Xreferat.com » Рефераты по математике » Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

Доц. Кольвах В. Ф., инж. Кольвах Д. В.

Кафедра промышленной электроники.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)

Разработан алгоритм, сочетающий точность и быстродействие, что позволяет рекомендовать его для практического использования.

Многие задачи расчета электронных схем, теории аппроксимации, теории прогнозирования и т. п. основаны на получении и обращении матрицы Вандермонда:

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда, (1)

2 Труды молодых ученых №4, 2003
где сi – различные действительные или комплексные числа.

Особый характер формирования столбцов матрицы v требует возведения в степень чисел сi . Если размер матрицы р достаточно велик, это приводит к плохой обусловленности матрицы. Например, для всех чисел |сi| >1 компоненты последующих строк будут много больше единицы, а для всех чисел |сi| < 1 эти компоненты оказываются много меньше единицы. Поэтому применение стандартных алгоритмов обращения не позволяет получить высокую точность из-за погрешностей обработки чисел в машине.

Существенно лучший результат достигается при использовании разработанной авторами и изложенной ниже последовательности операций.

1. На первом этапе находят общий характеристический многочлен:

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда. (2)

Обычно этот многочлен уже известен заранее из других этапов решения задачи получения матрицы v. В противном случае для его определения можно воспользоваться формулами Вьета [1] или следующей рекуррентной процедурой:

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда (3)

2. На втором этапе определяют частный характеристический многочлен для произвольной i-й строки матрицы v -1:

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда (4)

где

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

3. На третьем и заключительном этапе находят все элементы i-й строки искомой матрицы v -1 :

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда (5)

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

Следует отметить, что значение характеристического многочлена Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда и его коэффициенты Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда вычисляются один раз для всей строки с номером i.

Таким образом, матрица v -1 может быть представлена в следующем виде:

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда . (6)

Справедливость формулы (6) доказывается перемножением матриц vv -1 = v -1 v в общем виде. В результате получаем единичную матрицу.

Иногда требуется найти не всю матрицу v -1, а только одну из ее строк. В этом случае определение частного многочлена Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда рациональнее сразу проводить по формулам (3).

Изложенный алгоритм обеспечивает точное обращение матрицы Вандермонда при минимальном количестве операций перемножения-деления. Дополнительное сокращение объема вычислений достигается за счет того, что комплексно-сопряженные компоненты сi и сj исходной матрицы v дают в итоге комплексно-сопряженные строки в матрице v -1.

Следует отметить, что действительный столбец исходной матрицы v дает при обращении соответствующую действительную строку в матрице v -1, а умножение любого столбца на ненулевое число в матрице v приводит к делению на это же число соответствующей строки в матрице v -1 .

Список литературы

1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.

2. Кольвах В. Ф., Кольвах Д. В. Расчет и оптимизация электронных схем. Владикавказ, СКГТУ, изд. "Терек", 1998.

Похожие рефераты: