Xreferat.com » Рефераты по математике » Разложение функций. Теория вероятностей

Разложение функций. Теория вероятностей

Функциональные ряды (ФР). Степенные ряды (СтР)


Функциональный ряд– ряд вида


Разложение функций. Теория вероятностей,


члены которого являются функциями от х.

Придавая х различные числовые значения, получаем различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться.

Совокупность тех значений х, при которых ФР сходится, называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости ФР чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси ОХ.

Частным случаем ФР является степенной ряд.

СтР – ФР вида


Разложение функций. Теория вероятностей,


где а,С0,С1,…,Сn – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. При а=0 СтР принимает вид:


Разложение функций. Теория вероятностей


Для всякого СтР существует такой интервал, который называется интервалом сходимости, внутри которого ряд сходится абсолютно; вне этого интервала ряд расходится.

Задан СтР, надо найти интервал сходимости для этого ряда. Находим так:

Разложение функций. Теория вероятностей- радиус сходимости ряда СтР.

-R<x-a<R

a-R<x<a+R


Если взять любое значение х из интервала сходимости (расходимости) и подставить его в СтР вместо х, то получим сходящийся (расходящийся) числовой ряд.

В частном случае R может быть равен 0 (R=0) или Разложение функций. Теория вероятностей(R=Разложение функций. Теория вероятностей).

Если R=Разложение функций. Теория вероятностей то интервал сходимости будет от -Разложение функций. Теория вероятностей до +Разложение функций. Теория вероятностей (-Разложение функций. Теория вероятностей;+Разложение функций. Теория вероятностей), т.е. ряд сходится на всей числовой оси.

Если R=0 то ряд расходится на всей числовой оси, кроме точки х=а (в этой точке ряд сходится).

Для нахождения R СтР применяем формулы Да Ламбера или Коши:


Разложение функций. Теория вероятностей - формула ДаЛамбера

Разложение функций. Теория вероятностей- формула Коши


На концах интервала сходимости, т.е. в точках х=а-R и х=а+R вопрос о сходимости/расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. Для этого необходимо подставить с СтР вместо х числа х=а-R и х=а+R и исследовать полученные числовые ряды на сходимость или расходимость. Если ряд сходится (расходится), то интервал сходимости будет закрытым (открытым).

ИТОГ. Задан СтР. Найти интервал сходимости СтР.

1. Найти R. 2. определить интервал сходимости. 3. исследовать на сходимость концы интервалов.

Ряды Тейлора и Макларена


Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале Разложение функций. Теория вероятностей (т.е. a-R<x<a+R), может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд по степеням х-а, который называется рядом Тейлора и имеет вид:


Разложение функций. Теория вероятностей


Это равенство справедливо лишь в том случае, если остаточный член (остаток ряда) формулы Тейлора стремится к нулю (Rn(x)Разложение функций. Теория вероятностей0) при неограниченном возрастании n (Разложение функций. Теория вероятностей), т.е. Разложение функций. Теория вероятностей.

В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x).


f(x)=Sn(x)+Rn(x) Разложение функций. Теория вероятностей Rn(x)=f(x)-Sn(x)


Sn(x)-сумма первых членов; Rn(x)-остаток ряда.

Для оценки остатка ряда можно пользоваться формулой:


Разложение функций. Теория вероятностей


остаток ряда в формуле Ла-Гранда, где «с» заключено между «а» и «х» (а<с<х).

Если в ряде Тейлора а=0, то ряд примет вид:

Разложение функций. Теория вероятностей


Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Макларена.

1. Разложим в ряд Макларена (то есть по степеням х) функцию ex.

Получаем разложение функции в ряд Макларена.


f(x)=ex, f’(x)=ex,…, f(n)(x)=ex,…; a=0, f(0)=1, f’(0)=1,… f(n)(0)=1


Получаем разложение функции f(x)=ex в ряд Макларена:


I. Разложение функций. Теория вероятностей

a=0, Cn=1/n!

Разложение функций. Теория вероятностей


Приведем разложение в ряд Макларена следующих функций.


II. Разложение функций. Теория вероятностей

III. Разложение функций. Теория вероятностей

IV. Разложение функций. Теория вероятностей

V. Разложение функций. Теория вероятностей


Приближенные вычисления значений с помощью рядов.

ПРИМЕР. Вычислить с точностью до 0,001 число Разложение функций. Теория вероятностей.

Разложение функций. Теория вероятностей;

Разложение функций. Теория вероятностей;

Разложение функций. Теория вероятностей;

e1/2=1+0.5+0.125+0.0208+0.0026+0.0003=1.648


Приближенные вычисления интегралов с помощью рядов.

Пример. Функция Разложение функций. Теория вероятностей, с точностью до 0,001.


Разложение функций. Теория вероятностей

Ряды Фурье


Теорема Дерихле: функция f(x) удовлетворяет условиям Дерихле в интервале (а,в), если в этом интервале функция удовлетворяет трем условиям:

1). Равномерно ограничена (при xРазложение функций. Теория вероятностей(a;b), т.е. a<x<b Разложение функций. Теория вероятностей, M=const).

2). Имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода.

3). Имеет не более чем конечное число точек экстремума.

Теорема Дерихле утверждает, что если функция f(x) удовлетворяет в интервале (Разложение функций. Теория вероятностей) условиям Дерихле, то во всякой точке (х) этого интервала функцию f(x) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье.


Разложение функций. Теория вероятностей

Разложение функций. Теория вероятностей,

где an и bn называются коэффициентами Фурье и вычисляются по формулам:


Разложение функций. Теория вероятностей


Для разложения функции в ряд Фурье надо вычислить коэффициенты а0, аn, bn.


Неполные ряды Фурье


Если функция f(x) четная, т.е. f(-x)=f(x), то в формулах (1) bn=0 (n=1,2,…),


Разложение функций. Теория вероятностей


Если функция f(x) нечетная, т.е. f(-x)=-f(x), то an=0 (n=0,1,2…), Разложение функций. Теория вероятностей.

Ряды Фурье периода 2l.

Если f(x) удовлетворяет условиям Дерихле в некотором интервале (-l;l) длины 2l, то справедливо следующее разложение в ряд Фурье:


Разложение функций. Теория вероятностей


ряд Фурье периода 2l, т.е. в интервале (-l;l), где коэффициенты вычисляются:


Разложение функций. Теория вероятностей

Замечание: в случае разложения функции f(x) в ряд Фурье в произвольном интервале (a; a+2l) длины 2l пределы интегрирования в формулах (2), у коэффициентов Фурье нужно заменить соответственно на (а) и (a+2l).


Разложение функций. Теория вероятностей


Теория вероятностей


Основным понятием в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события, которые бывают трех видов:

-Достоверные- событие, которое обязательно произойдет.

-Невозможное- событие, которое заведомо не произойдет.

-Случайное- событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

События обозначаются буквами А,В,С и т.д.

Вероятность события – буквой Р.

Вероятность события А называется равенство Р(А)=m/n, n-общее число возможных элементарных исходов; m-число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. Следовательно:

1. вероятность достоверного события есть 1 (m=n).

2. вероятность невозможного события есть 0.

3. вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, т.е. 1>=Р(А)>=0. Следовательно, какое бы ни было событие, его вероятность заключена в промежутке [0;1].

События называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, брошена монета. Событие А-выпал герб, В-выпала решка. События А и В – несовместимые, т.к., если при одном бросании выпал герб, то решки уже не будет, т.е. несовместимые события не могут появиться одновременно. При одном бросании монеты не могут одновременно…

События равновозможны, если нет никаких причин считать, что одно из них может наступить чаще чем другое.

Например, появление герба или решки при бросании монеты. Или бросании игральных костей. Найти вероятность выпадения 6. Р(А)=1/6-равновозможные несовместимые события.

События образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Например, герб или решка при выпадении.

В дальнейшем при решении многих задач, а так же в некоторых формулах будет присутствовать понятие из комбинаторики, называемое «сочетание» Разложение функций. Теория вероятностей- сочетание из n по m элементов.


Разложение функций. Теория вероятностей


число сочетаний из n элементов по m. Это число способов, которыми можно взять m элементов из n.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А или В или их обоих.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.


Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Эта теорема распространяется и на n слагаемых, когда события попарно несовместимы.

Пример.

В ящике 10 деталей, из которых … окрашены. Взяли 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

А- хотя бы одна окрашена.

Первый способ.

В- одна деталь окрашена (2 не окрашены).

С- две детали окрашены (1 не окрашена).

Д- три детали окрашены.

Интересующее событие произойдет, если произойдет одно из трех событий В,С или Д.


А=В+С+Д.

Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(Д)=Разложение функций. Теория вероятностей=5/6


Второй способ.

Рассмотрим понятие противоположных событий.

Событием, противоположным событию А называется событие Разложение функций. Теория вероятностей, состоящее вне наступлении события А. Очевидно, что события А и Разложение функций. Теория вероятностей несовместны.

Например: А- стрелок поразил мишень; Разложение функций. Теория вероятностей- стрелок промахнулся. В дальнейшем вероятность появления события А будем обозначать р, а вероятность появления противоположного события - q.

Теорема: сумма вероятностей противоположных событий равна 1.


Р(А)+Р(Разложение функций. Теория вероятностей)=1 или p+q=1

А- хотя бы одна из деталей окрашена. Тогда Разложение функций. Теория вероятностей- ни одна из трех деталей не окрашена.


Р(А)+Р(Разложение функций. Теория вероятностей)=1. Р(А)=1-Р(Разложение функций. Теория вероятностей)=5/6


Два события называются независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

Произведением А*В двух событий А и В, называется событие, состоящее в совместном наступлении события А и В.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятностью совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.


Р(А*В)=Р(А)*Р(В)


Эта теорема распространяется и на n сомножителей, когда события попарно независимы.

Пример 1(51).

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятное попадание в мишень при одном выстреле равна 0,7 и 0,8 соответств. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет:

А). только 1 из стрелков.

Б). Оба попадут.

В). оба промажут.

A- первый попал. В- второй попал.

Р(А)=р1=0,7 Р(В)=р2=0,8

Разложение функций. Теория вероятностей- первый промах. Разложение функций. Теория вероятностей- второй промах.


Р(Разложение функций. Теория вероятностей)=q1=0,3 Р(Разложение функций. Теория вероятностей)=q2=0,2

А). Р(A)Р(Разложение функций. Теория вероятностей)+Р(Разложение функций. Теория вероятностей)Р(B)=p1q1+p2q2=0,38

Б). Р(А)*Р(В)=p1*p2=0,56

В). Р(Разложение функций. Теория вероятностей)*Р(Разложение функций. Теория вероятностей)=q1*q2=0,6.

Проверка: 0,38+0,56+0,6=1.


Пример 2. Пример 3 (55). Пример 4 (56).

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается РВ(А) – вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного проявления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго.


Р(А*В)=Р(А)*РА(В)

Р(А*В)=Р(А)*РВ(В)


Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытаний может произойти n независимых событий А1,А2…, либо некоторые из них Р(А1)=р1, Р(Разложение функций. Теория вероятностей)=q1… Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Теорема.

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2…, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.


Р(А)=1-q1q2…qn


Замечание.

Если все события имеют одинаковую вероятность Р, то

Р(А)=1-qn.


Примеры 82, 87, Д/з.

Формула полной вероятности.

События В1,В2,…,Вn являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В1)+ Р(В2)+…+ Р(Вn)=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В1,В2,…,Вn. Тогда вероятность события А равна сумме вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.


Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+ Р(В2)РВ2(А)+…+ Р(Вn)РВn(А)


Формула Бейеса


События В1,В2,…,Вn являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В1)+ Р(В2)+…+ Р(Вn)=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В1,В2,…,Вn. Тогда вероятность события А находится по формуле полной вероятности.

Пусть событие А уже произошло. Тогда вероятности гипотез В1,В2,…,Вn могут быть переоценены по формуле Бейеса:


Разложение функций. Теория вероятностей


Формула Бернулли


Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может или наступить или не наступить. Вероятность наступления (не наступления) события А одна и та же и равна p (q=1-p).

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно к раз (по фиг, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:


Разложение функций. Теория вероятностей


Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит:

а). Менее к раз Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k-1).

б). Более к раз Pn(k+1)+Pn(k+2)+…+Pn(n).

в). не менее к раз Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n).

Г). не более к раз Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k).

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Этими теоремами мы пользуемся в том случае, когда n достаточно большое.


Локальная теорема Лапласа


Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит ровно ‘к’ раз, приближенно равно:


Разложение функций. Теория вероятностей,

Разложение функций. Теория вероятностей


Таблица функций Разложение функций. Теория вероятностей для положительных значений (х) приведена в задачнике Гмурмана в Приложении 1, стр.324-325.

Так как Разложение функций. Теория вероятностей четная (Разложение функций. Теория вероятностей), то для отрицательных значений (х) пользуемся той же самой таблицей.

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит не менее ‘к’ раз, приближенно равно:


Разложение функций. Теория вероятностей,

Разложение функций. Теория вероятностей


Функция Лапласа


Разложение функций. Теория вероятностей


Таблица функций Разложение функций. Теория вероятностей для положительных значений [5<=x<=5] приведена в задачнике Гмурмана в Приложении 2, стр.326-327. Для значений, больших 5 полагаем Ф(х)=0,5.

Так как функция Лапласа нечетная Ф(-х)=-Ф(х), то для отрицательных значений (х) пользуемся той же самой таблицей, только значения функции берем со знаком минус.


Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины


Биноминальный закон распределения.

Дискретная – случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно пронумеровать.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Дискретные случайные величины обозначаются большими буквами Х, а их возможные значения – маленькими х1, х2, х3…

Например.

Х – число очков, выпавших на игральной кости; Х принимает шесть возможных значений: х1=1, х2=1, х3=3, х4=4, х5=5, х6=6 с вероятностями р1=1/6, р2=1/6, р3=1/6 … р6=1/6.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Закон распределения может быть задан:

1. в виде таблицы.

2. Аналитически - в виде формулы.

3. графически. В этом случае в прямоугольной системе координат ХОР строятся точки М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn). Эти точки соединяют отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Для написания закона распределения дискретной случайной величины (х), надо перечислить все ее возможные значения и найти соответствующие им вероятности.

Если соответствующие им вероятности находятся по формуле Бернулли, то такой закон распределения называется биномиальным.

Пример №168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Числовые значения дискретных случайных величин.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Характеристикой среднего значения дискретной случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Т.е. если задан закон распределения, то математическое ожидание


Разложение функций. Теория вероятностей


Если число возможных значений дискретной случайной величины бесконечно, то


Разложение функций. Теория вероятностей


Причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно, и сумма всех вероятностей рi равна единице.

Свойства математического ожидания.


1. М(С)=С, С=пост.

2. М(Сх)=СМ(х)

3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)

4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).


5. Для биноминального закона распределения математическое ожидание находится по формуле:


М(х)=n*р

Характеристикой рассеяния возможных значений случайно величины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией дискретной случайной величины (х) называют математическое ожидание квадрата отклонения. Д(х)=М(х-М(х))2.

Дисперсию удобно вычислять по формуле: Д(х)=М(х2)-(М(х))2 .

Свойства дисперсии.


1. Д(С)=0, С=пост.

2. Д(Сх)=С2Д(х)

3. Д(х1+х2+…+хn)=Д(х1)+Д(х2)+…+Д(хn)


4. Дисперсия биноминального закона распределения


Д(х)=nрq


Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии.


Разложение функций. Теория вероятностей


примеры. 191, 193, 194, 209, д/з.

Интегральная функция распределения (ИФР, ФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ). Непрерывная – величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений НСВ естьРазложение функций. Теория вероятностейи его невозможно перенумеровать.

Например.

Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле, есть НСВ.

ИФР называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что НСВ Х примет значение Х<х, т.е. F(x)=Р(X<x).

Часто вместо ИФР говорят ФР.

Геометрически, равенство F(x)=Р(X<x) можно растолковать: F(x) есть вероятность того, что НСВ Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Свойства ИФ.

1. Значение ИФ принадлежит промежутку [0;1], т.е. F(x)Разложение функций. Теория вероятностей.

2. ИФ есть неубывающая функция, т.е. х2>х1,Разложение функций. Теория вероятностей.

Следствие 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, заключенное в интервале (а;в), равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е.


P(a<x<b)=F(b)-F(a)


Следствие 2. Вероятность того, что НСВ Х примет одно определенное значение, например, х1=0, равна 0, т.е. Р(х=х1)=0.

3. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то F(x)=0 при x<а, и F(x)=1 при х>в.

Следствие 3. Справедливы следующие предельные отношения.

Дифференциальная функция распределения (ДФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ) (плотность вероятности).

ДФ f(x) распределения вероятностей НСВ называют первую производную от ИФР:


f(x)=F’(x)

Часто вместо ФДР говорят плотность вероятности (ПВ).

Из определения следует, что, зная ИФ F(x) можно найти ДФ f(x). Но выполняется и обратное преобразование: зная ДФ f(x), можно найти ИФ F(x).


Разложение функций. Теория вероятностей;

Разложение функций. Теория вероятностей;

Разложение функций. Теория вероятностей


Вероятность того, НСВ Х примет значение, принадлежащее (а;в), находится:

А). Если задана ИФ – следствие 1.

Б). Если задана ДФ


Разложение функций. Теория вероятностей


Свойства ДФ.

1. ДФ – не отрицательная, т.е. Разложение функций. Теория вероятностей.

2. несобственный интеграл от ДФ в пределах (Разложение функций. Теория вероятностей), равен 1, т.е. Разложение функций. Теория вероятностей.

Следствие 1. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то Разложение функций. Теория вероятностей

Похожие рефераты: