Xreferat.com » Рефераты по математике » Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет


Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии


Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Zn


Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е. М.

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент

Чермных В. В.

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел


Допущена к защите в ГАК

Обратимые матрицы над кольцом целых чиселЗав.кафедрой Вечтомов Е М.

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел« »

Обратимые матрицы над кольцом целых чиселДекан факультета Варанкина В. И.

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел« »

Киров 2003

Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Zp

п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp ..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над Zn ………………………………………17 стр.

Литература …………………………………………………………….27 стр.

Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Zp .

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Zn .


§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (или - размеров Обратимые матрицы над кольцом целых чисел). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров Обратимые матрицы над кольцом целых чисел) записывается в форме:

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.

Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицы A=(aij) и B=(bij) одного и того же размера Обратимые матрицы над кольцом целых чиселможно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(ci j), Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c из поля на матрицу A=(aij) определяется следующим образом: cA=(caij).

Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A=(aij) размером Обратимые матрицы над кольцом целых чисел и матрицу B=(bij) размером Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(cij) размером Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, где Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

(A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;

A+B=B+A – коммутативность;

Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;

Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;

По умножению матриц на скаляр:

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел;

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел;

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел;

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел;

По умножению матриц:

Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. ABОбратимые матрицы над кольцом целых чиселВА;

(AB)C=A(BC) – ассоциативность;

(cA)B=A(cB)=cAB;

Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A1+A2)B=A1B+A2B, A(B1+B2)=AB1+AB2;

Существует единственный нейтральный элемент E
(если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, то
EmA = AEn = A.

Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

Обратимые матрицы над кольцом целых чиселОбратимые матрицы над кольцом целых чисел,

где (a1, a2, ..., an) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель Обратимые матрицы над кольцом целых чисел равен +1, если (a1, a2, ..., an) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.

Минором элемента aij называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Минор aij элемента обозначается Мij.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается Аij=(-1)i+jЧ Мij.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СОбратимые матрицы над кольцом целых чиселВ, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, …, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Тогда Обратимые матрицы над кольцом целых чисел=Обратимые матрицы над кольцом целых чиселЧ1=Обратимые матрицы над кольцом целых чиселЧОбратимые матрицы над кольцом целых чисел=Обратимые матрицы над кольцом целых чисел=Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

=Обратимые матрицы над кольцом целых чисел=Обратимые матрицы над кольцом целых чисел=Обратимые матрицы над кольцом целых чисел=Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.
Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. Пусть A=(aij) –невырожденная квадратная матрица (Обратимые матрицы над кольцом целых чисел). Рассмотрим матрицу А*=Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, где Аij – алгебраическое дополнение элементов определителя Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.

Найдем произведение С=АА*, где С=(сij)

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

и т.д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, т.е. Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Значит матрица А* - обратная к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А (Обратимые матрицы над кольцом целых чисел) имеет обратную А*, тогда верными будут следующие равенства: А·А*=Е,Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.
Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn .

§2. Обратимые матрицы над полем Zp

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.

Алгебраическое дополнение к элементу Обратимые матрицы над кольцом целых чисел есть определитель матрицы Обратимые матрицы над кольцом целых чисел порядка 1, т.е. Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Алгебраическое дополнение к элементу Обратимые матрицы над кольцом целых чисел есть определитель матрицы Обратимые матрицы над кольцом целых чисел порядка 1, т.е. Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.

Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда Обратимые матрицы над кольцом целых чисел). При этом

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (1.1)

Формулу выведем в 2 этапа.

Пусть Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (р-1 штук), Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (р-1 штук),

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (по р штук) (1.2).

Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле

(р-1)2р2 (1.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.

В условии (1.2) не учитываются матрицы вида Обратимые матрицы над кольцом целых чисел с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида Обратимые матрицы над кольцом целых чисел с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.

а) Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (р-1 штук), Обратимые матрицы над кольцом целых чисел и Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Из (1.1) получаем равенство Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Значит Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. При заданном Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (где Обратимые матрицы над кольцом целых чисел=1,2…р-1) элемент Обратимые матрицы над кольцом целых чисел однозначно выражается через Обратимые матрицы над кольцом целых чисел и Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (количество невырожденных матриц Обратимые матрицы над кольцом целых чисел – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук.

б) Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел и Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Значит Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Отсюда Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Элемент Обратимые матрицы над кольцом целых чисел однозначно выражается через Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук

Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.

Пусть Обратимые матрицы над кольцом целых чисел. Тогда Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, а из (1.1) получаем что Обратимые матрицы над кольцом целых чисел и Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)2Чр (1.4)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.

Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Zp

(р-1)2ЧрЧ(р+1) (1.5)


2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.

Будем рассматривать матрицы Обратимые матрицы над кольцом целых чисел.

Алгебраические дополнения к элементам Обратимые матрицы над кольцом целых чисел, Обратимые матрицы над кольцом целых чисел и Обратимые матрицы
										<div class=

Похожие рефераты: