Xreferat.com » Рефераты по математике » Вычисление интеграла по поверхности

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Вычисление интеграла по поверхности

Размещено на /

Содержание


1)Поверхностный интеграл второго рода

2)Вычисление интеграла по поверхности

3)Теорема Остроградского-Гаусса

4)Дивергенция

Литература

интеграл теорема доказательство

Интеграл по поверхности


Поверхность будем рассматриватьВычисление интеграла по поверхности

как образ замкнутой области Вычисление интеграла по поверхности при непрерывном отображении Вычисление интеграла по поверхности

Отображение можно задать в векторном виде Вычисление интеграла по поверхности в каждой точке гладкой поверхности Вычисление интеграла по поверхности

Для Вычисление интеграла по поверхности существует нормаль Вычисление интеграла по поверхности , перпендикулярный к касательным Вычисление интеграла по поверхности кривым Вычисление интеграла по поверхности в точке Вычисление интеграла по поверхности. Следовательно Вычисление интеграла по поверхности равен векторному произведению касательных к Вычисление интеграла по поверхности векторов:


Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности , Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности

поверхность Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности-


направление касательных прямых к Вычисление интеграла по поверхности и Вычисление интеграла по поверхности в т.Вычисление интеграла по поверхности к поверхности Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности.


Направляющие косинусы нормали Вычисление интеграла по поверхности к поверхности Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности


Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:


Вычисление интеграла по поверхности


Примеры векторных полей:

Вычисление интеграла по поверхности- поле скоростей текущей жидкости или газа.

- гравитационное поле

- электростатистическое поле.

Если в какой то области Вычисление интеграла по поверхности, заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью Вычисление интеграла по поверхности, к каждой точке Вычисление интеграла по поверхности можно поставить в соответствие векторное поле Вычисление интеграла по поверхности, то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

Поверхностный интеграл второго рода.

Определение интеграла по поверхности.

Вычисление.

Дано: Вычисление интеграла по поверхности - область ограниченная поверхностью Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности


Дано: Вычисление интеграла по поверхности- поверхность Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности


-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность Вычисление интеграла по поверхности в направлении нормали Вычисление интеграла по поверхности.

Функции Вычисление интеграла по поверхности- непрерывны в области Вычисление интеграла по поверхности с границей Вычисление интеграла по поверхности.

Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность Вычисление интеграла по поверхности в направлении Вычисление интеграла по поверхности.

Решение.

Поверхность Вычисление интеграла по поверхностиразобьем на Вычисление интеграла по поверхности произвольных частей.

Вычисление интеграла по поверхности

Выберем по точке Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности

Вычислим Вычисление интеграла по поверхностискорость течения жидкости в точке Вычисление интеграла по поверхности

Определим Вычисление интеграла по поверхности, где Вычисление интеграла по поверхности-скалярное произведение

Вычисление интеграла по поверхности -единичная нормаль к поверхности Вычисление интеграла по поверхности в точке Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности- вектор в точке Вычисление интеграла по поверхности.

Составим Вычисление интеграла по поверхности

Найдем Вычисление интеграла по поверхности

Механический смысл интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности-


объем цилиндра с основанием Вычисление интеграла по поверхности и высотой Вычисление интеграла по поверхности.

Если Вычисление интеграла по поверхности-скорость течения жидкости , то Вычисление интеграла по поверхности равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность Вычисление интеграла по поверхности за единицу времени в направлении нормали Вычисление интеграла по поверхности.

Вычисление интеграла по поверхности- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность Вычисление интеграла по поверхности в положительном направлении нормали Вычисление интеграла по поверхности равен потоку векторного поля Вычисление интеграла по поверхности через поверхность Вычисление интеграла по поверхности в направлении нормали Вычисление интеграла по поверхности.

Вычисление интеграла по поверхности

Пусть нормаль Вычисление интеграла по поверхности:


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности


Заметим, что

Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности


Действительно, Вычисление интеграла по поверхности как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно Вычисление интеграла по поверхности, Вычисление интеграла по поверхности-угол между касательной плоскостью к Вычисление интеграла по поверхности и его проекцией на плоскость Вычисление интеграла по поверхности


Следовательно Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности.


1. Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности

Аналогично


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности


Пример 1.

Найти поток вектора Вычисление интеграла по поверхности через часть поверхности параболоида

Вычисление интеграла по поверхности в направлении внутренней нормали.


Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности-проектируется на Вычисление интеграла по поверхности с двух сторон и Вычисление интеграла по поверхности образует с осью Ох углы Вычисление интеграла по поверхности (острый и тупой ) Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности


Аналогично


Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности


Пример 2. Вычислить Вычисление интеграла по поверхности, где Вычисление интеграла по поверхности-сфера Вычисление интеграла по поверхности, нормаль Вычисление интеграла по поверхностивнешняя.


Вычисление интеграла по поверхности


Пример 3. Найти поток вектора Вычисление интеграла по поверхности через часть сферы Вычисление интеграла по поверхности в направлении внешней нормали


Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности


Пример 4. Вычисление интеграла по поверхности Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности Вычисление интеграла по поверхности


Пример 5. Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности


Теорема Остроградского-Гаусса.

Дивергенция.


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности-поток вектора через поверхность Вычисление интеграла по поверхности в направлении Вычисление интеграла по поверхности за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области Вычисление интеграла по поверхности и количеством жидкости втекающей в область Вычисление интеграла по поверхности.

1. Вычисление интеграла по поверхности. Следовательно из области Вычисление интеграла по поверхности жидкости вытекает столько же сколько втекает.

2. Вычисление интеграла по поверхностижидкости или газа вытекает больше, внутри Вычисление интеграла по поверхности существует источник.

3. Вычисление интеграла по поверхности жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри Вычисление интеграла по поверхности существует сток.

Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри Вычисление интеграла по поверхности нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.


Вычисление интеграла по поверхности


Если Вычисление интеграла по поверхности-непрерывна вместе с частными производными в области Вычисление интеграла по поверхности то:


Вычисление интеграла по поверхности

Поток изнутри Вычисление интеграла по поверхности равен суммарной мощности источников и стоков в области Вычисление интеграла по поверхности

за единицу времени.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность Вычисление интеграла по поверхности:

Вычисление интеграла по поверхности является глобальной характеристикой векторного поля в области Вычисление интеграла по поверхности и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области Вычисление интеграла по поверхности.

Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали Вычисление интеграла по поверхности, а не абсолютное количество жидкости прошедшей через Вычисление интеграла по поверхности независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):

Дивергенция:

Определение:Вычисление интеграла по поверхностиВычисление интеграла по поверхности- Вычисление интеграла по поверхности стягивается в точку.

Определение: Дивергенцией векторного поля Вычисление интеграла по поверхности в точке Вычисление интеграла по поверхности называется предел отношения потока векторного поля через поверхность Вычисление интеграла по поверхности к объему Вычисление интеграла по поверхности, ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность Вычисление интеграла по поверхности стягивается в точке Вычисление интеграла по поверхности.

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля Вычисление интеграла по поверхности исходящего из точки Вычисление интеграла по поверхности, т.е. мощность источника и стока Вычисление интеграла по поверхности находящегося в точке Вычисление интеграла по поверхности.

Вычисление интеграла по поверхности- средняя объемная мощность потока Вычисление интеграла по поверхности.

Вычисление интеграла по поверхности-существует источник в точке Вычисление интеграла по поверхности.

Вычисление интеграла по поверхности- существует сток в точке Вычисление интеграла по поверхности


Теорема 2. Вычисление интеграла по поверхности


Доказательство: Вычисление интеграла по поверхности


Вычисление интеграла по поверхности

Вычисление интеграла по поверхности ч.т.д.


Пример 1. Вычисление интеграла по поверхности. Найти поток вектора Вычисление
					</div>
				<!--noindex--><div class=