Xreferat.com » Рефераты по математике » Определители. Решение систем линейных уравнений

Определители. Решение систем линейных уравнений

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ


Кафедра «Автоматизации управления войсками»


Только для преподавателей


"Утверждаю"

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.


доцент А.И.СМИРНОВА


"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"


ЛЕКЦИЯ № 2 / 1


Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2004г.

Протокол № ___________


Кострома, 2004.

Содержание


Введение

Определители второго и третьего порядка.

Свойства определителей. Теорема разложения.

Теорема Крамера.

Заключение

Литература


В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.

В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.


ВВЕДЕНИЕ


На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.


1-ый учебный вопрос ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКА


Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида Определители. Решение систем линейных уравненийОпределители. Решение систем линейных уравнений

Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида:


Определители. Решение систем линейных уравнений (1)


Числа а11, …, а22 называют э л е м е т а м и определителя.

Диагональ, образованная элементами а11; а22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а12; а21 - п о б о ч н ой.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.


ПРИМЕРЫ. Вычислить:


Определители. Решение систем линейных уравнений


Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:

Определители. Решение систем линейных уравнений


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида:


Определители. Решение систем линейных уравнений

Элементы а11; а22; а33 – образуют главную диагональ.

Числа а13; а22; а31 – образуют побочную диагональ.

Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:

" + " " – " Определители. Решение систем линейных уравнений


С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.

Это правило вычисления определителя третьего порядка называют

п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.


ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:

Определители. Решение систем линейных уравнений

ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.


2-ой учебный вопрос СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Приведенные далее свойства выполняются для определителей любого порядка. Все они могут быть доказаны непосредственной проверкой, основанной на правилах вычисления определителей.


Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

Определители. Решение систем линейных уравнений.


Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.

Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.

Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.


Определители. Решение систем линейных уравнений.


Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.


Определители. Решение систем линейных уравнений.


Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.


Определители. Решение систем линейных уравнений


Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.

Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.

D = - D Ю 2 D = 0 Ю D = 0.


Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при

k = 0

Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.


Определители. Решение систем линейных уравнений.


Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.


Определители. Решение систем линейных уравнений.


Доказывается непосредственной проверкой.

Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.

Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента аi j обозначается Мi j . Так для элемента а11 минор


Определители. Решение систем линейных уравнений


Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1)k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.


Алгебраическое дополнение элемента аi j обозначается Аi j.

Таким образом, Аi j = Определители. Решение систем линейных уравнений.

Выпишем алгебраические дополнения для элементов а11 и а12.


Определители. Решение систем линейных уравнений.

Определители. Решение систем линейных уравнений.


Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная.


ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:

Определители. Решение систем линейных уравнений


Миноры:

Определители. Решение систем линейных уравнений

Алгебраические дополнения:

Определители. Решение систем линейных уравнений


Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.

Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.


ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ


Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.

Определители. Решение систем линейных уравнений.


В развернутом виде:Определители. Решение систем линейных уравнений

Определители. Решение систем линейных уравнений.


Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.

Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.

Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.

Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.


ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.


Определители. Решение систем линейных уравненийОпределители. Решение систем линейных уравненийОпределители. Решение систем линейных уравнений

использовали разложения по второй строке.

Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.

Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.


3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА


Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.


Определители. Решение систем линейных уравнений (3)


Здесь х1, х2 – неизвестные;

а11, …, а22 – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.

b1, b2 – свободные члены.

Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х1, х2, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.

В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.


Обозначим определитель системы D.

D = Определители. Решение систем линейных уравнений.


В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х1 и при, х2.

Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я , которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:

D1 = Определители. Решение систем линейных уравнений D2 = Определители. Решение систем линейных уравнений.

Рассмотрим без доказательства следующую теорему:


ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 2)


Если определитель D системы (3) отличен от нуля (D № 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Определители. Решение систем линейных уравнений (4)

Формулы (4) называются формулами Крамера.


ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.

Определители. Решение систем линейных уравнений

Определители. Решение систем линейных уравнений

Определители. Решение систем линейных уравнений.


Ответ: х1 = 3; х2 = -1


2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определители. Решение систем линейных уравнений (5)

В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.

Определитель системы D имеет вид:

Определители. Решение систем линейных уравнений

Введем три дополнительных определителя:

Определители. Решение систем линейных уравнений.

Аналогично формулируется теорема.


ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 3)

Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:


Определители. Решение систем линейных уравнений

(6)

Формулы ( 6 ) – это формулы Крамера.

ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик.

Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.


Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.

Отметим только один случай:

Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).

Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Определители. Решение систем линейных уравнений

Если Определители. Решение систем линейных уравненийОпределители. Решение систем линейных уравнений, то единственное решение системы находится по


формулам Крамера: Определители. Решение систем линейных уравнений


Дополнительный определитель Определители. Решение систем линейных уравнений получается из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном

xi заменить столбцом свободных членов.

Заметим, что определители D, D1, … , Dn имеют порядок n.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


На лекции рассмотрена новое понятие – определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.

Похожие рефераты: