Xreferat.com » Рефераты по математике » Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения

Размещено на /

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. Королева

Кафедра высшей математики


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по уравнениям математической физики


Приближенное решение интегрального уравненияСАМАРА 2009г.

Реферат


Курсовая работа: пояснительная записка, 30 страниц, 8 рисунков, 3 источника, 6 таблиц.

Ключевые слова: МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ПРОГОНКИ, МЕТОД ГАЛЕРКИНА, МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ, МЕТОД РИТЦА, МЕТОД ЛИБМАНА, ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ, МЕТОД СЕТОК, ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.

Приближенное решение интегрального уравненияВ данной работе требуется с помощью методов конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метода прогонки найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнить результаты и сделать выводы.

Необходимо найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации. Сравнить результаты, построив графики.

Нужно с помощью метода Либмана отыскать приближенное решение задачи Дирихле в квадрате.

Требуется методом сеток найти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения. Сравнить результаты с аналитическим решением.

Нужно найти приближенное решение интегрального уравнения.


СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ

I. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

II. МЕТОДЫ ГАЛЕРКИНА, РИТЦА И КОЛЛОКАЦИЙ

III.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ1

IV. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ

V. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ

VI. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


ВВЕДЕНИЕ


В данной работе требуется с помощью методов конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метода прогонки найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнить результаты и сделать выводы.

Необходимо найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации. Сравнить результаты, построив графики.

Нужно с помощью метода Либмана отыскать приближенное решение задачи Дирихле в квадрате.

Требуется методом сеток найти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения. Сравнить результаты с аналитическим решением.

Нужно найти приближенное решение интегрального уравнения.


РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ


Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка


Приближенное решение интегрального уравнения, (1)


где функция Приближенное решение интегрального уравнения задана таблично


i fi(x)
0 8,1548
1 6,8925
2 5,8327
3 4,9907
4 4,3818
5 4,0188
6 3,9098
7 4,0581
8 4,4615
9 5,1129
10 6

Будем искать решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям


Приближенное решение интегрального уравнения (2)


Запишем таблицу значений функций Приближенное решение интегрального уравнения


i

Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения

0 0 0 0
1 0,1 -0,2 0,03
2 0,2 -0,4 0,12
3 0,3 -0,6 0,27
4 0,4 -0,8 0,48
5 0,5 -1 0,75
6 0,6 -1,2 1,08
7 0,7 -1,4 1,47
8 0,8 -1,6 1,92
9 0,9 -1,8 2,43
10 1 -2 3

1. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Пусть Приближенное решение интегрального уравнения и значения Приближенное решение интегрального уравнения и Приближенное решение интегрального уравнения в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями


Приближенное решение интегрального уравнения (3)


тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой


Приближенное решение интегрального уравнения (4)

Решая систему (4), получим


Приближенное решение интегрального уравнения


2. Пусть Приближенное решение интегрального уравнения тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой:


Приближенное решение интегрального уравнения (5)


Решая систему (5), получим

Приближенное решение интегрального уравнения


2. Метод центральных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Пусть Приближенное решение интегрального уравнения и значения Приближенное решение интегрального уравнения и Приближенное решение интегрального уравнения в каждом узле можно записать центрально-разностными отношениями


Приближенное решение интегрального уравнения (6)


тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:


Приближенное решение интегрального уравнения (7)

Решая систему (7), получим:

Приближенное решение интегрального уравнения


2. Пусть Приближенное решение интегрального уравнения, тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:


Приближенное решение интегрального уравнения (8)


Решая систему (8), получим


Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения

Рис.1-Приближенное решение интегрального уравнения- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,1), Приближенное решение интегрального уравнения- решение, полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,1), Приближенное решение интегрального уравнения- точное решение


Приближенное решение интегрального уравнения

Рис.2-Приближенное решение интегрального уравнения- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,2), Приближенное решение интегрального уравнения- решение , полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,2) Приближенное решение интегрального уравнения-точное решение

Приближенное решение интегрального уравнения

Рис.3- Общий график решений


3. Метод прогонки для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Конечно-разностные отношения в методе прогонки.

1. Пусть Приближенное решение интегрального уравнения и значения Приближенное решение интегрального уравнения и Приближенное решение интегрального уравнения в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями:


Приближенное решение интегрального уравнения (9)


тогда, используя (20), заменим уравнения (1), (2), (3) системой:


Приближенное решение интегрального уравнения (10)


Запишем первые n-1 уравнений в виде:


Приближенное решение интегрального уравнения, где Приближенное решение интегрального уравнения (11)

Из системы (21) следует, что Приближенное решение интегрального уравнения (12)


Приближенное решение интегрального уравнения, Приближенное решение интегрального уравнения вычисляются последовательно, но при i=0:


Приближенное решение интегрального уравнения (13)


Остальные Приближенное решение интегрального уравнения, Приближенное решение интегрального уравнения вычисляются по формуле:


Приближенное решение интегрального уравнения (14)


Прямой ход вычислений.

По формулам (11) вычисляем Приближенное решение интегрального уравнения. Далее вычисляем Приближенное решение интегрального уравнения по формулам (13) и по рекуррентным формулам (14) находим Приближенное решение интегрального уравнения.

Обратный ход.

Из уравнения (12) при i=n-2 и из последнего уравнения системы (10) получаем:


Приближенное решение интегрального уравнения


Решив эту систему относительно Приближенное решение интегрального уравнения, получим


Приближенное решение интегрального уравнения (15)


При i=n-2,…,1 используем формулу (12)


Приближенное решение интегрального уравнения


Приближенное решение интегрального уравнения вычисляем из второго уравнения системы (10)


Приближенное решение интегрального уравнения (16)


В результате вычислений получим таблицу:


Таблица №1

Прямой ход Обратный ход
i xi pi qi fi mi ki ci di yi
0 0 0 0 8.1548 -2 1 -1.125 0.081548 3.049606
1 0.1 -0.2 0.03 6.9025 -2.02 1.0203 -1.14658 0.162629 2.744645
2 0.2 -0.4 0.12 5.8327 -2.04 1.0412 -1.18177 0.252476 2.521233
3 0.3 -0.6 0.27 4.9907 -2.06 1.0627 -1.24358 0.366984 2.361553
4 0.4 -0.8 0.48 4.3818 -2.08 1.0848 -1.36806 0.538893 2.250789
5 0.5 -1 0.75 4.0188 -2.1 1.1075 -1.70977 0.856677 2.176909
6 0.6 -1.2 1.08 3.9098 -2.12 1.1308 -5.35913 1.695401 2.130132
7 0.7 -1.4 1.47 4.0581 -2.14 1.1547 0.247024 10.53205 2.10254
8 0.8 -1.6 1.92 4.4615 -2.16 1.1792 -0.40795 -3.02327 2.087729
9 0.9 -1.8 2.43 5.1129 -2.18 1.2043 -0.59217 -1.43418 2.080518
10 1 -2 3 6 -2.2 1.23 -0.67952 -0.98461 2.076684

2. Пусть Приближенное решение интегрального уравнения


В результате вычислений по формулам (9)-(16) получим таблицу:


Таблица №2

Прямой ход Обратный ход
i xi pi qi fi mi ki ci di yi
0 0 0 0 8.1548 -2 1 -1.125 0.081548 2.048941
1 0.2 -0.4 0.12 5.8327 -2.04 1.0412 -1.15121 0.156074 1.844047
2 0.4 -0.8 0.48 4.3818 -2.08 1.0848 -1.20313 0.247519 1.720701
3 0.6 -1.2 1.08 3.9098 -2.12 1.1308 -1.31665 0.407622 1.650761
4 0.8 -1.6 1.92 4.4615 -2.16 1.1792 -1.64636 0.835965 1.619574
5 1 -2 3 6 -2.2 1.23 -5.71492 5.936293 1.63769

Приближенное решение интегрального уравнения

Рис.3-Приближенное решение интегрального уравнения- решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно-разностных отношений (h=0,1),Приближенное решение интегрального уравнения- решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно разностных отношений (h=0,2) , Приближенное решение интегрального уравнения- точное решение

II. Методы Галеркина, Ритца и коллокаций


Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка и его граничные условия


Приближенное решение интегрального уравнения (17)


1. Метод Галеркина

Введем операторы


Приближенное решение интегрального уравнения


На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций


Приближенное решение интегрального уравнения


Проверим систему на ортогональность


Приближенное решение интегрального уравнения

Выбранная система базисных функций является ортогональной и удовлетворяет условию выбора конечной системы базисных функций Приближенное решение интегрального уравнения


Приближенное решение интегрального уравнения


Решение краевой задачи (17) ищется в виде


Приближенное решение интегрального уравнения


1. Рассмотрим решение задачи (17) с двумя базисными функциями:


Приближенное решение интегрального уравнения


Тогда решение


Приближенное решение интегрального уравнения


Рассмотрим выражение


Приближенное решение интегрального уравнения (18)


Выражение (18) называется невязкой. Для задачи (1) с двумя базисными функциями


Приближенное решение интегрального уравнения


сi выбирается таким образом, чтобы


Приближенное решение интегрального уравнения


Так как Приближенное решение интегрального уравнения ортогональна ко всем базисным функциям, то


Приближенное решение интегрального уравнения


Тогда решение задачи (17)


Приближенное решение интегрального уравнения


2. Рассмотрим решение задачи (17) с тремя базисными функциями


Приближенное решение интегрального уравнения


Тогда решение


Приближенное решение интегрального уравнения


Невязка примет вид

Приближенное решение интегрального уравнения


Коэффициенты с1 и с2 будем искать из системы


Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения


Тогда решение задачи (17)


Приближенное решение интегрального уравнения


2. Метод коллокации

Введем операторы


Приближенное решение интегрального уравнения

На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций


Приближенное решение интегрального уравнения


Будем искать решение задачи (17) в виде


Приближенное решение интегрального уравнения


1. Рассмотрим решение задачи (17) с двумя базисными функциями


Приближенное решение интегрального уравнения


Тогда решение


Приближенное решение интегрального уравнения


Составим невязку


Приближенное решение интегрального уравнения


На отрезке [-π, π] выберем за точку коллокации 0.


Приближенное решение интегрального уравнения


Таким образом, решение задачи (17)


Приближенное решение интегрального уравнения.

2. Рассмотрим решение задачи (17) с тремя базисными функциями


Приближенное решение интегрального уравнения


Тогда решение


Приближенное решение интегрального уравнения


Составим невязку


Приближенное решение интегрального уравнения


На отрезке [-π, π] выберем две точки коллокации: 0 и Приближенное решение интегрального уравнения. Составим систему уравнений


Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения


Таким образом, решение задачи (17)


Приближенное решение интегрального уравнения

3. Метод Ритца


Составим функционал по формуле


Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения (19)


На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций


Приближенное решение интегрального уравнения


Будем искать решение задачи (17) в виде


Приближенное решение интегрального уравнения


Подставим Приближенное решение интегрального уравнения в (19)


Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения


Составим систему уравнений относительно с1, с2


Приближенное решение интегрального уравнения

Таким образом, решение задачи (17)


Приближенное решение интегрального уравнения


Приближенное решение интегрального уравнения

Рис.4- у1(х)-решение, полученное с помощью метода Галеркина (две базисные функции), у2(х)-решение, полученное с помощью метода коллокации (две базисные функции)


Приближенное решение интегрального уравнения

Рис.4-у2(х)- решение, полученное с помощью метода Галеркина (три базисные функции), у4(х)- решение, полученное с помощью метода коллокации (три базисные функции), у5(х)- решение, полученное с помощью метода Ритца (три базисные функции)


Замечание: найти решение методом Ритца для двух базисных функций не удалось, т.к. функция Ф(с1) не квадратична относительно переменной с1 и не удовлетворяет условию существования экстремума


Приближенное решение интегрального уравнения


III. Решение задачи Дирихле


Применяя метод сеток с шагом Приближенное решение интегрального уравнения, найти решение задачи Дирихле в квадрате с вершинами А(0,0), В(0,1), С(1,1), D(1,0).

Приближенное решение интегрального уравнения (20)


1. Метод Либмана


Приближенное решение интегрального уравнения


Найдем значения функции Приближенное решение интегрального уравненияв каждом узле:

На АВ


Приближенное решение интегрального уравнения


На ВС


Приближенное решение интегрального уравнения

На СD


Приближенное решение интегрального уравнения


На АD


Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения Приближенное решение интегрального уравнения Приближенное решение интегрального уравнения


Запишем формулу метода последовательных приближений


Приближенное решение интегрального уравнения

Пусть Приближенное решение интегрального уравнения, тогда получим


Приближенное решение интегрального уравнения Приближенное решение интегрального уравнения Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения


Таблица №3

i u1,1 u1,2 u2,1 u2,2
0 0 0 0 0
1 2,5 11,4952 7,5 6,4952
2 7,2488 13,744 9,7488 8,744
3 8,3732 15,4934 11,4982 10,4934
4 9,2479 16,21185 12,21665 11,21185
5 9,607125 16,61014 12,61494 11,61014
6 9,806269 16,79952 12,80432 11,79952
7 9,900958 16,89665 12,90145 11,89665

Приближенное решение интегрального уравнения Приближенное решение интегрального уравнения

Приближенное решение интегрального уравнения Приближенное решение интегрального уравнения Приближенное решение интегрального уравнения

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: