Xreferat.com » Рефераты по математике » Производная, дифференциал и интеграл

Производная, дифференциал и интеграл

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА


по высшей математике

Содержание:


1. Пределы последовательностей и функций

2. Производная и дифференциал

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

4. Неопределенный интеграл

5. Определенный интеграл

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений

Литература


1. Пределы последовательностей и функций


Числовой последовательностью Производная, дифференциал и интеграл называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: Производная, дифференциал и интеграл.

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности Производная, дифференциал и интеграл, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер Производная, дифференциал и интеграл, зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.

Производная, дифференциал и интеграл при Производная, дифференциал и интеграл.

Если последовательность Производная, дифференциал и интеграл имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:

Производная, дифференциал и интеграл.

Пусть функция Производная, дифференциал и интеграл определена в некоторой окрестности точки Производная, дифференциал и интеграл. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность Производная, дифференциал и интеграл сходящуюся к точке Производная, дифференциал и интеграл: Производная, дифференциал и интеграл. Значения функции в выбранных точках образуют последовательность Производная, дифференциал и интеграл, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции Производная, дифференциал и интеграл в точке Производная, дифференциал и интеграл, если для любой сходящейся к Производная, дифференциал и интеграл последовательности значений аргумента, отличных от Производная, дифференциал и интеграл, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

Производная, дифференциал и интеграл.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при Производная, дифференциал и интеграл, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности Производная, дифференциал и интеграл будет меньше e, когда абсолютная величина разности Производная, дифференциал и интеграл будет меньше Производная, дифференциал и интеграл, но больше нуля

Производная, дифференциал и интеграл, если Производная, дифференциал и интеграл при Производная, дифференциал и интеграл.

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке Производная, дифференциал и интеграл».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции Производная, дифференциал и интеграл при Производная, дифференциал и интеграл, если для любого числа Производная, дифференциал и интеграл существует такое число d, что при всех Производная, дифференциал и интеграл справедливо неравенство Производная, дифференциал и интеграл: Производная, дифференциал и интеграл.

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке Производная, дифференциал и интеграл, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.


Примеры


Найти предел функции Производная, дифференциал и интеграл


Решение: Имеем неопределенность вида Производная, дифференциал и интеграл. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель Производная, дифференциал и интеграл, который при Производная, дифференциал и интеграл не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.


Производная, дифференциал и интеграл


2. Производная и дифференциал


Пусть функция Производная, дифференциал и интеграл определена в некоторой окрестности точки Производная, дифференциал и интеграл.

Производной функции Производная, дифференциал и интеграл в точке Производная, дифференциал и интеграл называется предел отношения Производная, дифференциал и интеграл, когда Производная, дифференциал и интеграл (если этот предел существует). Производная функции Производная, дифференциал и интеграл в точке Производная, дифференциал и интеграл обозначается

Производная, дифференциал и интеграл.

Например, выражение Производная, дифференциал и интеграл следует понимать как производную функции Производная, дифференциал и интеграл в точке Производная, дифференциал и интеграл.

Определение производной можно записать в виде формулы

Производная, дифференциал и интеграл. (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция Производная, дифференциал и интеграл не имеет производной в точке Производная, дифференциал и интеграл. Если предел (4.1) равен Производная, дифференциал и интеграл, то говорят, что функция Производная, дифференциал и интеграл имеет в точке Производная, дифференциал и интеграл бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции Производная, дифференциал и интеграл интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что Производная, дифференциал и интеграл – это тангенс угла наклона касательной к графику Производная, дифференциал и интеграл в точке Производная, дифференциал и интеграл.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции Производная, дифференциал и интеграл дифференцируемы в точке Производная, дифференциал и интеграл, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке Производная, дифференциал и интеграл, и справедливы следующие формулы

Производная, дифференциал и интеграл.

Если функция Производная, дифференциал и интеграл имеет обратную функцию Производная, дифференциал и интеграл и в точке Производная, дифференциал и интеграл производная Производная, дифференциал и интеграл, то обратная функция Производная, дифференциал и интеграл дифференцируема в точке Производная, дифференциал и интеграл и Производная, дифференциал и интеграл или Производная, дифференциал и интеграл.

Если функция Производная, дифференциал и интеграл дифференцируема в точке Производная, дифференциал и интеграл и Производная, дифференциал и интеграл, то сложная функция Производная, дифференциал и интеграл также дифференцируема в Производная, дифференциал и интеграл и верна следующая формула

Производная, дифференциал и интеграл или Производная, дифференциал и интеграл.

Пример.

Найти производную функции Производная, дифференциал и интеграл


Решение:


Производная, дифференциал и интеграл


3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

Функция Производная, дифференциал и интеграл, определенная во всех точках промежутка Производная, дифференциал и интеграл, называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если Производная, дифференциал и интеграл то при

Производная, дифференциал и интеграл – возрастающая, Производная, дифференциал и интеграл – убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: Производная, дифференциал и интеграл. Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего Производная, дифференциал и интеграл. Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

Точка Производная, дифференциал и интеграл называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции Производная, дифференциал и интеграл, а значение Производная, дифференциал и интеграл называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки Производная, дифференциал и интеграл такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке Производная, дифференциал и интеграл, т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) Производная, дифференциал и интеграл (рис. 1).

Производная, дифференциал и интегралПроизводная, дифференциал и интегралу max у


min

f(х0) f(х0)


О х0–d х0 х0+d х О х0–d х0 х0+d х

точка максимума точка минимума

Рис. 1

Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения Производная, дифференциал и интеграл и Производная, дифференциал и интеграл.

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.


Пример. Провести полное исследование функции


Производная, дифференциал и интеграл


Решение:


Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:


найти область определения функции;

исследовать на четность и нечетность функцию;

найти точки разрыва функции;

найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.


Областью определения функции является множество Производная, дифференциал и интеграл.

Так как Производная, дифференциал и интеграл и Производная, дифференциал и интеграл, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке Производная, дифференциал и интеграл.

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая Производная, дифференциал и интеграл является вертикальной асимптотой, т.к.


Производная, дифференциал и интеграл, Производная, дифференциал и интеграл


б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) Производная, дифференциал и интеграл,


где Производная, дифференциал и интеграл;

Производная, дифференциал и интеграл

Таким образом, прямая Производная, дифференциал и интеграл является единственной наклонной асимптотой и на Производная, дифференциал и интеграл, и на Производная, дифференциал и интеграл.


Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью Производная, дифференциал и интеграл: Производная, дифференциал и интеграл, Производная, дифференциал и интеграл, т.е. точка пересечения с осью Производная, дифференциал и интеграл - Производная, дифференциал и интеграл.

б) С осью Производная, дифференциал и интеграл: Производная, дифференциал и интеграл, Производная, дифференциал и интеграл, т.е. точка пересечения с осью Производная, дифференциал и интеграл - Производная, дифференциал и интеграл.


6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.


Производная, дифференциал и интеграл


Из

Похожие рефераты: