Xreferat.com » Рефераты по коммуникации и связи » Системы случайных величин

Системы случайных величин

Введение


В статистической радиотехнике частот приходится иметь дело одновременно с несколькими случайными величинами, например, мгновенные значения напряжения на выходах антенной решетки при воздействии на ее вход сигналов и помех и т.д. Свойства системы нескольких СВ не исчерпываются свойствами отдельной СВ, так как при этом необходимо описание связи между составляющими системы СВ.

1. Функции распределения системы из двух случайных величин


Функцией распределения системы из двух СВ Системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Системы случайных величин и Системы случайных величин:


Системы случайных величин.


По определению, функция распределения Системы случайных величин есть вероятность попадания случайной точки с координатами Системы случайных величин в квадрат с бесконечными размерами, расположенный левее и ниже этой точки на плоскости Системы случайных величин. Отдельно для каждой СВ X и Y можно определить одномерную функцию распределения, например, Системы случайных величин есть вероятность попадания в полуплоскость, расположенную левее точки с координатой x. Также и Системы случайных величин есть вероятность попадания в полуплоскость ниже точки y.

Свойства Системы случайных величин:

1) Системы случайных величин есть неубывающая функция обоих своих аргументов;

2) на - Ґ по обеим осям она равна нулю;

3) при равенстве +Ґ одного из аргументов согласно другому аргументу она превращается в одномерную функцию распределения;

4) если оба аргумента равны +Ґ, то Системы случайных величин = 1.

Вероятность попадания случайной точки в квадрат R с координатами Системы случайных величин по оси x и Системы случайных величин по оси y равна


Системы случайных величин.


Системы случайных величин существует как для непрерывных, так и для дискретных СВ.

2. Двумерная плотность вероятности


Двумерная плотность вероятности есть предел следующего отношения:


Системы случайных величин.


Если Системы случайных величин не только непрерывна, но и дифференцируема, то двумерная плотность вероятности Системы случайных величин есть вторая смешанная частная производная функции Системы случайных величин по x и по y.

Размерность Системы случайных величин обратна произведению размерностей СВ X и Y.

Таким образом, двумерная плотность вероятности есть предел отношению вероятности попадания точки в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба размера прямоугольника стремятся к нулю. Геометрически Системы случайных величин можно представить как некоторую поверхность.

Если рассечь эту поверхность плоскостью, параллельной плоскости x0y, и спроецировать полученное сечение на плоскость x0y, то получится кривая, называемая "кривой равной плотности вероятности".

Иногда удобно рассматривать семейства кривых равной плотности при разных уровнях сечения. Как и для одномерной плотности вероятности, здесь вводится понятие элемента вероятностиСистемы случайных величин.

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область G определяется двумерным интегралом от Системы случайных величин по этой области. Геометрически это объем, ограниченный Системы случайных величин и областью G.

Если G есть прямоугольник с координатами вершин по оси x: Системы случайных величин и Системы случайных величин, а по оси y: Системы случайных величин и Системы случайных величин, то вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник определяется интегралом


Системы случайных величин.


Свойства двумерной плотности вероятности:

Системы случайных величин есть неотрицательная величина;

свойство нормировки аналогично одномерной плотности вероятности, но при двумерном интегрировании в бесконечных пределах.


3. Условные законы распределения отдельных СВ, входящих в систему СВ


Имея закон распределения системы двух СВ, всегда можно определить законы распределения отдельных СВ, входящих в систему. Например, Системы случайных величин и Системы случайных величин. Если известна плотность вероятности Системы случайных величин, то Системы случайных величин.

Аналогично определяется Системы случайных величин.

Таким образом, зная двумерную плотность вероятности, всегда можно определить одномерную плотность вероятности. Обратную задачу в общем случае решить невозможно. Ее можно решить, если известны условные плотности вероятности или функции распределения.

Условным законом распределения СВ, входящей в систему, называется ее закон распределения, определенный при условии, что другая СВ приняла определенное значение: Системы случайных величин. В этом случае можно найти двумерную плотность вероятности по формуле Системы случайных величин. Из этих выражений следует:


Системы случайных величин, Системы случайных величин.


4. Статистическая взаимозависимость и независимость


СВ X называется независимой от СВ Y, если закон распределения величины X не зависит от того, какое значение приняла СВ Y. В этом случае Системы случайных величин при любом y. Необходимо заметить, что если СВ X не зависит от СВ Y, то и СВ Y не зависит от СВ X. Для независимых СВ теорема умножения законов распределения имеет вид:


Системы случайных величин.


Это условие рассматривается как необходимое и достаточное условие независимости СВ. Различают понятия функциональной и статистической зависимостей. При статистической зависимости нельзя указать точно значение, которое принимает одна из СВ, если известно значение другой, можно лишь определить влияние в среднем. Но по мере увеличения взаимозависимости статистическая зависимость превращается в функциональную.


5. Числовые характеристики системы двух СВ. Коррелированность


Как и для одной СВ, для системы двух СВ можно использовать начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка k,s системы (X, Y) называется МО произведения: Системы случайных величин; Системы случайных величин.

Центральным моментом порядка k,s системы (X, Y) называется МО произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин.

Для непрерывных СВ –


Системы случайных величин,

Системы случайных величин.


Первый начальный момент есть МО для соответствующей СВ X или Y.

Аналогично имеются и вторые центральные моменты системы СВ: Системы случайных величин и Системы случайных величин, которые характеризуют степень разбросанности случайной точки вдоль осей x и y соответственно.

Особую роль в статистической радиотехнике играет второй смешанный центральный момент Системы случайных величин = KXY - корреляционный момент.

Для непрерывных СВ корреляционный момент выражается формулой


Системы случайных величин.


Этот момент, кроме рассеивания СВ, характеризует и взаимозависимость СВ X и Y. При этом, если СВ X и Y независимы, то Системы случайных величин. Докажем это предположение: если СВ X и Y независимы, Системы случайных величин, то последний интеграл распадается на два независимых интеграла, в которых имеется произведение двух первых центральных моментов. Эти моменты равны нулю.

Чтобы исключить влияние разбросанности СВ на корреляционный момент, его делят на произведение среднеквадратических отклонений СВ X и СВ Y. Получается безразмерная величина, имеющая название "коэффициент корреляции": Системы случайных величин. Если СВ X и СВ Y независимы, то всегда Системы случайных величин Значит, независимые СВ всегда некоррелированы, однако обратное не всегда верно. Коррелированность характеризует не всякую взаимозависимость, а лишь линейную статистическую взаимозависимость. Это означает, что при возрастании одной СВ МО другой имеет тенденцию возрастать (или убывать) в среднем по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень разбросанности координат точки относительно линейной зависимости между X и Y. Если СВ X и Y имеют линейную функциональную зависимость, то коэффициент корреляции равен ±1, в зависимости от знака наклона этой функции. При этом говорят о положительной или отрицательной корреляции.

Во многих радиотехнических устройствах имеются типовые радиотехнические тракты, состоящие из трех каскадно соединенных элементов: входной линейной цепи, нелинейного безынерционного элемента и выходной линейной цепи. В качестве этих элементов могут выступать различные электрические цепи с заданными характеристиками. На вход радиотехнического тракта воздействует аддитивная смесь сигнала и помехи:


Системы случайных величин,


где s (t) - сигнал в виде гармонического или квазигармонического колебания; x (t) - гауссов процесс с равномерной спектральной плотностью мощности (белый или квазибелый шум).

Известно [2], что в таких условиях при решении задачи обнаружения критерием качества работы устройства может служить отношение сигнал/помеха, которое определяется тремя выражениями:

система случайная величина

отношение сигнал/помеха по уровню Системы случайных величин, где As - амплитуда сигнала; Системы случайных величин - дисперсия шума;

отношение сигнал/помеха по мощности Системы случайных величин;

энергетическое отношение сигнал/помеха Системы случайных величин, где Системы случайных величин - энергия сигнала; Системы случайных величин - спектральная плотность мощности помехи (белого или квазибелого шума).

Если длительность сигнала Системы случайных величин, то Системы случайных величин, а Системы случайных величин, где Системы случайных величин - ширина энергетической полосы квазибелого шума.

Плотность вероятности сигнала (со случайной начальной фазой)


Системы случайных величин, Системы случайных величин, а шума - Системы случайных величин.


Если сигнал и помехи независимы, то Системы случайных величин, и плотность вероятности их смеси определяется интегралом свертки:


Системы случайных величин.


6. Произвольное число СВ


Часто приходится иметь дело в статистической радиотехнике с системами многих СВ. В этом случае полной характеристикой системы СВ может служить закон распределения всей системы СВ. Например, имеется многоканальная в пространстве антенная система, с помощью которой прием ведется в нескольких точках пространства. При этом и обработка сигналов в приемных пунктах производится совместно. Для представления законов распределения системы более чем трех СВ приходится использовать многомерное пространство. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности в этом случае обеспечивается n-мерной производной (n - число СВ, входящих в систему).

Вероятность попадания координат случайной точки в ограниченное пространство n-мерной системы определяется n-кратным интегрированием по этому пространству плотности вероятности.


7. Числовые характеристики системы нескольких СВ


Закон распределения системы СВ (функции распределения или плотности вероятности) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких СВ. Однако не всегда возможно применять такое описание СВ. Например, из-за ограниченности экспериментального материала или из-за того, что такое описание обладает излишней громоздкостью. Кроме того, очень часто тип распределения известен (например, n-мерный нормальный). Поэтому применяют описание системы СВ с помощью ограниченного числа числовых характеристик. К таким характеристикам относятся:

N математических ожиданий (МО), характеризующих средние значения входящих в систему СВ;

N дисперсий, характеризующих степень их разбросанности относительно своих МО;

N (N - 1) корреляционных моментов, определяющих попарную корреляцию СВ в системе: Системы случайных величин.

Следует отметить, что корреляционный момент при i = j превращается в дисперсию, т.е. Системы случайных величин.

Часто все корреляционные моменты располагают в виде так называемой корреляционной матрицы:


Системы случайных величин.


По определению корреляционного момента, Системы случайных величин. Следовательно, корреляционная матрица всегда "симметрическая", т.е. ее элементы, симметричные относительно диагонали, равны между собой. Обозначают ее символом Системы случайных величин. Вдоль главной диагонали располагаются дисперсии. Если все СВ, входящие в систему СВ, некоррелированы, то все элементы матрицы, кроме диагональных, равны нулю. Иногда пользуются нормированной корреляционной матрицей, составленной из коэффициентов корреляции: Системы случайных величин. Если все СВ некоррелированы, то образуется единичная матрица, у которой диагональные элементы - единицы, а недиагональные - нули.

В отношении с/п = |y (t0) |/ sn вых числитель должен быть максимальным в заданный момент времени, поэтому необходимо рассматривать фазовый спектр. Так как спектр представлен в виде косинусных колебаний, они должны суммироваться на выходе цепи в фазе, чтобы максимальное мгновенное значение было при t = t0, т.е. jк (w) = -js (w) - wt0 - такие требования к фазовой характеристике обеспечат заданные требования по максимизации y (t0). Модуль передаточной функции цепи должен с точностью до постоянного множителя повторять модуль спектральной плотность сигнала K (w) = AS (w). С учетом требований к фазовой характеристике цепи K (jw) = AS (w) exp [-jjs (w)] exp (-jwt0), так как S (jw) = S (w) exp [jjs (w)], то K (jw) = AS (jw) exp (-jwt0).

Покажем, что найденное выражение для комплексного коэффициента передачи является оптимальным в смысле максимума отношения с/п = |y (t0) |/sn вых. Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции, т.е. можно отдельно рассматривать прохождение сигнала и шума:


|y (t0) | = | (2p) -1/2Системы случайных величинS (jw) K (jw) exp (-jwt0) dw|,

а sn вых = [ (2p) -1/2Системы случайных величинWn (w) K2 (w) dw] 1/2.


Подставим полученные выражения в отношение сигнал/помеха:


|y (t0) |/sn вых =

= | (2p) -1/2Системы случайных величинS (jw) K (jw) exp (-jwt0) dw|/ [ (2p) -1/2Системы случайных величинWn (w) K2 (w) dw] 1/2.


В математике существует неравенство Шварца:


|Системы случайных величинF1 (x) F2 (x) dx|2 Ј [Системы случайных величин|F1 (x) |2dx] [Системы случайных величин|F2 (x) |2dx],


где F1 (x) и F2 (x) - некоторые комплексные функции. Применим это неравенство для нашего случая. Тогда отношение сигнал/помеха с/п Ј 1/Системы случайных величин [ (2p) -1Системы случайных величинS2 (w) dw] 1/2. Так как Эs = (2p) -1Системы случайных величинS2 (w) dw, то с/п Ј 1/Системы случайных величин. При этом значении с/п K (jw) = Kопт (jw). Это неравенство превращается в равенство при условии, что F2 (x) = F1 (x). Применим это условие к K (jw), получим Kопт (jw) exp (jwt0) = AS (jw), тогда Kопт (jw) = AS (jw) exp (-jwt0).

На выходе сумматора сигнал образуется таким образом: Системы случайных величин. Возведение в квадрат является нелинейной операцией, но она выполняется уже после максимизации отношения сигнал/шум на выходах линейных согласованных фильтров и влияет незначительно.

На выходах квадратурных согласованных фильтров определяются квадраты составляющих комплексной огибающей (синусной и косинусной) и складываются в сумматоре. Полученный квадрат корреляционного интеграла инвариантен к начальной фазе входного сигнала (определяется квадрат длины вектора в комплексной системе координат). Однако наличие двух каналов приводит к потерям в отношении сигнал/шум в два раза по мощности (или - 3 дБ), поскольку шум в сумматоре удваивается по дисперсии.

Таким образом, применение синтезированной структуры приводит к независимости от начальной фазы, но приводит к усложнению согласованного фильтра (надо иметь два согласованных фильтра).


8. Двумерный нормальный закон плотности вероятности


Двумерная нормальная плотность вероятности задается формулой


Системы случайных величин

Системы случайных величин,


в которой Системы случайных величин и Системы случайных величин - математические ожидания СВ X и Y; Системы случайных величин и Системы случайных величин - среднеквадратические отклонения этих СВ; R - коэффициент корреляции.

Заметим, что кривые равной плотности вероятности имеют вид эллипсов:


Системы случайных величин.


На этом основании эллипсы имеют название эллипсов равных вероятностей или эллипсов рассеивания. В зависимости от знака величины R эллипсы имеют различную форму и ориентацию на плоскости x0y. При этом главные оси эллипса пропорциональны главным среднеквадратическим отклонениям Системы случайных величин и Системы случайных величин, которые связаны со среднеквадратическими отклонениями следующими формулами:


Системы случайных величин;

Системы случайных величин,


где a - угол между одной из главных осей эллипса и осью 0x. Если главные оси эллипса совпадают с осями координат, то можно утверждать, что СВ X и Y являются некоррелированными, а главные среднеквадратические отклонения равны среднеквадратическим отклонениям. Если же при этом дисперсии Системы случайных величин и Системы случайных величин одинаковы, то эллипсы рассеивания превращаются в окружности.

Нормальное распределение имеет исключительную роль в статистической радиотехнике. Почти все шумы радиоприемных устройств подчинены нормальному закону (их мгновенные значения). Универсальность нормального закона объясняется тем, что каждая СВ, являющаяся суммой очень большого числа независимых СВ, каждая из которых оказывает незначительное влияние на сумму, распределена по нормальному закону, причем независимо от вида распределения каждого слагаемого (центральная предельная теорема теории вероятности) (рис.1).


Системы случайных величин

Рис.1


Поскольку в выражение для нормальной плотности вероятности входит только R, то для нормальных СВ некоррелированность одновременно означает и их независимость. Нетрудно доказать это утверждение, если в выражение для нормальной плотности вероятности подставить R = 0. При этом выражение для двумерной нормальной плотности вероятности преобразуется в произведение одномерных нормальных плотностей вероятностей.


Библиографический список


Математические основы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. - М.: Сов. радио, 2009. - 208 с.

Манжос, В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех [Текст] / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. - М.: Радио и связь, 2011. - 416 с.

Жовинский, В.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов [Текст] / А.Н. Жовинский, В.Н. Жовинский. - М.: Энергия, 2009. - 112 с.

Федосов, В.П. Статистическая радиотехника [Текст]: конспект лекций / В.П. Федосов, В.П. Рыжов. - Таганрог: Изд-во ТРТИ, 2008. - 76 с.

Гнеденко, Б.Н. Курс теории вероятности [Текст] / Б.Н.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: