Xreferat.com » Рефераты по математике » Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек Элементарные конфортные отображенияи Элементарные конфортные отображения. Если задан закон Элементарные конфортные отображения, ставящий в соответствие каждому Элементарные конфортные отображения точку (или точки) Элементарные конфортные отображения, то говорят, что на множестве Элементарные конфортные отображениязадана функция комплексной переменной со значениями в множестве Элементарные конфортные отображения. Обозначают это следующим образом: Элементарные конфортные отображения. (Часто говорят также, что Элементарные конфортные отображенияотображает множество Элементарные конфортные отображенияв множество Элементарные конфортные отображения.)

Задание функции Элементарные конфортные отображения эквивалентно заданию двух действительных функций Элементарные конфортные отображения и тогда Элементарные конфортные отображения , где Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения. Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Элементарные конфортные отображения Элементарные конфортные отображения - линейная функция. Определена при всех Элементарные конфортные отображения. Отображает полную комплексную плоскость Элементарные конфортные отображенияна полную комплексную плоскость Элементарные конфортные отображения . Функция Элементарные конфортные отображенияи обратная ей Элементарные конфортные отображения- однозначны. Функция Элементарные конфортные отображенияповорачивает плоскость Элементарные конфортные отображенияна угол, равный Элементарные конфортные отображения, растягивает (сжимает) ее в Элементарные конфортные отображения раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину Элементарные конфортные отображения. Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2. Элементарные конфортные отображения. Определена на всей комплексной плоскости, причем Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки Элементарные конфортные отображения. Отображает полную комплексную плоскость Элементарные конфортные отображенияна полную комплексную плоскость Элементарные конфортные отображения, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3. Элементарные конфортные отображения - показательная функция. По определению Элементарные конфортные отображения, т.е. Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения. Из определения вытекают формулы Эйлера:

Элементарные конфортные отображения ;

Элементарные конфортные отображения;

Элементарные конфортные отображения;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. Элементарные конфортные отображенияпериодична с периодом Элементарные конфортные отображения. Отображает каждую полосу, параллельную оси Элементарные конфортные отображения, шириной Элементарные конфортные отображения Элементарные конфортные отображенияв плоскости Элементарные конфортные отображенияв полную комплексную плоскость Элементарные конфортные отображения. Из свойств Элементарные конфортные отображенияотметим простейшие: Элементарные конфортные отображения , Элементарные конфортные отображения

4. Элементарные конфортные отображения- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: Элементарные конфортные отображения. Элементарные конфортные отображенияВыражение Элементарные конфортные отображения называется главным значением Элементарные конфортные отображения, так что Элементарные конфортные отображения. Определен для всех комплексных чисел, кроме Элементарные конфортные отображения. Элементарные конфортные отображения - бесконечно-значная функция, обратная к Элементарные конфортные отображения. Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения

5. Элементарные конфортные отображения Элементарные конфортные отображения- общая показательная функция. По определению, Элементарные конфортные отображения. Определена для всех Элементарные конфортные отображения, ее главное значение Элементарные конфортные отображения, бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции Элементарные конфортные отображения;Элементарные конфортные отображения;Элементарные конфортные отображения;Элементарные конфортные отображения По определению, Элементарные конфортные отображения; Элементарные конфортные отображения;

Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

Элементарные конфортные отображения , Элементарные конфортные отображения

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения,

Решение. По определению, Элементарные конфортные отображения,Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения; если Элементарные конфортные отображения, то очевидно, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения,

Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения

Найти суммы:

1) Элементарные конфортные отображения

2) sinx+sin2x+...+sinnx

Решение. Пусть: Элементарные конфортные отображения, а

Элементарные конфортные отображения.

Умножим вторую строчку на Элементарные конфортные отображения, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:

Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения;

Преобразуя, получим:

Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения

3. Доказать, что: 1) Элементарные конфортные отображения 2)Элементарные конфортные отображения

3)Элементарные конфортные отображения 4)Элементарные конфортные отображения

Доказательство:

1) По определению, Элементарные конфортные отображения

2) Элементарные конфортные отображения

3) Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) Элементарные конфортные отображения; 2) Элементарные конфортные отображения; 3) Элементарные конфортные отображения;

Решение: Элементарные конфортные отображения и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения,

Элементарные конфортные отображения

Напомним, что Элементарные конфортные отображения

2) Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения, Элементарные конфортные отображения,

Элементарные конфортные отображения

3) Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения , Элементарные конфортные отображения ,

Элементарные конфортные отображения , Элементарные конфортные отображения .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения;

Элементарные конфортные отображения ; Элементарные конфортные отображения

Вычислить: 1) Элементарные конфортные отображения; 3) Элементарные конфортные отображения ; 5) Элементарные конфортные отображения;

Элементарные конфортные отображения; 4) Элементарные конфортные отображения ; 6) Элементарные конфортные отображения ;

Решение. По

Похожие рефераты: