Радиотехническая система передач
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра радиотехнических систем
РЕФЕРАТ
На тему:
«Параметры кодов. Контроль, обнаружение и исправление ошибок»
МИНСК, 2008
Параметры кодовОпределение 1. Код – это множество дискретных сигналов, выбранное для передачи сообщений. Коды характеризуются следующими параметрами:
1 Основание кода – число элементов множества , выбранное для построения кода. Например, если:
а) , то для троичного кода;
б) для двоичного кода.
Практически .
Замечание – Эффективность каналов передачи (хранения) информации возрастает с переходом на недвоичные коды.
2 Длина кода (значность) – число символов кодового слова.
Определение 2. Последовательности элементов (символов) длиной называются кодовыми словами или кодовыми векторами. Говорят, что слово
имеет длину ; ,
Параметр определяет следующие особенности класса кодов. Коды бывают:
а) равномерные (блоковые), ;
б) неравномерные, ;
в) бесконечные, . К бесконечным относят коды:
свёрточные;
цепные;
непрерывные.
У равномерных (блоковых) кодов поток данных разделяется на блоки по информационных символов, и далее они кодируются – символьными кодовыми словами.
Для непрерывного кода поток данных разбивается на блоки длины , которые называются кадрами информационных символов. Эти кадры кодируются символами кодового слова (кадрами кодового слова). При этом кодирование каждого кадра информационных символов в отдельные кадры кодового слова производится с учетом предыдущих кадров информационных символов.
На рисунке 1.1 показаны структуры кодирования блоковыми и непрерывными кодами.
k-битовый n-битовый n-битовый k-битовый
блок блок блок блок
Блоковый код
k0 битов/кадр n0 битов/кадр n0 битов/кадр k0 битов/кадр
Непрерывный код
Рисунок 1.1
3 Размерность кода – число информационных позиций кодового слова.
4 Мощность кода – число различных кодовых последовательностей (комбинаций), используемых для кодирования.
– максимальное число кодовых комбинаций при заданных и . Например, ; ; .
Определение 3. Код, у которого используются все комбинации, называется полным (безизбыточным).
Определение 4. Если число кодовых слов кода , то код называется избыточным.
Пример – Пусть , , .
Код – избыточный; .
5 Число проверочных (избыточных) позиций кодового слова .
Пусть , , . Тогда на длине слова из семи символов – три избыточных.
6 Скорость передачи кода . Для приведенного примера .
7 Кратность ошибки . Параметр указывает, что все конфигурации из
или менее ошибок в любом кодовом слове могут быть исправлены.
8 Расстояние Хэмминга между двумя векторами (степень удаленности любых кодовых последовательностей друг от друга) .
Определение 5. Если и кодовые векторы, то расстояние Хэмминга равно числу позиций, в которых они различаются. Может обозначаться и как – . Например, ;.
Замечание – С позиции теории кодирования показывает, сколько символов в слове надо исказить, чтобы перевести одно кодовое слово в другое.
9 Кодовое расстояние (минимальное расстояние кода) .
Определение 6. Наименьшее значение расстояния Хэмминга для всех пар кодовых последовательностей кода называют кодовым расстоянием. , где ; ; .
Определение 7. Код значности , размерности и расстояния называется - кодом.
Пример – Можно построить следующий код:
; ; ; .
Данный код можно использовать для кодирования 2–битовых двоичных чисел,
используя следующее (произвольное) соответствие:
Найдем кодовое расстояние этого кода:
;
;
;
;
;
.
Следовательно, для этого кода .
Замечание – характеризует корректирующую способность кода .
10 Вес Хэмминга вектора равен числу ненулевых позиций , обозначается . Например, .
Используя определение веса Хэмминга, получим очевидное выражение (1.1)
Пример – ;
.
Из выражения (1.1) следует, что минимальное расстояние Хэмминга равно , где ; ; .
Замечание – Для нахождения минимального расстояния линейного кода не обязательно сравнивать все возможные пары кодовых слов. Если и принадлежат линейному коду , то – также является кодовым словом кода . Такой код является аддитивной группой (определена операция сложения) и, следовательно, , где и , т.е. справедлива теорема.
Теорема 1. Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу ненулевых кодовых слов.
Т.к. , то возникает вопрос о величине , такой, чтобы код обеспечивал контроль ошибок, т.е. обнаружение и исправление ошибок.
2 Контроль ошибок
Кодовое слово можно представить в виде вектора с координатами в – мерном векторном пространстве. Например, для вектор находится в трёхмерном евклидовом пространстве, рисунок 1.2. Разрешенными для передачи выбраны вектора и .
X0
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 X1
0 0 1 0 1 1
X2
Рисунок 1.2
Рисунок дает наглядную алгебраическую интерпретацию понятия “мощность кода”:
а) кодовые слова полного кода определяют – мерное пространство, состоящее из последовательностей (– трехмерное пространство, состоящее при из 8 последовательностей полного кода);
б) кодовые слова избыточного кода определяют подпространство (подмножество) – мерного пространства, состоящее из последовательностей.
Под воздействием помех происходит искажение отдельных разрядов слова. В результате разрешённые для передачи кодовые векторы переходят в другие векторы (с иными координатами) – запрещённые. Факт перехода разрешённого слова в запрещённое для передачи слово можно использовать для контроля за ошибками.
Возможна ситуация, когда разрешённый вектор переходит в другой разрешённый кодовый