Старший и верхний центральный показатели линейной системы

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = , ,

зависящее от параметра непрерывно в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Для доказательства соотношения нам потребуется доказать несколько утверждений и следствий.

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из

P’ P

следует

(P’)(P)

и

.

Доказательство.

Всякая верхняя функция для семейства P является верхней и для P’, так как P’ P. Значит,

(P)(P’).

По определению 1.9

.

Из того, что

(P)(P’)

следует

.

А значит,

.

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’=, то верхнее среднее значение функции совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть

Доказательство.

Для доказательства равенства

докажем два неравенства:

1) ;

2) .

Из определения 1.7 следует, что является верхней функцией, то есть

, = 0;

итак,

(P’).

Следовательно, .

Пусть ─ любая верхняя функция семейства P’:

для любой (P’).

Тогда по определению 1.6

.

Так как ─ любое, то

для любой функции (P).

Следовательно,

.

Тем самым утверждение 2 доказано.

Следствие 1.(из утверждений 1 и 2)

Пусть P =─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’= , и P’ P , то верхнее среднее значение функции не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть

.

Доказательство.

Так как P’ P, то из утверждения 1 следует, что

(P’)(P)

и

.

Так как P’ состоит из одной функции, то есть P’= , то из утверждения 2 следует, что

.

Следовательно,

,

то есть

.

Следствие 1 доказано.

Следствие 2.(из следствия 1)

Пусть P = ─ семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда

.

Доказательство.

Из следствия 1 вытекает, что для любого выполняется

.

Следовательно,

.

Следствие 2 доказано.

Воспользуемся доказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.

Утверждение 3.

Пусть ─

некоторая линейная система дифференциальных уравнений и

P = ─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

.

Тогда старший показатель Ляпунова не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть

.

Доказательство.

Так как ,

то

.

Выразим из последнего равенства :

, .

Тогда из определения 1.2 следует, что

[определение 1.6],

то есть

.

Из этого следует, что

.

Так как по определению 1.5

,

то

.

Тогда из следствия 2 получаем, что

.

Так как по определению 1.9

,

то .

(утверждение 3 доказано)

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

Исследуем случай, когда матрица системы с произвольными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее и .

Рассмотрим диагональную систему

,

где ─ вектор-функция размерности . Она имеет матрицу Коши

,

то есть

,

с нормой

, где .

По определению 1.2 найдем для каждой функции ее характеристический показатель Ляпунова, используя определение 1.6:

.

Получаем, что

.

Из утверждения 1.3 и определения 1.5 вытекает, что

,

так как матрица конечномерная.

По определению 1.9

P,

где (P).

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами. Случай .

Исследуем случай, когда матрица системы с постоянными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее и .

Рассмотрим диагональную систему

,

где ─ вектор-функция размерности , ─ некоторые числа, .

Она имеет матрицу Коши

,

то есть

,

с нормой