курсовые

Асимптотические методы исследования интегралов с параметром

Курсовая работа

Выполнил: ст-т 4 курса Бутаев Г.Н.

Дагестанский государственный университет

Махачкала 2006

Введение

Многочисленные задачи математики, математической физики,механики,техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида

курсовые

при больших значениях параметра курсовые.

Можно по пальцам пересчитать те случаи,когда такие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны,при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ.Единственное,что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.

1.Основные формулы

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

курсовые , (1.1)

где курсовые-вещественнозначная функция,курсовые-большой положительный параметр.Функция

курсовые может принимать комплексные значения.Будем считать для простоты,что курсовыеконечный отрезок и что курсовые -достаточно гладкие при курсовые функции.Тривиальный

случай курсовые не рассматривается.

курсовые

рис.1

Пусть курсовые и достигается только в точке курсовые.Тогда функция курсовые имеет максимум в точке курсовые,который тем резче,чем больше курсовые(рис.1).Интеграл курсовые можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума курсовые, и это приближение будет тем точнее,чем больше курсовые.В этой окрестности функции курсовые можно приближенно заменить по формуле Тейлора,и мы получим интеграл,асимптотика которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.

Пусть курсовые.Тогда курсовые;пусть для простоты курсовые.Тогда

курсовые,

где курсовые- малое фиксированное число,и

курсовые, курсовые.

Следовательно,

курсовые.

Заметим,что курсовые.Последний интеграл равен

курсовые (курсовые),

так как

курсовыекурсовые.

Итак,мы получили асимптотическую формулу

курсовые (курсовые). (1.2)

Пример 1.Вычислим интеграл

курсовые. (курсовые).

Здесь функция курсовые на отрезке [-1,1] имеет максимум в точке курсовые ;также

курсовые.Все вышеперечисленные условия выполняются, следовательно можно использовать формулу (1.2).

курсовые .

Получили формулу:

курсовые. (курсовые).

Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера

курсовые

Метод Лапласа непосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция курсовые не имеет максимума на данном интервале.

Представим подинтегральную функцию в виде

курсовые

и сделаем замену переменной, положив курсовые.Тогда имеем:

курсовые.

Наш интеграл примет вид:

курсовые.

Это интеграл Лапласа: здесь курсовые и курсовые.Функция курсовые достигает максимума при курсовые, причем курсовыеПоэтому по формуле (1.2) получаем

курсовые

Получили формулу:

курсовые

Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга

курсовые

так как курсовые для любого натурального курсовые.

Пусть теперь курсовые совпадает с одним из концов отрезка, например курсовые,и пусть для простоты курсовые.Заменяя курсовые интегралом по отрезку курсовые и заменяя приближенно на этом отрезке функции

курсовые курсовые, получаем,что

курсовые

Заметим,что курсовые.Вычисляя последний интеграл,получаем

курсовые, (курсовые) (1.3)

Пример 3.Вычислим интеграл

курсовые

Здесь функция курсовые на отрезке [0,2] имеет максимум в точке курсовые; также

курсовыеСледовательно, можно применить формулу (1.3):

курсовые

Получили формулу:

курсовые

По существу эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум следующим причинам:

1).Подытегральная функция имеет при больших курсовые резкий максимум (т.е. интеграл по отрезку I можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума).

2).В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более простой (например,такой,что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).

2.Простейшие оценки Лемма 1.1. Пусть

курсовые

и при некотором курсовые интеграл (1.1) сходится абсолютно:

курсовые.

Тогда имеет место оценка

курсовые.

3.Лемма Ватсона

Рассмотрим интеграл Лапласа,в котором S-степенная функция

курсовые (1.4)

где курсовые.Так как в окрестности точки максимума S(x) можно приближенно заменить степенной функцией (вообще говоря),то вычисление асимптотики интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотики эталонных интегралов (1.4).

Получим асимптотические оценки для курсовые при курсовые. Лемма 1.2 (Ватсона).Пусть курсовые.Тогда при курсовые справедливо асимптотическое разложение

курсовые (1.5)

Главный член асимптотики имеет вид

курсовые (1.5ґ)

Пример 4.Вычислим интеграл

курсовые (курсовые)

Здесь курсовые, функция курсовые непрерывна на [0,курсовые] .Применим формулу (1.5ґ):

курсовые

Получили формулу:

курсовые (курсовые)

4.Вклад от граничной точки максимума (основной случай)

Рассмотрим интеграл Лапласа курсовые (см.(1.1)).

Теорема 1.1. Пусть курсовые- конечный отрезок и выполнены условия:

1є.курсовые достигается только в точке курсовые.

2є.курсовые.

3є.курсовые при курсовые,близких к курсовыекурсовые.

Тогда при курсовые справедливо разложение

курсовые (1.6)

Коэффициенты курсовые имеет вид

курсовые, курсовые (1.7)

Главный член асимптотики имеет вид

курсовые, (курсовые).

Рассмотрим интеграл

курсовые (курсовые).

Пусть при курсовые имеем курсовые и функция курсовые достигает максимума только в точке курсовые.Тогда при курсовые справедлива формула

курсовые. (1.8)

Пример 5.Вычислим интеграл

курсовые

Функция курсовые положительна для любого курсовые; курсовые и курсовые достигает максимума на этом отрезке в точке 0.Применяя формулу (1.8), получим

курсовые

Пусть [a,b]- конечный отрезок курсовыеи пусть функция курсовые достигает

максимума только в точке курсовые.Тогда для интеграла

курсовые (курсовые).

справедлива формула

курсовые

где курсовые, если курсовые; курсовые, если курсовые совпадает с одним из концов отрезка.

Пример 6. Найдем асимптотику при курсовые полинома Лежандра

курсовые

где курсовые.

В данном случае курсовые. Функция курсовые достигает максимума при

курсовыекурсовые и курсовые По последней формуле

находим, что

курсовые

Пример 7.Покажем, что при курсовые

курсовые

Здесь курсовые,курсовые.Применяя последнюю формулу,

получим

курсовые

5.Вклад от внутренней невырожденной точки максимума

Теорема 1.2. Пусть курсовые- конечный отрезок и выполнены условия:

1є.курсовые достигается только в точке курсовые.

2є.курсовые.

3є.курсовые при курсовые,близких к курсовыекурсовые.

Тогда при курсовые справедливо разложение

курсовые (1.9)

Коэффициенты курсовые имеет вид

курсовые (1.10)

Главный член асимптотики (1.9) имеет вид

курсовые (курсовые).

Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены, за исключением одного:курсовые.

Тогда при курсовые справедливо разложение

курсовые (1.11)

Главный член асимптотики имеет вид

курсовые . (1.12)

Пример 8.Покажем, что при курсовые

курсовые.

Имеем курсовые, так что интеграл имеет вид интеграла Лапласа (1.1),

где курсовыеФункция курсовые достигает максимума при курсовые, причем

курсовые

Интеграл выяисляется по формуле (1.12):

курсовые

Получили формулу:

курсовые

Пример 9. Покажем, что при курсовые

курсовые

Воспользуемся тождеством

курсовые.

Тогда сумма примет вид

курсовые.

В данном случае курсовые; остается применить теорему 1.3.

6.Программа и численные результаты

Следующая программа вычисляет интеграл по формуле Симпсона и методом Лапласа:

unit Main;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox1: TGroupBox;

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Label5: TLabel;

StatusBar1: TStatusBar;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

GroupBox2: TGroupBox;

Panel1: TPanel;

Panel2: TPanel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

procedure Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

procedure Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

x,v,a,b,r,r2,h,eps,lam,lap: extended;

n: integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите нижнюю границу';

end;

procedure TForm1.Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите верхнюю границу';

end;

procedure TForm1.Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите точность для метода Симпсона';

end;

procedure TForm1.Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите параметр в интеграле Лапласа';

end;

procedure TForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='';

end;

function f(x,lam:extended):extended; //Подинтегральная функция

begin

f:=(sin(x)+4)*exp(-2*lam*x);

end;

function simpson(a,b:extended;n:integer):extended;

var s,h:extended;

m,mn:integer;

begin

h:=(b-a)/n;

s:=f(a,lam)+f(b,lam);

mn:=4;

for m:=1 to n-1 do begin

s:=s+mn*f(a+h*m,lam);

if (mn=4) then mn:=2 else mn:=4;

end;

simpson:=s*h/3;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Edit1.Text);

b:=StrToFloat(Edit2.Text);

eps:=StrToFloat(Edit3.Text);

lam:=StrToFloat(Edit4.Text);

n:=3;

r:=simpson(a,b,n);

repeat r2:=r;

n:=n+2;

r:=simpson(a,b,n); h:=(b-a)/n;

until (abs(r-r2)<eps);

Panel1.Caption:=FloatToStr(r);

lap:=2/lam;

Panel2.Caption:=FloatToStr(lap);

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedure TForm1.Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Вычисление интеграла';

end;

procedure TForm1.Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Выход из программы';

end;

end.

курсовые

Пример 3.Для интеграла

курсовые

при курсовые получены результаты:

курсовые

Пример 1.Для интеграла

курсовые

получены результаты:

курсовые

Пример 4.Для интеграла

курсовые

получены результаты:

курсовые

Список литературы

Федорюк М.В. «Асимптотика: интегралы и ряды». М.:Наука, 1977.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: