Онтология математического дискурса
Гутнер Г.
Практически в любом математическом рассуждении решается проблема существования какого-либо предмета. Это можно принять, прежде всего, как своего рода эмпирический факт, поскольку содержанием значительной части теорем любого раздела математики является утверждение о существовании. Говорят о существовании нужного построения (в геометрии), о существовании корней уравнения (в алгебре), о существовании предела последовательности (в математическом анализе) - примеры можно множить безгранично. Однако нетрудно заметить, что даже в трех приведенных примерах смысл слова "существует" - не один и тот же. Прямая, проходящая перпендикулярно данному отрезку через его середину, существует потому, что может быть построена в соответствии с предписанными рядом геометрических утверждений правилами. Предел произвольной монотонной ограниченной последовательности не может быть построен в результате какой-либо процедуры, однако он также существует, хотя вывод о его существовании делается совершенно на иных основаниях. Каждый математик, по-видимому, так или иначе отвечает для себя на вопрос о том, как следует определить понятие существования для математических объектов. Во время фундаментальных дискуссий об основаниях математики, проходивших в начале XX века, эта проблема обсуждалась многими и мы обсудим ряд концепций существования во 2-й главе нашей работы. Сейчас же заметим, что вопрос о том, как понимать существование в математике прямо связан с тем, как доказывается существование математического объекта.
Названная проблема решается, как правило, в рамках математики. Однако можно поставить вопрос о существовании математических объектов иначе. Можно спросить, какова природа математических объектов или каков их онтологический статус. Их можно считать самостоятельными интеллигибельными сущностями, абстрагированными от чувственно воспринимаемых вещей свойствами, чистыми конструкциями ума и т.д. Наверное каждая философская система попыталась определить свое отношение к математике и выяснить как именно существуют и существуют ли вообще ее предметы.
Вопрос об онтологическом статусе - это также вопрос о том каков смысл слова "существует" в применении к математическому объекту. Однако в философии этот вопрос должен быть понят иначе, чем в математике. Философской проблемой в данном случае является, на наш взгляд, отношение рассуждения (в частности математического рассуждения) к своему предмету. Исследованию подлежит вопрос о том, как постигается или как создается предмет в ходе рассуждения и в силу каких обстоятельств предмет может быть определен в рассуждении как существующий.
Можно выделить два альтернативных подхода к рассмотрению онтологического статуса предмета (в частности, предмета математики). Предмет можно рассматривать как сущность, обладающую определенными свойствами, или как элемент в определенной системе отношений. Поэтому изучение природы математических объектов можно проводить в рамках, заданных двумя, в определенном смысле конкурирующими, категориями - сущности и структуры. Дискуссия между сторонниками двух связанных с этими категориями подходов - весьма типичная черта жизни философского и математического сообщества как в прошлом, так и сейчас. Ниже мы попытаемся обосновать это утверждение рядом ссылок.
Говоря об отношении рассуждения к предмету рассуждения мы выделяем два подхода, смысл которых впервые был явно прописан Шеллингом во Введении к "Системе трансцендентального идеализма". Здесь проведено разделение между понятиями субъективного и объективного и соответственно между натурфилософией и трансцендентальной философией. Субъективное и объективное рассматриваются Шеллингом как два противоположных начала, необходимо сосуществующих в любом наличном знании ([61], с.232). Вопрос о том, "кому из них принадлежит приоритет", т.е. что является подлинной исходной точкой всякого знания - мышление (Я, интеллигенция) или природа - невозможно разрешить однозначно. Но чтобы построить систему знания необходимо принять одно из указанных начал в качестве реальной предпосылки и попытаться вывести из него второе. Систему рассуждения, принимающую в качестве исходной посылки природу, Шеллинг называет естествознанием или натурфилософией. Противоположный подход, принимающий в качестве безусловного начала субъективное, он называет трансцендентальной философией.(См. примечание 1)Задачу последней Шеллинг формулирует предельно жестко. Само представление об объекте (природе, вещах и т.п.) должно быть дедуцировано из рассмотрения деятельности мыслящего Я. Утверждение о том, "что вне нас существуют вещи," должно быть отброшено, как предубеждение ([61], 235; курсив Шеллинга). Следовательно, в рамках трансцендентальной философии само понятие объекта должно быть рассмотрено как нечто производное от структуры мышления. Если натурфилософский подход призван решать как должна действовать мысль, чтобы достичь достоверного знания о существующей вне ее природе (независимом мире объектов), то трансцендентальный подход призван выяснить как должен быть устроен объект, чтобы стать адекватным познающей его мысли. Соответственно этому ставится вопрос о действительности объекта или о его существовании. Для трансцендентальной философии существование есть особый способ представления объекта мыслью. Рассмотрение онтологической проблематики в рамках трансцендентального подхода состоит, следовательно, в рассмотрении структуры рассуждения и обнаружении в нем таких способов отношения к предмету, которые позволили бы сказать о нем, что он существует. Иными словами, речь должна идти о способах правильного конструирования объекта в рассуждении.
Разделению двух подходов, которое провел Шеллинг, на наш взгляд коррелятивно рассмотрение двух способов образования понятий в математике и естественных науках, проводимое Кассирером в книге "Познание и действительность"[32]. Первый из названных способов он связывает с логикой Аристотеля и категорией субстанции. Логический ход, на который обращает внимание Кассирер, сводится к процедуре абстракции, т.е. отвлечения от единичной вещи ("первой сущности") ряда свойств, общих для нее с другими вещами. Образование понятий связано, следовательно, с последовательно проводимым обеднением содержания и увеличением степени общности понятий. При таком подходе всякое рассуждение должно рассматриваться как работа с общими (абстрактными) представлениями, описывающими классы сходных между собой сущностей. В таком рассуждении сущность, обладающая свойствами, должна неизбежно рассматриваться как отправная точка и как конечная цель мысли. Мышление в понятиях исходит из сущности, как из носителя свойств, которые должно абстрагировать. С другой стороны оно направлено на то, чтобы лучше понять эту сущность, т.е. высказать о ней наиболее достоверное суждение.(См. примечание 2)Альтернативный способ образования понятий, описанный Кассирером, исходит из той посылки, что "никакое суммирование отдельных случаев не может создать то специфическое единство, которое мыслится в понятии" ([32], c. 38). Такое единство дается не абстракцией, а специфической логической формой, позволяющей произвести любой подпадающий под это единство предмет. Например, "логическая определенность числа "четыре" дана благодаря его нахождению в ряду идеальной - и потому вневременно-значащей - совокупности отношений, благодаря его месту в математически определенной числовой системе" ([32], c.39). Понятие есть тогда логическое правило или функция, позволяющее определить структуру отношений, в которой единичный предмет оказывается элементом.
Проводимое Кассирером различение определяет два различных понимания категорий "общее - единичное". В первом случае под общим понимается свойство, равно присущее многим единичным предметам. Во втором - речь идет об общей структуре, объединяющей множество различных элементов. Причем свойства этих элементов не играют особой роли. Важно прежде всего то, что они отличны друг от друга, а единая логическая форма определяет структуру их отношений.(См. примечание 3)При таком подходе к рассуждению его предмет мыслится существующим постольку, поскольку оказывается определенным его место в заданной структуре. Он должен быть выведен из общей логической формы, т.е. заново произведен рассуждением как ее особенный элемент. Из сказанного ясно, что "структурный" подход к процедуре образования понятий, равно как и соответствующая ему интерпретация существования, возможны лишь в рамках трансцендентальной философии. Производящая объекты структура - это структура, внутренне присущая дискурсу, т.е. - в терминологии Шеллинга - принцип действия субъекта. Все "объективное", "природное", "внешнее" определяется через него и из него дедуцируется. Собственно категории "объект" и "природа" также оказываются особыми структурами дискурса, а понятия "внутреннего" и "внешнего" вовсе теряют смысл. (См. примечание 4)
Противопоставление категорий сущности и структуры при исследовании природы и онтологического статуса математических объектов является главной методологической посылкой нашего исследования. Его целью является попытка развития трансцендентального подхода к рассмотрению математического мышления и предмета математики. При этом мы будем обращаться к категориям, разработанным преимущественно Кассирером и Кантом. Одной из наших целей будет обоснование тезиса, обратного к только что сформулированному. Мы попытаемся показать, что всякое трансцендентальное рассмотрение обязательно приведет к пониманию существования как существования элемента в пределах заданной структуры отношений.
Противопоставление двух выделенных в настоящем Введении подходов к определение природы математических объектов и их онтологического статуса довольно заметно в современной философии математики. Каждый из этих подходов весьма интенсивно развивался в XX столетии и достаточно явно оформился в виде направлений, известных под именами математического реализма и математического структурализма. Первый характеризуется (см. [5], c. 144) как тенденция "рассматривать математические объекты: числа, фигуры, множества как существующие в особом мире, данные до их собственно математического анализа". Беляев и Перминов - авторы цитированной здесь характеристики - возводят эту тенденцию к Платону и Лейбницу, для которых "математические утверждения ... отражают мир вечных и идеальных сущностей" (с. 146). Современный математический реализм они связывают, прежде всего, с именами Фреге и Рассела (с. 146). Здесь речь должна идти по преимуществу о попытке определения числа на основании логических аксиом. Эта попытка приводит к пониманию числа как универсалии, она подразумевает определение "единственного и вполне конкретного объекта, а именно натурального числа самого по себе, в его свойствах" (с. 147).
Дальнейшее развитие этого направления связано с работами Бернайса[63] (См. примечание 5) и ГЁделя [69] и [70]. Исследования ГЁделя интересны в частности тем, что развивают своего рода реалистическую гносеологию. В них делается попытка объяснения, каким образом независимые от человека сущности математического мира становятся доступными познанию. ГЁдель основывает математическое знание на особой интуиции, способности непосредственно обнаруживать свойства математических сущностей и формулировать их в виде аксиом. Такое непосредственное обнаружение ГЁдель уподобляет чувственному восприятию в естествознании. Числа, геометрические фигуры или множества, воспринимаемые интуицией, он полагает столь же реальными как физические тела, воспринимаемые чувствами. Интуиция при этом не только позволяет непосредственно видеть определенные факты, но также выступает как критерий истинности математических утверждений более общего характера, которые не являются интуитивно ясными, но оказываются плодотворными при выводе теорем. "Могут существовать аксиомы столь богатые поддающимися проверке следствиями, проливающие столь много света на всю область и приносящие столь мощные методы решения проблем, что не имеет значения являются ли они интуитивно ясными или нет, их следует принять, по крайней мере так же, как и всякую хорошо обоснованную физическую теорию" ([70], c. 477). Следовательно, факты, принимаемые несмотря на их недоступность интуиции подобны постулатам физических теорий, связывающим в единое целое совокупность чувственно воспринимаемых явлений.
На параллелизм математического и естественнонаучного знания указывает современная американская исследовательница П.Мэдди. В своей монографии, посвященной реализму в математике [77], она делает довольно полный обзор существующих ныне реалистических концепций и, разбирая их проблемы, дает собственную версию математического "платонизма". Приводимое ей общее "кредо" всего исследуемого направления выглядит так: "математика есть научное рассмотрение объективно существующих предметов (entities), точно так же, как физика есть изучение физических сущностей" (с. 21). Мэдди указывает на слабую сторону представленного взгляда - она состоит в том, что такие математические сущности, если они совершенно независимы от нашей мысли, должны быть полностью ей трансцендентны и совершенно неясно как они могут стать достоянием научного знания. (Мы видели, что эту проблему пытался решать и ГЁдель). Сильной стороной реализма она считает тот факт, что с его позиций можно объяснить необычайную эффективность математики в исследовании физического мира. Если реальность математических предметов такова, как реальность физических тел, то мы можем мыслить некий единый мир, состоящий из физических и математических сущностей, находящихся в стройном взаимодействии. Свои усилия Мэдди направляет в значительной мере на преодоление указанной ей трудности, уделяя, вслед за ГЁделем, большое внимание проблеме интуиции.
Мэдди считает реализм не только философским течением, но и наиболее распространенным типом воззрений, почти стихийно установившимся среди математиков. Она пишет, что математики видят себя и своих коллег исследователями, открывающими свойства разнообразных увлекающих их областей математической реальности" ([77], c. 1). Но как бы ни был распространен этот взгляд, он отнюдь не является единственным. Нам представляется интересной характеристика, которую дает Ван-дер-Варден стилю математического мышления Эмми НЁттер: "Максима, которой постоянно руководствовалась Эмми НЁттер, могла бы быть сформулирована следующим образом: все отношения между числами, функциями и операциями становятся абсолютно ясными, способными к обобщению и истинно плодотворными лишь тогда, когда они освобождены от их конкретных объектов и сведены к общим отношениям понятий" (Цит. по [59], c. 299). Именно такой стиль мышления стал основной темой для философско-математического направления, известного как структурализм. Впрочем, центральной фигурой для мыслителей, причисляющих себя к этому течению, является не НЁттер, а Гильберт. Его аксиоматические построения очевидно имеют дело не с сущностями, а с отношениями элементов, собственные свойства которых не играют никакой роли для развития теории. Именно к аксиоматическим системам гильбертовского типа апеллирует работа Н. Бурбаки "Архитектура математики"([10]), в которой подробно рассматривается категория структуры. Под структурой понимается множество элементов, природа которых не определена, но для которых задана некоторая совокупность отношений. Эта совокупность отношений содержится в аксиомах, которые собственно и определяют структуру математической теории. Последняя получается в виде логических следствий из аксиом, сделанных при полном игнорировании от всяких, не содержащихся в этих аксиомах гипотез относительно свойств элементов (с. 251). Математика, следовательно, понимается как работа со структурами, а не как исследование сущностей. "В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм" (с. 258-259). Замечание, взятое в скобки, можно, вообще говоря, истолковать как признание некоторой слабости структурализма в сравнении с реализмом. Как мы видели последний претендует на способность объяснить связь математической и "экспериментальной" действительности.
Структурное направление в рассмотрении природы математических объектов получило в дальнейшем значительное развитие, преимущественно усилиями французских исследователей. Обзор их работ приводится, например, в [59]. Здесь же указывается на взаимосвязь математического структурализма со структурализмом в языкознании. Серьезное исследование понятия структуры в математике и естествознании предпринято в монографии Н. Мулуда [37]. Этот ученый указывает на два нетождественных представления о структуре, используемых в науке. Согласно первому, структура есть комплекс взаимодействующих элементов, каждый из которых не может быть рассмотрен изолированно от остальных. Второе представление рисует структуру как "множество элементов, определяемых некоторыми отношениями такого рода, что становится возможным вывести все реляционные свойства элементов в случае, если даны операциональные правила, позволяющие преобразовывать доминирующие отношения". Первое из названных представлений характерно для описания природных и общественных феноменов (например ансамбля частиц в физике или общественных групп в социологии). Второе прежде всего относится к аксиоматическим построениям в математике. Мулуд, впрочем, замечает, что при развитии теоретического знания представление о структуре как о комплексе неизменно превращается в описание "операционального" (или "аксиоматического") типа ([37], c. 30-32).
Математический структурализм получил также существенное развитие в работах группы английских и американских авторов. Их исследования также касаются главным образом аксиоматических систем и потому центральным персонажем их работ неизменно оказывается Гильберт (см. [81] и [82]). Приведем весьма емкую характеристику структурализма, которую дает один из ведущих философов этого направления М. Резник: "Под структурализмом я понимаю общий