Xreferat.com » Рефераты по математике » Производная, дифференциал и интеграл

Производная, дифференциал и интеграл

пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак

Производная, дифференциал и интеграл;

5) интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

Производная, дифференциал и интеграл;

6) для любых чисел а, b и c имеет место равенство

Производная, дифференциал и интеграл.


Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

Производная, дифференциал и интеграл

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле Производная, дифференциал и интеграл. Тогда Производная, дифференциал и интеграл или Производная, дифференциал и интеграл. Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной Производная, дифференциал и интеграл в выражение Производная, дифференциал и интеграл и найдем нижний предел интегрирования новой переменной Производная, дифференциал и интеграл. Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной Производная, дифференциал и интеграл, найдем верхний предел интегрирования новой переменной Производная, дифференциал и интеграл. Тогда

Производная, дифференциал и интеграл




6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений

До сих пор рассматривались функции Производная, дифференциал и интеграл одной переменной х. В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных.

Пусть каждому набору значений n переменных величин Производная, дифференциал и интеграл из множества M , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных Производная, дифференциал и интеграл.


Производная, дифференциал и интеграл

z Производная, дифференциал и интеграл


y

O

x

M



Рис. 3

Функция одной переменной Производная, дифференциал и интеграл изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения M функции Производная, дифференциал и интеграл представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оxy и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис. 3).


Приведем примеры функций нескольких переменных.

1. Функция вида Производная, дифференциал и интеграл, где Производная, дифференциал и интеграл – постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью Производная, дифференциал и интеграл-мерном пространстве.

2. Функция вида Производная, дифференциал и интеграл Производная, дифференциал и интеграл, где Производная, дифференциал и интеграл – постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных Производная, дифференциал и интеграл.

При рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.

Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (Производная, дифференциал и интеграл), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для Производная, дифференциал и интеграл, переносятся на случай Производная, дифференциал и интеграл. Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции Производная, дифференциал и интеграл в точке Производная, дифференциал и интеграл, если для любого числа Производная, дифференциал и интеграл можно найти число Производная, дифференциал и интеграл такое, что для всех точек Производная, дифференциал и интеграл из d-окрестности точки М выполняется неравенство Производная, дифференциал и интеграл. Для обозначения предела функции в точке используется символика

Производная, дифференциал и интеграл.

Окрестностью точки Производная, дифференциал и интеграл называется круг, содержащий точку М.

В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий.

Функция Производная, дифференциал и интеграл называется непрерывной в точке Производная, дифференциал и интеграл, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. Производная, дифференциал и интеграл. Геометрический смысл непрерывности функции при Производная, дифференциал и интеграл очевиден: график функции Производная, дифференциал и интеграл представляет собой в точке непрерывности Производная, дифференциал и интеграл сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.


Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2, x О [-20, 20], y О [-10, 10].


Решение.

Необходимое условие экстремума Производная, дифференциал и интеграл = 2х = 0, Производная, дифференциал и интеграл = 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).

Вторые производные А = Производная, дифференциал и интеграл= 2; В = Производная, дифференциал и интеграл= 0; С = Производная, дифференциал и интеграл= 2. Так как AC - B2 = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.

Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.


Литература:


Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.

Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: