметров в пределах физической реализуемости и с учетом наложенных ограничений, то решается задача синтеза оптимальной системы регулирования.

Оптимальность – наилучшие свойства системы в смысле некоторого критерия оптимальности (например, наилучшее быстродействие).

Задачи синтеза систем регулирования можно разбить на две группы. В задачах первой группы задается только объект управления и требуется определить закон функционирования регулятора в целом. При этом, обычно, предполагается, что полученные при расчетах свойства регулятора могут быть технически реализованы с необходимой точностью. Задачи подобного типа возникают при синтезе систем регулирования промышленных непрерывно функционирующих объектов (химических реакторов, электростанций и пр.).

В задачах второй группы в понятие синтеза вкладывается более узкий смысл. При этом рассматриваются задачи выбора и расчета параметров специальных корректирующих устройств, обеспечивающих заданные статические и динамические характеристики системы. При этом предполагается, что основные функциональные элементы системы (исполнительные, измерительные устройства) уже выбраны в соответствии с техническим заданием и вместе с объектом регулирования представляют собой неизменяемую часть системы. Подобная задача возникает чаще всего при проектировании различного рода следящих систем.

Разработано большое число в основном приближенных методов синтеза корректирующих устройств. Наибольшее распространение получили графоаналитические методы синтеза, основанные на построении инверсных и логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. При этом, используются косвенные оценки качества переходного процесса: запас по модулю, запас по фазе, частота среза, колебательность – которые можно непосредственно определить по частотным характеристикам.

К другой группе относятся аналитические методы синтеза. Для них находится выражение, аналитически связывающее качества с параметрами корректирующего устройства, и определяются значения параметров, соответствующих экстремальному значению функции. К этим методам относится синтез по интегральным критериям качества переходного процесса, а также по критерию среднеквадратичной ошибки.

Задача синтеза противоположна задаче анализа. Если при анализе структура и параметры заданы, а ищут поведение системы в заданных условиях, то в данной задаче задание и цель меняются местами.

Существуют методы синтеза, при которых задается кривая переходного процесса. Но реализация систем с переходным процессом, заданным чрезмерно жестко, как правило, оказывается довольно трудной: система получается неоправданно сложной и зачастую нереализуемой. Поэтому большее распространение получил метод задания более грубых качественных оценок (таких, как перерегулирование, время регулирования, колебательность), при которых сохраняется большая свобода в выборе детальной формы кривой переходного процесса.

Динамические характеристики объектов обычно могут быть аппроксимированы некоторыми типовыми зависимостями. Это позволяет все возможное разнообразие требуемых законов свести к нескольким типовым законам регулирования, которые используются на практике. Следовательно, задача синтеза системы регулирования сводится к выбору подходящего регулятора с типовым законом регулирования и определению оптимальных значений параметров настройки выбранного регулятора.



1. Описание объекта в области z-преобразований, переменных состояний


Анализ дискретных систем существенно упрощается, если величины, описывающие поведение системы, рассматриваются в дискретные моменты времени. Поэтому непрерывная функция времени может быть заменена дискретной, значения которой определены только в дискретные моменты времени.

Для таких функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


которое называется z-преобразованием при подстановке Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом, и связывает изображение с оригиналом.


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 1. Структура системы управления


Преобразование системы в дискретную область и выбор периода квантования будем проводить с помощью Matlab’а.

Чтобы обеспечить заданную погрешность аппроксимации менее 10%, нужно выбрать период квантования так, чтобы он составлял не более 10% от постоянной времени Т.

Также, при выборе преиода квантования нужно учитывать значение запаздывания. Выберем период квантования, равным 0.5.


W1=tf([0.9],[20 1],'td',1) % задаем передаточную функцию

W2=tf([1],[500 100 1],'td',15) % задаем передаточную функцию

Wob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы

T=0.5 % время квантования

Wdiskr=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной области


Получим значение передаточной функции дискретной системы:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Найдем описание объекта в пространстве состояний с помощью Matlab’а.


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


W1=tf([0.9],[20 1],'td',1) % задаем передаточную функцию

W2=tf([1],[500 100 1],'td',15) % задаем передаточную функцию

Wob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы

[A, B, C]=ssdata(Wob) % матрицы в пространстве состояний


Получим значения матриц:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

2. Синтез непрерывного регулятора


На практике, применяются следующие регуляторы:

П-регулятор.

Регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


k – коэффициент передачи П-регулятора.

И-регулятор.

Регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально интегралу от отклонения регулируемой величины:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Коэффициент пропорциональности k, численно равный скорости перемещения регулирующего органа при отклонении регулируемой величины на единицу ее измерения, называется коэффициентом передачи И-регулятора.

ПИ-регулятор.

Эти регуляторы перемещают регулирующий орган пропорционально сумме отклонения и интеграла от отклонения регулируемой величины:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Постоянная времени Т – постоянная времени интегрирования (время изодрома).

В динамике, ПИ-регулятор соответствует системе из двух параллельно включенных звеньев: пропорционального и интегрирующего.

ПД-регулятор.

Рассматриваемые регуляторы перемещают регулирующий орган пропорционально отклонению и скорости изменения регулируемой величины:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Постоянная времени Т характеризует степень ввода в закон регулирования производной. Она называется постоянной времени дифференцирования (временем предварения регулятора).

В динамическом отношении, эти регуляторы подобны системе из двух параллельно включенных звеньев: безынерционного и идеального диффиренцирующего.

ПИД-регулятор.


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


В динамическом отношении, эти регуляторы подобны системе из трех параллельно включенных звеньев: безынерционного, интегрирующего и идеального дифференцирующего.

Структура и параметры настройки регуляторов выбираются исходя из динамических или математических моделей объектов.

При определении оптимальных параметров настройки регуляторов промышленных процессов в качестве показателя оптимальности системы регулирования обычно выбирается требование минимума того или иного критерия качества при действии на объект наиболее тяжелого возмущения (или изменении заданного значения регулируемой величины) с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы.

При практических расчетах запас устойчивости удобно характеризовать показателем колебательности системы, величина которого в системах совпадает с максимумом амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы регулирования.

Для заданной системы (Рис. 1.) нужно подобрать регулятор, обеспечивающий желаемый показатель колебательности.

Допустимое значение показателя колебательности М определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. В хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1-1,5. Хотя в некоторых случаях допускается значение 2-2,5.

В нашем случае, М=1,25

Расчет регулятора сводится к следующей методике расчета:

Величина параметра регулятора, при которой амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет касаться окружности с заданным М, определяется следующим образом:

1. Строится АФЧХ регулируемого объекта, и из начала координат проводится луч под углом к отрицательной вещественной полуоси.

2. Проводится окружность с центром на вещественной отрицательной полуоси, касающаяся одновременно АФЧХ регулируемого объекта и этого луча.

В качестве регулятора попробуем использовать ПИ-регулятор. Найдем его параметры с помощью Mat lab’а.


clc

clear

W1=tf([0.9],[20 1],'td', 1) % задаем передаточную функцию

W2=tf([1],[500 100 1],'td', 15) % задаем передаточную функцию

Wob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы nyquist(Wob)

M=1.25;

w=0.0001:0.0001:0.3;

s=i*w;

Kp=3.2;

Ki=0.03

Wob1=((0.9).*(Kp+(Ki./(s))))./(10000*s.^3+2500*s.^2+120*s+1);

re=real(Wob1);

im=imag(Wob1);

R=M/(M^2-1);

C=(M^2)/(1-M^2);

x=-1:0.00001:0.4;

y1=sqrt(R^2-(x-C).^2);

y2=-sqrt(R^2-(x-C).^2);

K=tan(asin(1/M));

y3=K*x;

plot(re, im, x,y1,x,y2,x,y3)

grid on


Изменяя значения Kp и Ki, подберем такие значения, при которых окружность одновременно касается АФЧХ и луча. Это достигается при:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 5. Расчет ПИ-регулятора


Промоделируем систему с Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом и Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис.6. Структура объекта с регулятором


Получим характеристику:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 7. Поведение непрерывного объекта с ПИ-регулятором


При использовании данного регулятора точность составит


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


что удовлетворяет заданному условию


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Следовательно будем использовать ПИ-регулятор с параметрами


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом и Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Передаточная функция такого регулятора имеет вид:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


3. Синтез компенсатора


Для того, чтобы добиться желаемого качества процесса управления или регулирования (требуемой точности системы и качества переходного процесса), можно изменить структуру системы, введя дополнительные звенья корректирующие устройства (компенсаторы).

Основная задача компенсаторов состоит в улучшении точности системы и качества переходных процессов.

Систему с компенсатором можно представить в виде:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 8. Система с компенсатором


Рассчитать компенсатор можно следующим образом:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Условие физической реализуемости компенсатора соблюдено – степень числителя не превышает степень знаменателя.

Промоделируем в Simulink систему без учёта компенсатора


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 9. Структура системы без компенсатора


Характеристика системы будет следующей


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 10. Поведение системы без компенсатора


Промоделируем в Simulink систему с учётом компенсатора


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 11. Структура системы с компенсатором


Характеристика системы будет следующей


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 12. Поведение системы с компенсатором


Характеристики систем


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 13.


Из Рис. 13 делаем вывод : компенсатор снизил возникшую при введении в систему внешнего воздействия ошибку.


4. Синтез дискретного регулятора


Предполагается, что ступенчатое изменение задающей переменной происходит в момент времени k=0:


ω(k)=1 для k= 0,1,2,… .


Так как время запаздывания не равно нулю (d≠0), то необходимо использовать следующую модель объекта:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом (2.1)


Коэффициенты этой модели удовлетворяют соотношениям:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом (2.2)

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


На процесс управления наложены теперь следующие ограничения:


y(k)=ω(k)=1 для k ≥ ν=m+d,

u(k)=u(m) для k ≥ m.


Тогда параметры регулятора:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом (2.3)

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Таким образом, получим передаточную функцию апериодического регулятора:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом (2.4)


Отсюда следует, что передаточная функция по задающему сигналу при использовании точной модели объекта будет равна:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом (2.5)


а ее характеристическое уравнение:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом (2.6)


что говорит об апериодическом характере переходного процесса.

Будем рассчитывать регулятор, включенный последовательно с объектом, с помощью Matlab’а.

W1=tf([0.9],[20 1],'td', 1) % задаем передаточную функцию

W2=tf([1],[500 100 1],'td', 15) % задаем передаточную функцию

Wob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы

T=1 % время квантования

Wdiskr=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной области

[Numer Denom]=tfdata(Wdiskr, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

m=length (Numer)

Denom1=Denom(2:m)

Numer1=Numer(2:m)

q0=1/sum(Numer1)

for i=1:(m-1)

q(i)=q0*Denom1(i)

p(i)=q0*Numer1(i)

end

Q=[q0 q] % матрица коэффициентов числителя

P=[1 -p] % матрица коэффициентов знаменателя

Wr=tf(Q, P, T) % передаточная функция регулятора


Получим значение передаточной функции дискретного регулятора:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Посмотрим на поведение системы при использовании такого регулятора. Промоделируем поведение системы в Simulink’e.


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 12. Структура системы с дискретным регулятором


Получим следующий график:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 13. Поведение системы с дискретным регулятором


Как видно из полученного графика, установившаяся ошибка и время перерегулирования отсутствует. Время регулирования составляет 3 такта.

Таким образом, произведен синтез дискретного регулятора.


5. Синтез дискретного компенсатора


Систему с компенсатором можно представить в виде:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 14 Система с компенсатором


Таким образом, рассчитать компенсатор можно следующим образом:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Рассчитаем дискретный компенсатор с помощью Matlab’а.


W1=tf([0.9],[20 1],'td', 1) % задаем передаточную функцию

W2=tf([1],[500 100 1],'td', 15) % задаем передаточную функцию

Wf=tf([0.7],[10 1]) % задаем передаточную функцию

Wob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы

T=1 % время квантования

Wdiskr=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной области

W1d=c2d(W1,T,'zoh') % передаточная в дискретной области

W2d=c2d(W2,T,'zoh') % передаточная в дискретной области

Wfd=c2d(Wf,T,'zoh') % передаточная в дискретной области

[Numer Denom]=tfdata(Wdiskr, 'v') % находим числитель и знаменатель

m=length (Numer)

Denom1=Denom(2:m)

Numer1=Numer(2:m)

q0=1/sum(Numer1)

for i=1:(m-1)

q(i)=q0*Denom1(i)


p(i)=q0*Numer1(i)

end

Q=[q0 q] % матрица коэффициентов числителя

P=[1 -p] % матрица коэффициентов знаменателя

Wr=tf(Q, P, T) % передаточная функция регулятора

Wkomp=(Wfd)/(Wr*W1d) % передаточная функция компенсатора

[Nk Dk]=tfdata(Wkomp, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

[Nf Df]=tfdata(Wfd, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

[N1 D1]=tfdata(W1d, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

[N2 D2]=tfdata(W2d, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя


Получим значение передаточной функции дискретного компенсатора:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Посмотрим на поведение системы при использовании такого компенсатора. Промоделируем поведение системы в Simulink’e.


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 15. Система без компенсатора


Получим следующую характеристику:

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 16. Поведение системы без дискретного компенсатора


С дискретным компенсатором система примет вид:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 17. Система с компенсатором


И характеристика будет следующей:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис. 18. Поведение системы с дискретным компенсатором


Как видно из характеристик, полученный дискретный компенсатор достаточно хорошо компенсирует возмущение.


6. Формирование интегрального квадратичного критерия


Любой критерий оптимальности есть аналитическая оценка оптимизируемого качества системы, зависящая от её параметров, задающих x и возмущающих f воздействий на объект управления u. Таким образом, критерий оптимальности выражается в виде функционала J(u), зависящего от функции управления, а оптимальное управление Uопт определяется как функция, реализующая экстремум критерия качества, т. е. функционал J(u).

Изначально объект задан в виде:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рисунок 19 – Исходная модель объекта

Имеем систему, которая описывается моделью в области переменных состояния:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


A, B, S – постоянные матрицы;x – ошибка по каждой из координат и равна:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Необходимо построить систему, которая обеспечит стабилизацию этих координат Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом, т.е. сформировать оптимальный закон управления, минимизирующий функционал качества. Будем использовать квадратичный критерий вида:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Поскольку система имеет не первый порядок, то будем использовать квадратичный функционал, который примет вид:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


7.Синтез оптимального закона управления


Для начала необходимо перейти к модели переменных состояний. Для этого необходимо избавиться от запаздывания.

Разобьем запаздывание на 4 равных:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом.


Разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя первыми членами:

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Таким образом, наше исходное запаздывание можно представить в виде четырех последовательно соединенных блоков и переходить в область переменных состояний от следующей модели:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис.20.Вариант системы с учетом возмущающего воздействия и запаздывания


Передаточной функцию второй части объекта, в знаменателе содержит полином второго порядка, представим его в виде произведения двух полиномов первого порядка:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Таким образом, наше исходное запаздывание можно представить в виде четырех последовательно соединенных блоков и переходить в область переменных состояний от следующей модели:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектомСинтез системы автоматического управления непрерывным объектом


На основе полученных дифференциальных уравнений запишем матрицы A,B,S.


A=Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектомСинтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


C, D – единичные матрицы, служат в качестве весовых коэффициентов. B – управляющего воздействия, S – матрица возмущающего воздействия.

Функцию φ примем в виде:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


где R– положительно определенная симметричная матрица

Воспользуемся уравнением оптимальности Беллмана:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом,


Подставляя производные от φ и Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом в формулу (4.9), получим:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Оптимальный закон управления, минимизирующий выражение в скобках, равен:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Подставляя полученный закон управления в функциональное уравнение Беллмана, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных состояния, находим уравнения для нахождения матриц Rи L:


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом


Видно, что в первом уравнении системы неизвестной является только матрица R, после её нахождения, на основании второго уравнения системы, можно найти матрицу L, которая представляет собой матрицу коэффициентов обратной связи по возмущению.

И так рассчитаем оптимальный регулятор, для этой цели используем математический пакет MatLab.


clc,clear,echo on

clc,clear,echo on


% Расчёт оптимального регулятора

% задание матрицы коэффициентов при переменных состояния


clc

clear

A=[-0.045 0 0 0 0 0 0 0 0;1 -1 0 0 0 0 0 0 0;0 0 -0.07 0 0 0 0 0 0;0 0.01 0.01 -0.01 0 0 0 0 0;0 0 0 0.18 -0.18 0 0 0 0;0 0 0 0 0.26 -0.26 0 0 0;0 0 0 0 0 0.26 -0.26 0 0;0 0 0 0 0 0 0.26 -0.26 0;0 0 0 0 0 0 0 0.26 -0.26];

B =zeros(9)

B(1,1)=0.045;

C=eye(9);

S=zeros(9);

S(3,1)=0.07;

D=eye(9);

R=0.5*eye(9);

Q=R;


% решение уравнения Рикатти


[X,L,G,RR]=care(A,B,Q)


% матрица коэффициентов обратной связи по возмущению

L=G*S*(-G*B-A')


В результате получаем коэффициенты обратной связи по переменным состояния:


G1= 0.5089 G5= 0.0139 G9= 0.0001

G2= 0.0175 G6= 0.0033

G3 = 0.0968 G7= 0.0012

G4= 0.6909 G8= 0.0003


Матрица L имеет вид


Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом,


Построим модель для проверки работы рассчитанного регулятора.

Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом

Рис.21. Модель системы с оптимальным регулятором


Получим следующий график переходного процесса:


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: