Xreferat.com » Рефераты по математике » Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Курсовая работа


Исполнитель:

Студентка группы М-32

Лукьянович А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.


Гомель 2005

Содержание


Введение

1. Характеристические показатели Ляпунова

2. Теорема Ляпунова. Спектр системы

Заключение

Список использованной литературы


Введение


В данной курсовой работе рассматривается линейная стационарная система.

Линейной стационарной системой называется система вида


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


где Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы − постоянная матрица, Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.

Общее решение линейной стационарной системы имеет вид


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


где Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы - постоянный вектор,

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы) - фундаментальная матрица (иными словами, фундаментальная система решений, записанная в виде матрицы), то есть матрица, состоящая из n линейно независимых ее решений


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


Цель курсовой работы - найти спектр этой системы.

Множество всех собственных характеристических показателей решений дифференциальной системы называется ее спектром.

Таким образом, главная задача курсовой работы - найти различные характеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы.

1. Характеристические показатели Ляпунова


Рассмотрим следующую линейную стационарную систему


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

(1).


Найдем общее решение этой системы. Для этого решим ее методом исключения.

Продифференцировав первое уравнение системы (1) и пользуясь вторым, получим


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


Или


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы (2).


Решим полученное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (2). Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни:


λПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыλ=0

λПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=i

λПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=-i


Так как характеристическое уравнение имеет два сопряженных корня λПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=i и λПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=-i, то общее решение линейного уравнения (2) имеет вид


y=cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыcos t +cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыsin t.


Подставим значение y в первое уравнение системы (1), получим


z=-cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыsin t +cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыcos t.


Тогда общее решение системы (1) имеет вид


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.


Составим фундаментальную систему решений системы (1).

Определение1 [2,c.482]. Фундаментальной системой решений в интервале (a,b) называется совокупность n решений однородной системы, определенных и линейно независимых в этом интервале.

Положим cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=1,cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=0. Подставим значения cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыи cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыв общее решение системы. Получим


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.


Пусть теперь cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=0,cПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=1. Тогда получим


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.


Эти решения системы (1) запишем в виде матрицы

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.


Покажем, что найденные решения составляют фундаментальную систему решений.

Для этого воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 1 [2, c.480]. Если n решений линейной однородной системы линейно независимы в интервале (a,b), то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Составим и вычислим вронскиан решений системы (1):


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы≠ 0.


Итак, вронскиан решений системы (1) не обращается в нуль ни в одной точке интервала (−∞; + ∞), значит, найденные решения системы (1) являются линейно независимыми в интервале (−∞; + ∞) (по теореме1) и составляют фундаментальную систему решений (по определению1).

Вычислим характеристические показатели матриц xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы. Приведем определение характеристического показателя.

Определение2 [1,c.125]. Число (или символ −∞ или + ∞), определяемое формулой


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


называется характеристическим показателем Ляпунова.

Лемма [1, c.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы F (t) совпадает с характеристическим показателем ее нормы.

Согласно леммы и определения1 характеристические показатели матриц XПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и XПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы будем вычислять по следующей формуле


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы (3).


Вычислим нормы матриц xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.

Определение3 [1,c. 20]. Нормой матрицы А= [aПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы] называется неотрицательное числоПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы, удовлетворяющее следующим условиям:

1) Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыи обратно, если Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыто A=0;

2) Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыгде Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системылюбое комплексное число;

3) Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыгде A,B-любые матрицы, допускающие сложение;

4) Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыгде A,B-любые матрицы, допускающие умножение;

Норма имеет следующие значения:


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


Для вектор-столбца


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


эти нормы имеют соответственно, следующие значения:


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы (4).


При вычислении норм матриц xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системывоспользуемся формулой (4).


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Тогда по формуле (3) имеем

λПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы= Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.

λПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы= Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы=Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.


2. Теорема Ляпунова. Спектр системы


Выясним, является ли фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) нормальной фундаментальной системой. Для этого воспользуемся следующей теоремой и определением4.

Теорема Ляпунова (о нормальности фундаментальной системы) [1,c.142]. Фундаментальная система линейной системы является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Определение4 [1,c.142]. Система ненулевых векторов функций Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыобладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существенной их комбинации

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


гдеПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы− постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть имеем


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


Возьмем произвольную линейную комбинацию векторов


xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.

Y=Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыгде Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы−постоянны и Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы (5).


Произведем арифметические действия над векторами xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы. Тогда равенство (5) примет вид


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы (6).


Вычислим характеристический показатель линейной комбинации векторов (6).


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы


Тогда по формуле (3) имеем


Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Итак, характеристический показатель линейной комбинации векторов совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы, значит, система векторов xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы и xПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы обладает свойством несжимаемости (по определению4) Следовательно, фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) является нормальной фундаментальной системой (по теореме Ляпунова).

Найдем спектр системы (1).

Воспользуемся определением и следствием из теоремы Ляпунова.

Определение5 [1,c.137]. Спектром называется множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от −∞ и +∞) решений дифференциальной системы.

Следствие [1,c.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Согласно определения5 и следствия из теоремы Ляпунова спектр стационарной системы (1) равенПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системыПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Заключение


Таким образом, в процессе исследования линейной стационарной системы мы выяснили, что ее фундаментальная система решений является нормальной фундаментальной системой; нормальная фундаментальная система решений реализует весь спектр дифференциальной системы; спектр рассмотренной линейной стационарной системы равенПоказатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы.

Список использованной литературы


Б.П. Демидович "Лекции по математической теории устойчивости"-М.: Наука, 1967г., 465 c.

Н.М. Матвеев "Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений"-М.: Высшая школа, 1967г., 564 с.

Похожие рефераты: