Xreferat.com » Рефераты по математике » Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Фрунзенский район

Технологическая гимназия №13 г. Минска


Авторы:

Кравченко Арсений Борисович

ученик 9”Д” класса

ул. Горецкого 69-263

д.т. 215-84-33

Ермолицкий Алексей Александрович

ученик 9”Д” класса

ул. Сухаревская 7-46

д.т. 215-62-23


Тема:

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный


Секция: математика

Научный руководитель:

Буйницкая Инесса Мечеславовна

учитель высшей категории


Минск 2004

Содержание


Общая теоретическая часть………………………………………00

Графический метод………………………………………………..00

Функциональный метод…………………………………………...00

Метод функциональной подстановки…………………………..00

Цели и задачи научной работы…………………………………..00

Практикум………...…………………………………………………00

Список литературы………………………………………………..00




Общая теоретическая часть

Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.

Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y – два произвольных множества.

Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной, или универсальной подстановки.

Определение. Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.

В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.


Графический метод.

На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек

{x, f(x) | x Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйD (f)} координатной плоскости.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде

f(x)=g(x),

где f(x) и g(x) – некоторые функции. Функция f(x) является левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1, у1), то решением системы будет х=х1, у=у1). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика функции g(x).


Функциональный метод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах=А g(x)мin=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

f(x)=x (1)

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный (2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:

Следствие 1. Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.


Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическое уравнение вида

R(sinkx, cosnx, tgmx, ctglx) = 0 (3)

где R – рациональная функция, k,n,m,lОZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sinx, cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки


2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный sinx= cosx=

1+tgІ(x/2) 1+tgІ(x/2)

(4)

2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный tgx= ctgx=

1-tgІ(x/2) 2tg(x/2)


Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kОZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kОZ корнями исходного уравнения.


Практикум


Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйsinx +√2-sinІx + sinx√2-sinІx = 3

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйДанное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть u = sinx и v = +√2-sinІx . Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0. Кроме того, имеем uІ + vІ =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

u + v + uv = 3


uІ + vІ =2


Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

r + s = 3


rІ - 2s = 2


Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

u + v = 2


uv = 1


u = v = 1


Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = π/2+2πk, kОZ


Ответ: x = π/2+2πk, kОZ


cosНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный=x2+1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.


cosНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный≤1 x2+1≥1 =>


Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйcosНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный=1

x2+1=1 x=0


Ответ: х=0


5sinx-5tgx

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный +4(1-cosx)=0

sinx+tgx

Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kОZ, а sinx+tgx=0 при x = πk, kОZ, то углы x = πk/2, kОZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

2t 2t

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный5 -

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный 1+tІ 1-tІ 1-tІ

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный +4 1- =0

2t 2t 1+tІ

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный +

1+tІ 1-tІ


Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению


8tІ

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный-5tІ + = 0 у-5-5tІ + 8 = 0

1+tІ


Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйНестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйоткуда t = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5 +2πk, kОZ


Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональныйОтвет: x = ±2arctg√3/5 +2πk, kОZ


tgx+ctgx+tgІx+ctgІx+tgіx+ctgіx=6


Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx+ctgx, тогда tgІx+ctgІx=yІ-2, tgіx+ctgіx=yі-3y


yі+yІ-2y-8=0

y=2

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kОZ

Ответ: x = π/2+2πk, kОZ


2cos πx=2x-1


Данное уравнение рационально решать графическим методом.


Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный


Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5


Ответ: х=0,5


3+(х-π)2=1-2cosx


Данное уравнение рационально решать функциональным методом.


(х-π)2+2=-2cosx

(х-π)2+2≥2

Похожие рефераты: