Xreferat.com » Рефераты по математике » Старший и верхний центральный показатели линейной системы

Старший и верхний центральный показатели линейной системы

Старший и верхний центральный показатели линейной системыМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»


Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений


Допущена к защите

Зав. кафедрой


СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ


Дипломная работа


Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель: 

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.


Гомель 2003

Содержание

Старший и верхний центральный показатели линейной системы

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ Старший и верхний центральный показатели линейной системы

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ Старший и верхний центральный показатели линейной системы

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ


В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение Старший и верхний центральный показатели линейной системы На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем


Старший и верхний центральный показатели линейной системы


играет число Старший и верхний центральный показатели линейной системы, а не Старший и верхний центральный показатели линейной системы.

1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ


Определение 1.1 [1,с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции Старший и верхний центральный показатели линейной системы при Старший и верхний центральный показатели линейной системы называется ее верхним пределом:


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Определение 1.2 [1,с.125]. Число (или символ Старший и верхний центральный показатели линейной системы или Старший и верхний центральный показатели линейной системы), определяемое формулой


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).

Для показательной функции Старший и верхний центральный показатели линейной системы , очевидно, имеем


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Лемма 1.1 [1,с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы Старший и верхний центральный показатели линейной системы совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Для вектор-столбца


Старший и верхний центральный показатели линейной системы


будем использовать одну из норм [1,с.20]:


Старший и верхний центральный показатели линейной системы = Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы; Старший и верхний центральный показатели линейной системы = Старший и верхний центральный показатели линейной системы; Старший и верхний центральный показатели линейной системы = Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Свойства характеристического показателя функции [1,с.126,128]:


1) Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы = Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы , Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы;

2) Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Замечание 1.1 [1,с.130]. Если линейная комбинация функций


Старший и верхний центральный показатели линейной системы, Старший и верхний центральный показатели линейной системы,


где Старший и верхний центральный показатели линейной системы постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то


Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы = Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Определение 1.3 [1,с.142]. Система ненулевых вектор-функций


Старший и верхний центральный показатели линейной системы Старший и верхний центральный показатели линейной системы


обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации


Старший и верхний центральный показатели линейной системы, Старший и верхний центральный показатели линейной системы,


где Старший и верхний центральный показатели линейной системы постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем


Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы = Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Определение 1.4 [1,с.137]. Множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от Старший и верхний центральный показатели линейной системы и Старший и верхний центральный показатели линейной системы) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.


Теорема1.1 [1,с.143]. Фундаментальная система линейной системы


Старший и верхний центральный показатели линейной системы Старший и верхний центральный показатели линейной системы, Старший и верхний центральный показатели линейной системы


где Старший и верхний центральный показатели линейной системы и Старший и верхний центральный показатели линейной системы Старший и верхний центральный показатели линейной системы─ спектр системы Старший и верхний центральный показатели линейной системы, является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Замечание 1.2 [1,с.142]. Совокупность вектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно, обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1.1 [1,с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение1.5 [2,с.71]. Наибольший верхний показатель

Старший и верхний центральный показатели линейной системы


системы


Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы


будем называть старшим показателем.

Определение 1.6 [2,с.7]. Пусть Старший и верхний центральный показатели линейной системы─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции Старший и верхний центральный показатели линейной системы есть:


Старший и верхний центральный показатели линейной системы = Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы.


Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:


P = Старший и верхний центральный показатели линейной системы, Старший и верхний центральный показатели линейной системы,


зависящие от параметра Старший и верхний центральный показатели линейной системы непрерывна в том смысле, что из Старший и верхний центральный показатели линейной системы следует Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке Старший и верхний центральный показатели линейной системы.

Определение 1.7 [ 2,с.103]. Ограниченная измеримая функция Старший и верхний центральный показатели линейной системы называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции Старший и верхний центральный показатели линейной системы:

Старший и верхний центральный показатели линейной системы,


то есть, если


Старший и верхний центральный показатели линейной системы,


где Старший и верхний центральный показатели линейной системы─ константа, общая для всех Старший и верхний центральный показатели линейной системы и Старший и верхний центральный показатели линейной системы, но, вообще говоря, зависящая от выбора Старший и верхний центральный показатели линейной системы и Старший и верхний центральный показатели линейной системы.

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через


Старший и верхний центральный показатели линейной системыСтарший и верхний центральный показатели линейной системы(P).


Определение 1.9 [2,с.103]. Число


Старший и верхний центральный показатели линейной системы


назовем верхним центральным или C-числом семейства P. Оно обозначается также через Старший и верхний центральный показатели линейной системы или Старший и верхний центральный показатели линейной системы.

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция Старший и верхний центральный показатели линейной системы, что


Старший и верхний центральный показатели линейной системы


для всех Старший и верхний центральный показатели линейной системы, то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с Старший и верхний центральный показатели линейной системы:


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Замечание 1.3 [2,с.102]. Для упрощения записи введем обозначение


Старший и верхний центральный показатели линейной системы


Определение 1.10 [2,с.115]. Центральное число семейства P будем называть центральным показателем системы


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Определение 1.11 [2,с.106]. Разобьем полуось Старший и верхний центральный показатели линейной системы точками 0,T,2T,… на промежутки


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Пусть


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Найдем


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Замечание 1.4 [2,с.106]. Число

Старший и верхний центральный показатели линейной системы


совпадает с Старший и верхний центральный показатели линейной системы и знак Старший и верхний центральный показатели линейной системыможно заменить на Старший и верхний центральный показатели линейной системы , то есть


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.Старший и верхний центральный показатели линейной системы


Определение 1.12 [2,с.107]. Пусть Старший и верхний центральный показатели линейной системы ─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой


Старший и верхний центральный показатели линейной системы Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Замечание 1.5 [2,с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить Старший и верхний центральный показатели линейной системы на Старший и верхний центральный показатели линейной системы равной одной из тех функцийСтарший и верхний центральный показатели линейной системы, для которых достигается максимальное значение


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Утверждение 1.2 [2,с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции Старший и верхний центральный показатели линейной системы, где Старший и верхний центральный показатели линейной системы произвольное, равно


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Утверждение 1.3 [2,с.114]. Пусть


Старший и верхний центральный показатели линейной системы ,


Старший и верхний центральный показатели линейной системы─ ее решение и


P = Старший и верхний центральный показатели линейной системы


семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где


Старший и верхний центральный показатели линейной системы.


Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций Старший и верхний центральный показатели линейной системы семейства P, то есть


Старший и верхний центральный показатели линейной системы .

2.

Похожие рефераты: