Динамический синтез систем автоматического управления

(2.4)

(2.5)

Т.е. конечное значение переходной характеристики системы по выходу системы зависит только от коэффициентов усиления звеньев.

Найдем переходную функцию по выходу ДОС:

; (2.6)

По формулам (2.3) найдем начальное и конечное значение переходной функции по выходу ДОС:

(2.7)

(2.8)

Т.е. переходная характеристика системы по выходу ДОС не зависит от параметров системы.

Реакция системы представлена на Рисунке 1.14 (п. 1.3.5).

Найдем переходную функцию по выходу УМ [приложение 2]:

; (2.9)

По формулам (2.3) найдем начальное и конечное значение переходной функции по выходу системы:

(2.10)

(2.11)

Т.е. начальное значение переходной характеристики системы по выходу УМ зависит не только от коэффициентов УМ и КУ системы, а также от частот сопряжений w₂ и w_b.

2. Переходные характеристики системы

По формуле (2.2) построим переходный процесс по выходу системы.

Рисунок 2.1 Переходная характеристика по выходу системы

h_max=0.105, h_уст=0,087, тогда

,

Определим время переходного процесса t_pпостроив “коридор”, равный , из Рисунка 2.1 определяем, что t_p=0.151с

Перерегулирование и время переходного процесса по выходу ДОС соответственно:

, t_p=0.147 с.

Рисунок 2.4 Переходная характеристика системы по выходу УМ

3. Сравнение переходных характеристик

Определенные по переходным характеристикам прямые показатели качества, для сравнения представим в табл. 2.2 вместе с оценками, полученными в пункте 1.4.4.

Таблица 2.2

По данным таблицы можно сделать вывод, что постоянная времени датчика обратной связи незначительно влияет на качество переходного процесса.

Показатели качества, полученные по переходным характеристикам, по ВЧХ и корневым оценкам, отличаются. Это объясняется тем, что получаем оценку, а не само значение.

Запишем все значения в таблицу для наглядности.

Таблица 2.3

Сравнивая начальные и конечные значения переходных характеристик по всем выходам, определенные аналитически по передаточным функциям в пункте 2.1.1, с их расчетными значениями, мы видим, что они совпадают.

4. Величина ступенчатого сигнала

Определим величину Х₀ ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности усилителя мощности. Допустимая величина входного сигнала ограничена напряжением насыщения усилителя мощности, равным 110 В. Наибольшее значение выхода УМ достигается при t = 0. Допустимую величину "ступеньки" Х₀ определим из пропорции:

;

Подставляя значения, получаем.

Величина Х₀ = 0,002В.

2. Сигнал с постоянной скоростью

Рассчитаем и построим график ошибки системы при отработке входного сигнала с постоянной скоростью, вида:

X(t) = АЧt, где А=6 В/с.

Изображение по Лапласу сигнала: ,

Переходная функция по ошибке примет вид:

;

––– график ошибки при отработке входного сигнала с

постоянной скоростью;

график вынужденной (установившейся) составляющей ошибки

при отработке входного сигнала с постоянной скоростью.

Рисунок 2.5

Интервал времени, на котором практически (с точностью 5%) устанавливается вынужденный режим определим по рисунку 2.5.

Таким образом, t_в=0.13 с.

Время, за которое практически устанавливается вынужденный режим, t_в=0.13с меньше, чем время регулирования t_p=0.147c.

3. Гармонический сигнал

4. Определение частоты гармонического сигнала

Определим частоту гармонического сигнала по АЧХ замкнутой системы по выходу УМ (п. 1.4.2).

Из Рис. 1.19 следует, что значение частоты₀ =11.823^-1.

Таким образом, частота гармонического входного сигнала, при которой амплитуда установившихся колебаний на выходе УМ равна 110В, при амплитуде входного 1В, равна 11.823^-1.

2. График реакции системы по выходу ДОС при подаче гармонического сигнала на вход системы

Входной сигнал и его изображение по Лапласу имеют вид:

X(t) = sin(w₀Чt₎, (2.11)

.

Реакцию системы на гармонический входной сигнал по выходу ДОС определим по формуле:

На Рисунке 2.6 представлен график реакции на входное гармоническое воздействие по выходу ДОС.

реакция по выходу ДОС

––––– входное гармоническое воздействие

Рисунок 2.6

2. Амплитудно-фазовые искажения отработки входного сигнала

Амплитудные искажения отработки входного сигнала определим по формуле:

где – максимальное значение амплитуды выходного сигнала;

– максимальное значение амплитуды входного сигнала;

и определим по графику вынужденной составляющей сигнала по выходу ДОС (Рис. 2.6)

=1,083, =1

Подставляя значения, получаем:

Определим амплитудные искажения по ЛАЧХ разомкнутой системы на частоте w₀.

По Рис. 1.21 на частоте w₀=11,823с^-1

Фазовые искажения отработки входного сигнала определяются по формуле:

.

где t = 0.011 с - временной сдвиг между входным сигналом и сигналом ДОС, определено по Рис. 2.6. и – по ЛФЧХ (рис 1.21) отличаются незначительно, что можно объяснить округлениями при вычислении.

3. Область устойчивости

Рассчитаем и построим границу области устойчивости на плоскости параметров «постоянная времени корректирующего устройства Т_a –коэффициент усиления разомкнутой системы К».

Построим область устойчивости c помощью критерия Гурвица.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

(3.1)

Тогда оставим переменными 2 параметра: K и Т₂.

Получим следующие коэффициенты:

Для нахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующие условия:

3. одинаковость знака всех коэффициентов

4. для системы 5 порядка определитель D4=0

Решая уравнение в пакете MathCad, [приложение 3]получим следующий график:

Рисунок 3.1 Область устойчивости

Точка K_кр, найденная в пункте 1.4.3 практически совпадает с точкой, полученной по графику. Значение коэффициента, соответствующее расчетным параметрам находится в зоне области устойчивости. Т.е. при данных параметрах система устойчива. Небольшая погрешность в расчетах возникает из-за округлений.

4. Анализ системы с учетом нелинейности

4.1 Определение автоколебаний в системе

Для определения возможности возникновения автоколебаний воспользуемся методом гармонической линеаризации. Суть метода заключается в замене нелинейного элемента эквивалентным линейным. Признак эквивалентности – одинаковость преобразования гармонического входного сигнала. Эквивалентный линейный элемент характеризуется эквивалентным комплексным коэффициентом усиления.

Переход к эквивалентному линейному элементу позволяет исследовать систему частотными методами (можно определить возможность возникновения в системе автоколебаний, а также их параметры).

В системе присутствует симметричная однозначная нелинейность типа “насыщение”.

Рисунок 4.1

, где (4.1)

эквивалентный комплексный коэффициент усиления;

А- амплитуда автоколебаний.

Для нелинейности типа насыщения , а

Рассчитаем ЭККУ нелинейного элемента с данными параметрами.

X_вых=f(X_вх)

(4.2)

Воспользуемся частотным методом анализа симметричных автоколебаний.

В замкнутой системе имеют место незатухающие колебания управляемой величины, при условии:

- условие существования симметричных автоколебаний

На комплексной плоскости строим . На этой же плоскости по выражению строится годограф инверсного ЭККУ.

В системе возникнут автоколебания управляемой величины, если годограф Найквиста и годограф инверсного ЭККУ пересекутся.

Передаточная функция линейной части системы имеет вид:

;

Рисунок 4.2

Из рисунка 4.2 видно, что годографы не имеют точек пересечения, следовательно, в системе отсутствуют автоколебания.

2. Влияние коэффициента усиления разомкнутой системы на условие возникновения автоколебаний

В замкнутой системе будут возникать автоколебания, если годограф Найквиста будет проходить через точку (-1;j0), т.е. система будет находиться на границе устойчивости. Граница устойчивости будет достигаться при коэффициенте усиления системы, равного критическому, т.е. при К=К_кр=431с^-1.

2. Анализ абсолютной устойчивости положения равновесия системы по критерию Попова

Если замкнутая система состоит из устойчивой линейной части и одного безынерционного нелинейного элемента со статической характеристикой, расположенной в секторе от 0 до К, то достаточным условием устойчивости положения равновесия системы в начале координат является следующее:

,

где q- произвольное число, использованное для доказательства критерия

К-коэффициент наклона прямой, ограничивающей сектор расположения статической характеристики нелинейного элемента.

Преобразуем АФЧХ линейной части системы, домножив мнимую часть на w.

Формулировка критерия: для абсолютной устойчивости положения равновесия системы достаточно, чтобы годограф линейной преобразованной части системы располагался справа от прямой Попова

Т. к. линейная часть системы устойчива, то критерий Попова можно применять напрямую.

Вещественная и мнимая части преобразованной частотной передаточной функции имеют вид:

Таблица 4.2

Рисунок 4.3

Из Рисунка 4.3 видно, что через точку нельзя провести прямую, такую, что преобразованная АФЧХ лежала бы справа от этой прямой.

Следовательно, для системы характерна абсолютная неустойчивость положения равновесия.

Заключение

В результате проведения синтеза была скорректирована система, удовлетворяющая требованиям технического задания. Соответствие приведено ниже в таблице.

Таблица

Список использованной литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. “Теория систем автоматического регулирования” — М.: Наука, 1972.

2. Зырянов Г.В., Кощеев А.А. “Динамический синтез систем автоматического управления”. Учебное пособие по выполнению курсовой работы.- Челябинск, 2001.

3. Павловская О.О. “Лекции по курсу ТАУ”