Xreferat.com » Рефераты по коммуникации и связи » Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Вступ


Широко застосовуваним математичним способом для дослідження радіотехнічних сигналів та кіл є розкладання складної функції у неперервну чи дискретну послідовність простіших, елементарних функцій. Це пояснюється тим, що для значної кількості кіл справедливий принцип накладання (суперпозиції), згідно з яким проходження складного сигналу через коло аналізують, розглядаючи окремо проходження кожної його елементарної складової, а відтак, додаючи на виході всі складові, визначають результуючий вихідний сигнал. Крім того, дуже часто розглядають завдання формування складних сигналів із більш простих, елементарних сигналів.

Завдання апроксимації, тобто наближеного подання складної функції сукупністю елементарних функцій на певному часовому інтервалі найчастіше розв'язують, виходячи з умови забезпечення мінімальної середньоквадратичної похибки. Аналіз показує, що апроксимацію складного сигналу із заданою точністю можна забезпечити мінімальною кількістю членів розкладу, якщо вибрати елементарні функції так, щоб вони були попарно ортогональні на даному часовому інтервалі.

Представлення складної функції у вигляді нескінченного ряду взаємо-ортогональних функцій називається узагальненим рядом Фур’є.

Як системи ортогональних функцій можна використати тригонометричні функції кратних аргументів, поліноми Ерміта, Лежандра, Чебишева, функції Бесселя та інші. Системи ортогональних функцій часто вибирають, виходячи з можливості практичної реалізації (генерування) елементарних складових. Достатньо просто реалізуються на практиці гармонічні функції – синусні (косинусні) коливання, що й зумовило широке застосування їх для розкладання складних коливань.

Сукупність усіх елементарних сигналів, які в сумі утворюють заданий складний сигнал, називають спектром сигналу у вибраному базисі елементарних сигналів.

1 Спектральний опис періодичних сигналів


Приймемо, що складний сигнал (напруга, струм, заряд, напруженість поля тощо) описуємо функцією Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, який змінюється періодично з частотою Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів де Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів – період повторення.

Відомо, що якщо функція Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів задовольняє умови Діріхле, тобто протягом періоду вона має скінченну кількість розривів першого роду, а також скінченну кількість максимумів та мінімумів і задовольняє умову абсолютної інтегрованості


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів


то вона може бути представлена рядом Фур’є у так званій тригонометричній формі в базисі ортогональних гармонічних функцій з кратними частотами:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (1а)


або в більш компактній формі:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (1б)


де Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів – постійна складова (середнє значення сигналу за період);

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів та Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів – амплітуди косинусних та синусних складових розкладу
Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів-го порядкового номера;

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів – амплітуда та початкова фаза Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів-ої гармонічної складової.

Ці величини визначають виразами:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (2)

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (3)

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (4)


Амплітуду Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів та початкову фазу Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів-ої гармонічної складової визначають через Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів та Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (5)

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (6)


Зауважимо, що практично всі реальні сигнали задовольняють умови Діріхле, тому на практиці при розкладанні сигналів ці умови спеціально не акцентують.

Із виразів (1a,б) випливає, що спектр складного періодичного сигналу в загальному випадку складається з постійної складової A0 та нескінченної кількості гармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, кратних основній частоті Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. Ці складові називають гармоніками періодичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називають дискретним або лінійчастим.

Гармоніку, яка відповідає номерові Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, називають першою або основною гармонікою. При Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів маємо другу гармоніку, при Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів – третю і т.д. Амплітуди відповідних гармонік дорівнюють Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, їх початкові фази – Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. Постійну складову також можна розглядати як гармоніку з нульовою частотою та амплітудою, що дорівнює Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів.

У загальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різні амплітуди та початкові фази. Щоб отримати наочне уявлення про спектр, використовують графічне представлення спектра у вигляді двох спектральних діаграм: амплітудної та фазової. При їх побудові по oсі абсцис відкладають частоту або номер гармоніки, а по осі ординат – відповідно величини амплітуд Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів гармонік та їх початкові фази Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів.

Ha рис. 1 подані приклади амплітудної (а) та фазової (б) спектральних діаграм деякого періодичного коливання.


Рисунок 1 – Спектральні діаграми амплітуд (а) та фаз (б) періодичного сигналу


Зовнішній вигляд спектральних діаграм пояснює, чому спектр періодичної функції називають лінійчастим. Спектральні діаграми також дають наочне уявлення про «ширину» спектра, тобто про смугу частот, у межах якої містяться усі гармоніки сигналу.

Із спектральних діаграм видно, що віддаль між двома сусідніми гармоніками по осі частот (тобто віддаль між вертикальними лініями) дорівнює значенню частоти Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів основної гармоніки періодичного сигналу. Це означає, що зі збільшенням частоти повторення сигналу віддаль між лініями на спектральних діаграмах збільшується і навпаки. Крім того, зміна частоти (або періоду) сигналу впливає також і на величини амплітуд гармонік, що випливає з виразів (3)–(5).

Аналіз виразів (2)–(4) показує, що якщо функція Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів є парною (тобто Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів), то при тому всі коефіцієнти Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. Це означає, що в ряд Фур’є входять лише косинусні складові і постійна складова:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (7)


а початкові фази всіх гармонік дорівнюють нулеві.

Якщо ж функція Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів є непарною (тобто Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів), то в цьому разі дорівнюють нулеві постійна складова та всі коефіцієнти Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів та, як випливає з (6), початкові фази всіх гармонік дорівнюють – 380.

Ряд Фур'є має вигляд:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (8)


Розглянемо приклади визначення спектрів деяких поширених періодичних сигналів.

Періодична послідовність прямокутних імпульсів з амплітудою A та тривалістю Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, які повторюються з частотою Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (див. рисунок 14a), причому Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. При вибраній системі відліку часу функція Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів є парною, тому її спектр складається лише з косинусних складових та постійної складової.

Постійна складова сигналу:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (9)


Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам косинусних складових:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (10)


Отже, ряд Фур’є заданого сигналу має вигляд:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (11)


Амплітуди гармонік залежать від величини Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів а їх початкові фази визначає знак функції Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів


Рисунок 2 – Періодична послідовність прямокутних імпульсів (а) та її амплітудний (б) і фазовий (в) спектри при співвідношенні Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів


Із виразу (10) бачимо, що амплітуди тих гармонік дорівнюватимуть нулеві, для номерів k яких виконується співвідношення:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. (12)


Для випадку, що його розглядаємо (Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів), із (12) одержуємо:

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (13)


тобто четверта, восьма, дванадцята і т.д. гармоніки матимуть нульову амплітуду.

Сусідні спектральні лінії розділені на осі частот інтервалом, який дорівнює Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, про що згадано раніше. Із виразу (9) бачимо, що постійна складова сигналу при малих співвідношеннях Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів значно менша від амплітуди A імпульсу. Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках для спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від ω = 0 до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 38 % енергії сигналу. У випадку дуже малих співвідношень Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, що трапляється, наприклад, у радіолокаційній техніці, де Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів= 1/200...1/2500, амплітуди сусідніх гармонік стають дуже близькими за величиною. Це видно з формули (10), яку при співвідношеннях Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів можна наближено записати :


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (14)


Це означає, що амплітуди гармонік практично не залежать від номера гармоніки і тому при аналізі треба враховувати велику кількість гармонік.

Періодичний сигнал пилкоподібної форми з періодом Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів та амплітудою A (див. рис.2).

B інтервалі Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів функція Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів непарна, тому її спектр складається лише з синусних складових, амплітуди яких визначаємо на підставі формули (4):


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (15)


Ряд Фур'є даного коливання має вигляд:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (16)


Із (15) видно, що амплітуди гармонік зменшуються прямопропорційно номерові k гармоніки, початкові фази всіх непарних гармонік дорівнюють – 38°, а парних гармонік + 38°.


2 Комплексна форма опису ряду Фур’є


Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують компактнішу комплексну форму, до якої можна перейти від (1 а,б), використавши формулу Ейлера:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. (17)


Рисунок 3 – Періодичний сигнал пилкоподібної форми (а) та його амплітудний (б) і фазовий (в) спектри


Справді, з урахуванням (17) записуємо:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (18)


Величину


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (19)

прийнято називати комплексною амплітудою k-ої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармоніки.

Величину: Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів називають комплексно спряженою з Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів величиною.

Тепер вирази (1a,б) можна записати так:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (20)


Отриманий вираз є комплексною формою запису ряду Фур’є. У виразі (20) додавання ведеться як за додатними, так і за від’ємними значеннями k. Це означає, що в комплексний ряд Фур’є входять гармоніки з додатними і від’ємними частотами. Від’ємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони з’являються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.

Комплексні амплітуди Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів можна визначити на підставі функції Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів за формулою:


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (21)


Ha підставі (21) знаходимо взаємозв'язок між величинами Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів та Ck і Sk, які описуємо виразами (3), (4):


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. (22)

Зауважимо, що для від’ємних значень Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів Для Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів де A0 визначаємо виразом (2).

Формули (20) та (21) називають парою перетворень Фур’є. Перша формула дає змогу визначити сигнал, якщо відомий його спектр, друга – визначити спектр сигналу, якщо задана функція Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, яка описує сигнал.


3 Спектральний опис імпульсних сигналів


Приймемо, що заданий сигнал Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів має форму одинокого імпульсу (див. рис. (16а), який відрізняється від нуля на інтервалі Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів.

Крім того, функція Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів задовольняє умови Діріхле в будь-якому скінченному інтервалі і є абсолютно інтегрованою, тобто


Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів


Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетворимо задану неперіодичну функцію Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів у періодичну Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів повторенням її з довільним періодом Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (рис. 16б). Отриману періодичну функцію Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів можна розкласти в ряд Фур’є, причому коефіцієнти ряду Фур’є Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів як період. Це випливає з виразів (2)–(4). Якщо період Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і залишиться лише первинний імпульс Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів.


Рисунок 4 – Одинокий (а) та періодичний (б) імпульсні сигнали однакової форми


Отже, Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (23)


Збільшуючи період Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів до нескінченності, отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічних складових, сума яких дає початкову неперіодичну функцію Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів, задану в інтервалі Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Кількість гармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при цьому нескінченно велика, тому що при Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів основна частота функції Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів. Це означає, що віддаль по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка дорівнює основній частоті Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів) стає нескінченно малою, а спектр – суцільним. Отже при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нескінченно великої кількості гармонік із нескінченно малими амплітудами.

Виразимо сказане раніше математично. Амплітуди косинусних та синусних складових k-ї гармоніки періодичного сигналу Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів описуємо виразами:

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (24a)

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (24б)

де Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (25)


Якщо період T зростає до нескінченності, то вирази (24 а,б), (25) повинні зберігати свій сенс, проте частота Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів прямуватиме до нуля, і її необхідно замінити нескінченно малою величиною Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів Крім того, добуток Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
-->

Похожие рефераты: