Динамический синтез систем автоматического управления

ЛАЧХ желаемой системы должен проходить выше контрольной точки А_к(w_к, L_к)

Первые две асимптоты располагаются так, что через контрольную точку А_к проходит первая асимптота. При этом коэффициент усиления будет иметь минимальную возможную величину, равную предельному значению, что является благоприятным.

с^-1.

Однако частота точки пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел w₀ будет значительно больше минимального. Это является нежелательным, т. к. вся ЛАХ будет сдвигаться в область высоких частот.

Таким образом, мы сдвигаем первую частоту сопряжения и совмещаем ее с частотой w_а. Отсюда находим первую постоянную времени желаемой ЛАХ

с

Для того, чтобы реальная ЛАХ не заходила в запретную область при w=w_k, приподнимаем ЛАХ на 3 дБ.

Построение среднечастотного участка.

Среднечастотный участок определяет устойчивость, запасы устойчивости и качество переходного процесса. Данный участок характеризуется двумя параметрами: частотой среза и наклоном асимптоты. Чем больше частота среза, тем выше быстродействие системы, тем меньше время регулирования t_p. Наиболее целесообразно брать наклон асимптоты –20 дБ/дек, так как чем больше наклон асимптоты, тем сложнее обеспечить хорошие динамические свойства системы.

Т.к. заданы прямые показатели качества, то воспользуемся методом Солодовникова В.В. Для нахождения используем готовые номограммы.

;

Выбираем частоту среза

Чем больше w_c, тем более быстродействующая будет система; чем меньше w_c, тем проще корректирующее устройство.

Выбираем w_c=0.9w_п=

На оси logw отмечаем точку, соответствующую частоте среза w_c, и через нее проводим прямую с наклоном -20дБ/дек. Эта прямая будет среднечастотной асимптотой желаемой ЛАХ.

Избыток фаз определяем в соответствии с заданным перерегулированием. Значение L₁ находим из номограммы, для ; L1=25дБ.

Среднечастотный участок проводим вправо до достижения L₁=-25дБ. Это значение достигается при logw₃>logw_c дек. Поэтому совмещаем частоту w₃ с частотой w_с, для упрощения корректирующего устройства. Избыток фаз незначительно уменьшится, но это незначительно повлияет на перерегулирование системы.

Левая граница определяется сопряжением среднечастотного и низкочастотного участков. Из Рисунка видно, что сопряжение участков происходит при logw₂=1,42 дек. Следовательно, частота сопряжения w₂= 26,303с^-1.

Высокочастотные асимптоты желаемой ЛАЧХ выполняем параллельными высокочастотным асимптотам ЛАЧХ исходной системы. То есть, на частоте w_с наклон становится -80дБ/дек.

Желаемая ЛАХ представлена на миллиметровке.

Корректирующие звенья могут вводиться в систему различными способами: а) последовательно; б) параллельно; в) в виде местной обратной связи.

В данной работе КУ включается последовательно, т. к. в маломощных системах нецелесообразно применение корректирующих устройств, сложность моделей которых соизмерима со сложностью моделей всей системы. Простота - достоинство ПКУ. Но есть и недостаток – эффект коррекции уменьшается с течением времени эксплуатации системы, что связано с изменением элементов параметров системы из-за процессов старения и износа. Поэтому при использовании ПКУ предъявляются жесткие требования к стабильности параметров элементов системы.

Определим передаточную функцию корректирующего устройства последовательного типа по формуле:

Получим ПФ корректирующего устройства и определим параметры:

где ,

где

Структурная схема скорректированной системы примет вид

_

Рисунок 1.13 – Структурная схема скорректированной системы

ЛАХ корректирующего устройства получается при вычитании исходной ЛАХ из желаемой (рисунок на миллиметровке).

Проверим, соответствует ли система с корректирующим устройством требованиям ТЗ.

Определим ошибку системы.

Относительную динамическую ошибку системы определим как в п. 1.1 по формуле:

Передаточная функция разомкнутой системы:

(1.10)

Частотная передаточная функция разомкнутой системы:

Тогда, модуль частотной передаточной функции:

Подставляя значение ω_k в формулу для , находим

Относительная динамическая ошибка системы 1,6%, следовательно, скорректированная система удовлетворяет требованиям ТЗ.

Рассмотрим, удовлетворяет ли исходная система требованию по качеству переходного процесса: время регулирования t_p- не более 0.25 с, перерегулирование - не более 20%.

Для проверки величин и t_p построим график переходной характеристики исходной системы по выходу ДОС:

,

где – передаточная функция замкнутой системы по выходу ДОС.

Рисунок 1.14 – График переходной характеристики

,

где h_max=1,188 - максимальное значение регулируемой величины;

=1- установившееся значение регулируемой величины в результате завершения переходного процесса.

Перерегулирование скорректированной системы удовлетворяет ТЗ.

Определим время переходного процесса t_p:

построив “коридор” с величину , из Рисунка 1.14 определяем, что t_p=0.147 с.

Временя регулирования t_p удовлетворяет требованию ТЗ.

4. Анализ скорректированной системы в частотной области

1.4.1 Рассчитаем и построим ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной разомкнутой системы

Используем передаточную функцию разомкнутой системы (1.10)

Для получения частотной передаточной функции заменим S на jw и преобразуем

Вещественная и мнимая части соответственно:

(1.11) ; (1.12)

Тогда

.

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы представлены ниже.

ЛАЧХ скорректированной системы сместилась вправо, следовательно, необходимые требования по точности выполняются, запасы устойчивости увеличились по сравнению с системой с пропорциональным регулятором.

–– ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной системы

- - ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.15 ЛАЧХ и ЛФЧХ систем

Построим график АФЧХ по имеющимся формулам (1.11) и (1.12) и сравним его с графиком системы с пропорциональным регулятором. Он представляет собой годограф Найквиста, поэтому сделаем ниже дополнительно выводы об устойчивости системы.

Составим таблицу, изменяя w от 0 до ∞:

Таблица 1.3

W,

P(w)

Q(w)

0	-10,604	-∞
852,2	0	5,806*10-3
274,2	-0,094	0
	0	0

–– годограф скорректированной системы

- - годограф системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.16 – Годограф Найквиста

Характеристическое уравнение имеет вид:

Все корни характеристического уравнения, кроме одного нулевого, левые, следовательно, разомкнутая система на границе устойчивости. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особу точку (-1; j0). Данное условие выполняется, значит, замкнутая система устойчива.

Построим годограф Михайлова для системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

(1.13)

Функция Михайлова имеет вид:

(1.14)

Выполним замену S на jw и выделим вещественную и мнимую части соответственно.

.

;

Найдем значения X(w) и Y(w), изменяя при этом w от 0 до ∞:

Таблица 1.4

w,	X(w)	Y(w)
0	85.227	0
26.125	0	114.613
79.717	-648.966	0
275.355	0	-13120
816.259	6.473*106	0

–– скорректированной системы

- - системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.17 годограф Михайлова для замкнутой системы

Годограф Михайлова начинается на вещественной положительной оси и при изменении частоты w от 0 до + последовательно проходит 5 квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в ноль. Это свидетельствует об устойчивости замкнутой системы.

1.4.2 АЧХ “вход- выход системы”, “вход- выход ДОС”, “вход- выход УМ”

Рассчитаем и построим для замкнутой системы АЧХ “вход- выход системы”. Для этого воспользуемся передаточной функцией замкнутой системы (1.13). Заменим s на jw и преобразуем данное выражение:

Выделим вещественную и мнимую части соответственно:

Находим

(1.15)

График АЧХ “вход- выход системы” представлен ниже.

Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход ДОС”. Запишем передаточную функцию замкнутой системы по выходу ДОС, которая имеет вид:

Преобразуем данное выражение:

Вещественная и мнимая части соответственно:

(1.16)

Получим модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу ДОС:

(1.17)

––– АЧХ «вход- выход ДОС»,

- - - АЧХ «вход- выход системы».

Рисунок 1.18 АЧХ

Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход УМ ”. Передаточная функция замкнутой системы по выходу УМ имеет вид:

(1.18)

Вещественная и мнимая части соответственно:

Модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу УМ:

Рисунок 1.19 АЧХ вход-выход УМ

1.4.3 Частота среза разомкнутой системы, запасы устойчивости, критический коэффициент усиления, показатель колебательности

Частота среза и запасы устойчивости разомкнутой системы определяются по ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определим их из рисунка 1.15

ЛАЧХ пересекает ось в точке lg(w)=1.614 дек. Тогда w_ср=41.072 с^-1

ЛФЧХ пересекает уровень -180° при lg(w)=2.438 дек. Тогда w_кр=274.35 с^-1

Запас устойчивости по амплитуде найдем по годографу Найквиста:

Где h_зап- расстояние до точки пересечения годографа Найквиста с действительной осью. (рис. 1.16)

дБ

Запас устойчивости по фазе определим по рисунку 1.15:

φ_зап=φ(w_cp)+180⁰

φ_зап=54,733⁰

Критический коэффициент найдем с использованием критерия Гурвица:

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

(3.1)

Тогда оставим переменным параметр: K.

Получим следующие коэффициенты:

Для нахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующие условия:

1. одинаковость знака всех коэффициентов

2. для системы 5 порядка определитель D4=0

Решая уравнение в пакете MathCad получим следующие результаты:

Показатель колебательности определим по формуле:

,

и N(0) находим по АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС

N(0)=1

N_max=1.239,

Следовательно.

Сравним результаты с результатами, полученными в пункте 1.2.3

Таблица 1.5 – Сравнительная характеристика полученных результатов

	Lзап, дБ	, o	Ккр	М		tp, с
С регулятором	0,409	0,75	93,3	75,214	95	22,72
С коррекцией	10,6	54,733	431	1.239	18,8	0,147

1.4.4 Оценки прямых показателей качества

Оценим σ и t_p по вещественной частотной характеристике системы.

Построим вещественную частотную характеристику (ВЧХ) “вход – выход ДОС”. Для этого используем выражение (1.16).

Рисунок 1.20 ВЧХ вход – выход ДОС

Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной характеристики.

Оценим σ по формуле:

,

где максимальное значение ВЧХ;

минимальное значение ВЧХ;

P(0)- значение ВЧХ при w=0.

Подставляем значения и находим: .

t_p оценим по формуле:

С помощью трассировки определили w_n= 65,5 c^-1.

Следовательно t_p>0.048c^-1.

ЛЧХ “вход- выход ДОС”

Для построения найдем L(w), используя выражение (1.15):

ЛФЧХ “вход- выход ДОС” построим по формуле

Подставляя ранее полученные выражения Q(w) и P(w) (1.16), получим

Рисунок 1.21 ЛАЧХ и ЛФЧХ вход- выход ДОС

Найдем нули и полюса замкнутой системы “вход- выход ДОС” и изобразим их на комплексной плоскости.

Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции, а корни полинома знаменателя – полюсами.

Найдем их с помощью пакета MathCad [приложение 1].

Таблица 1.6– Нули и полюса замкнутой системы «вход- выход ДОС»

нули	-26.316	-500
полюса	-610.77+159.74j	-610.77-159.74j	-234.44	-26.175,89-j25.657	-26.175+j25.657

Рисунок 1.22 Нули и полюса на комплексной плоскости

Вычислим корневые оценки прямых показателей качества [1.§ 8.6].

Степень устойчивости η – это расстояние от мнимой оси до наиболее близко расположенного к ней полюса.

Ближайшим к мнимой оси является вещественный полюс, значит η – апериодическая степень устойчивости. .

Ближайшие к мнимой оси полюса называются доминирующими.

Доминирующие полюса дают составляющей переходного процесса затухание наиболее медленно. Поэтому по η можно получить оценку времени регулирования:

Колебательность ,

где β– мнимая часть, α– вещественная часть доминирующих комплексно-сопряженных полюсов.

Доминирующие комплексно-сопряженные полюса: -26.175± j25,657.

Удаленные от начала координат полюса увеличивают перерегулирование

Получаем

Определим влияние нулей на оценки прямых показателей качества.

Близко расположенные нуль и полюс взаимно компенсируются. Скомпенсированный нулем полюс не участвует в оценке прямых показателей качества.

,

где λ_i – вещественная часть полюса;

n_j - вещественная часть нуля.

В данной работе близко расположенные нули и полюса отсутствуют.

Оценка точности системы

Точность СУ оценивается в статическом режиме – в режиме, соответствующем окончанию переходного процесса (t→Ґ).

Анализ точности начинается с передаточной функции замкнутой системы по ошибке Ф_Е(s). [1, § 8.3]

Эту передаточную функцию разлагаем в ряд:

Где с_i – коэффициенты ошибки.

Найдем выражения для вычисления первых двух коэффициентов ошибки и занесем в табличку.

Таблица 1.7

	С0	С1
выражение для ошибки	0
Значение ошибки	0	0.008

Рассчитаем установившуюся ошибку системы для заданных в ТЗ сигналов.

Тогда для входного сигнала получаем установившуюся ошибку:

Для входного сигнала с постоянной скоростью, где А=6В/с, установившаяся ошибка:

В

Установившуюся ошибку для гармонического сигнала вида рассчитаем по следующей формуле:

, (1.19)

где - заданная частота,

-модуль частотной передаточной функции по ошибке,

А₀=1В- амплитуда входного сигнала,

- аргумент частотной передаточной функции по ошибке.

.

Поскольку частота выходного сигнала (ошибки) совпадает с частотой входного сигнала, найдем N_E и φ_E на частоте .

Определим частоту гармонического входного сигнала , для которой амплитуда установившихся колебаний на выходе усилителя мощности равна 110В при амплитуде входного сигнала 1В.

определим по графику АЧХ “вход-выход УМ” (Рис. 1.19). Получаем, что w₀=11,215.

Найдем N_E частотной передаточной функции по ошибке. Выделим вещественные и мнимые части:

Модуль частотной передаточной функции по ошибке:

N(w₀)=0.1

Определим аргумент частотной передаточной функции по ошибке:

; .

Подставляя найденные значения в формулу (1.19) получим установившуюся ошибку при гармоническом входном сигнале:

2. Отработка типовых входных сигналов

1. Единичная ступенька

1. Переходная функция по выходу системы

Известно несколько способов расчета реакции системы на входные сигналы. В данной работе используем метод преобразований по Лапласу.

Запишем переходную функцию системы по выходу системы при входном воздействии X(t) = 1(t)

– изображение по Лапласу входного единичного сигнала.

Переходная функция h(t) определяется по формуле:

(2.1)

Найдем переходную функцию по выходу системы:

; (2.2)

Начальные и конечные значения переходной функции находятся по формулам:

(2.3)

Начальное и конечное значение